第4章 2.1 对数的运算性质（教用Word）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

本讲义聚焦高中数学对数的运算性质，通过关联指数运算法则，以问题链引导学生推导性质，构建“推导-理解-应用”学习支架，涵盖性质推导、简单运算及综合应用（方程、实际问题）。 该资料以核心素养为导向，推导过程发展逻辑推理能力，实际问题（如地震震级）培养用数学眼光观察现实世界，例题分层设计提升数学运算能力。结构清晰，课中助教师高效授课，课后自主检验与小结帮助学生查漏补缺。

§2　对数的运算 §2.1　对数的运算性质 学习目标 素养要求 1.会推导对数的运算性质． 2.掌握对数的运算性质，并能利用其进行对数的运算和化简 1.通过推导对数的运算性质，发展逻辑推理等核心素养． 2.通过对数的运算，提升数学运算等核心素养． [自主梳理] 知识点　对数的运算性质 [问题1]　指数的运算法则有哪些？ 答：am·an＝am＋n；am÷an＝am－n；(am)n＝amn. [问题2]　(1)设loga2＝m，loga3＝n.如何求am＋n? (2)上题中条件若换为logaM＝m，logaN＝n，如何求am＋n呢？ (3)在问题2的基础上，怎么用m，n表示loga(M· N)，还能得到什么结论？ 答：(1)因为loga2＝m，loga3＝n，所以am＝2，an＝3，故am＋n＝am·an＝2×3＝6. (2)因为logaM＝m，logaN＝n，所以am＝M，an＝N，故am＋n＝am·an＝M·N. (3)loga(M·N)_＝logaM＋logaN＝m＋n. ►知识填空 对数的运算性质 条件 a>0，且 a≠1，M >0 , N>0 ，b∈R. 性质 loga.(M·N) ＝logaM＋logaN． 续表 性质 loga＝logaM－logaN． logaMb＝blogaM． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)lg (x＋y) ＝lg x＋lg y．(　　) (2)loga(M·N)＝logaM＋logaN.(a>0且a≠1，MN＞0)(　　) (3)＝log2＝1.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．已知lg 2＝a，lg 3＝b，则lg 12等于(　　) A．a2＋b　　　　　　　　　B．b＋2a C．a＋2b D．a＋b2 答案：B 3．lg 2＋lg 5＝________． 解析：lg 2＋lg 5＝lg 10＝1. 答案：1 4．已知ln a＝0.2，则ln ＝________． 解析：ln ＝ln e－ln a＝1－0.2＝0.8. 答案：0.8 题型一　对数的运算性质简单应用 [例 1]　计算： (1)＝________； (2)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2＝________． 解析：(1)＝＝＝1. (2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. 答案：(1)1　(2)3 底数相同的对数式的化简和求值的方法 (1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； (2)“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).　　 　(多选)若a>0且a≠1，b>0，c>0，n，m∈N＋，n>1，则下列等式成立的是(　　) A．loga(b2－c2)＝2logab－2logac B．(loga3)2＝2loga3 C．loga＝logab D．logax＝－loga 答案：CD 题型二　对数运算性质的综合应用 角度1　与方程有关的对数问题 [例 2]　若2lg (x－2y)＝lg x＋lg y，则的值为(　　) A.4　　　　　　　　　B．1或 C．1或4 D． 解析：选D　因为2lg (x－2y)＝lg x＋lg y， 所以lg (x－2y)2＝lg xy， 所以x2＋4y2－5xy＝0， 所以4－5＋1＝0. 解得＝，或＝1(舍)， 所以的值为. 角度2　实际应用问题 [例 3]　通常表明地震能量大小的尺度是里氏震级，其计算公式是M＝lg A－lg A0.其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅，M为震级．则里氏8.0级地震的最大振幅是里氏5.0级地震最大振幅的________倍． 解析：由M＝lg A－lg A0可得，M＝lg ， 即＝10M，A＝A0·10M， 当M＝8时，地震的最大振幅为A8＝A0·108； 当M＝5时，地震的最大振幅为A5＝A0·105， 所以两次地震的最大振幅之比是＝＝108-5＝1000. 所以8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1000倍． 答案：1000 1．与对数方程有关的问题 利用对数的性质转化为普通方程，通过变形求解，得出结论后要验证方程中的对数式是否有意义． 2．与对数相关的实际问题 对数可以解决一些比较庞大的数据运算，因此在天文、物理、考古等问题中有广泛的应用，首先将实际问题利用对数表示，再利用对数、指数运算解决问题．　　 　(1)化简求值：log2＋log212－log242＝________． (2)方程log2 (2－x)＋log2 (3－x)＝log212的解x＝________． 答案：(1)－　(2)－1 [课堂小结] 1．在应用对数运算性质解题时，要保证每个对数式都有意义，避免出现lg (－5)2＝2lg (－5)等形式上的错误． 2．对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$