第三章 指数运算与指数函数(综合检测卷)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（北师大版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了指数运算与指数函数的核心知识，涵盖指数函数定义、图像性质、大小比较及实际应用，通过不同题型将概念、性质与应用串联，帮助学生构建完整的知识网络。 其亮点在于融入实际情境问题（如催化剂活性指标）培养数学眼光，通过单调性分析、不等式推理发展数学思维，设计从基础选择到综合解答的分层练习，助力学生巩固知识，也为教师提供精准复习参考。

第三章 指数运算与指数函数 满分:150分 时间:120分 第1讲　描述运动的基本概念 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的) 1.函数y=(2a2-3a+2)ax是指数函数,则a的值为 ( ) A.1　　    B. 　　    C.- 　　    D.1或      B     解析　因为函数y=(2a2-3a+2)ax是指数函数, 所以 解得a= . 第1讲　描述运动的基本概念 2.已知a=30.2,b=0.30.2,c=0.20.3,则a,b,c的大小关系为 ( ) A.a>b>c　　    B.a>c>b　　    C.c>a>b　　    D.c>b>a     A     解析　因为y=3x在R上单调递增,所以30.2>30=1,故a>1, 因为y=0.3x在R上单调递减,所以0.30.3<0.30.2<0.30=1, 而y=x0.3在(0,+∞)上单调递增,所以0.20.3<0.30.3, 则0.20.3<0.30.2<1,即c<b<1,所以a>b>c. 第1讲　描述运动的基本概念 3.函数y= 在[-6,6]上的图象大致为 ( )  　　       　　          B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设f(x)= (x∈[-6,6]),则f(-x)= =-f(x),∴f(x)为奇函数,图象关于原点对称,排除选项C; 当x=-1时, f(-1)=- <0,排除选项D; 当x=4时,f(4)= ≈7.97,排除选项A,B正确. 第1讲　描述运动的基本概念 4.若函数f(x)= 在区间(0,2)上单调递增,则a的取值范围是 ( ) A.(-∞,4]　　    B.[4,+∞) C.[-4,+∞)　　    D.(-∞,-4]     D     解析　令t=x(x+a),因为y= 在R上单调递减,所以要使f(x)在(0,2)上单调递增,则t=x(x+a)在(0,2)上单调 递减, t=x(x+a)= - 的图象开口向上,对称轴为直线x=- ,故- ≥2,解得a≤-4. 第1讲　描述运动的基本概念 5.某催化剂的活性指标K(单位:kgPP/gCat)与反应温度t(单位:℃)满足函数关系:K=eat+b(其中a,b为常数,e =2.718 28…是一个无理数).若该催化剂在20 ℃时的活性指标为11 kgPP/gCat,在40 ℃时的活性指标为8 3 kgPP/gCat,则该催化剂在50 ℃时的活性指标为 ( ) A.125 kgPP/gCat　　    B.225 kgPP/gCat C.245 kgPP/gCat　　    D.250 kgPP/gCat     C     解析    由题意可得 两式作差可得e40a-e20a-72=0, 所以(e20a-9)(e20a+8)=0,则e20a=9或e20a=-8(舍去), 故e10a=3,b=2,所以该催化剂在50 ℃时的活性指标为e50a+2=35+2=245(kgPP/gCat). 第1讲　描述运动的基本概念 6.已知实数m,n满足32m-3-3n≤4-m-8n,则32m+3n ( ) A.有最大值1　　    B.有最小值0 C.有最小值1　　    D.有最大值0     A     解析　由32m-3-3n≤4-m-8n得32m-2-2m≤3-3n-23n, 令f(x)=3x-2-x,则f(2m)≤f(-3n), 因为y=3x单调递增,y=2-x= 单调递减, 所以f(x)为R上的增函数, 所以2m≤-3n,即2m+3n≤0,所以0<32m+3n≤30=1, 故32m+3n有最大值1. 第1讲　描述运动的基本概念 7.已知函数f(x)= -ax(a>1),则不等式f(2x2)+f(x-1)<0的解集为 ( ) A.(-∞,-1)∪ 　　    B.  C. ∪(1,+∞)　　    D.      A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设x∈(k,k+1](k∈N),则x-k∈(0,1],所以f(x-k)=2x-k, 由题意得f(x)= f(x-1),所以f(x)= f(x-2)=…= f(x-k)=2x-2k,x∈(k,k+1](k∈N). 当x∈(k,k+1](k∈N)时,若直线y= 与y=f(x)的图象相交,则2k-2k< ≤2k+1-2k,即2-k< ≤21-k,解得2.5<k≤3. 5, 又k∈N,所以k=3,即在定义域R上,只有当x∈(3,4]时,直线y= 与y=f(x)的图象相交, 当x∈(3,4]时,f(x)=2x-6, 令2x-6≤ = ,解得x≤ ,所以3<x≤ , 作出f(x)的部分图象,如图, 第1讲　描述运动的基本概念   结合图象可知,满足f(x)≤ 的x的取值范围是 ∪(4,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选 对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.下列根式与分数指数幂的互化正确的是 ( ) A. = (a>0)　　     B. =- (x>0) C.  = (x>0,y>0)　　     D.[  = (x>0)     ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A, = ·(  = · = = (a>0),故A正确; 对于B, = = (x>0),故B错误; 对于C,  = (x>0,y>0),故C正确; 对于D,[  =(  =(  = = (x>0),故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 10.已知函数f(x)=5|x|+5-|x|,则下列说法正确的是 ( ) A. f(x)的图象关于y轴对称 B. f(x)的单调递增区间为(-∞,0) C. f(x)的最小值为2 D. f(a2+2)>f(2|a|)     ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,f(x)的定义域为R,且f(-x)=5|-x|+5-|-x|=5|x|+5-|x|=f(x),所以f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,A正 确; 对于B,f(x)=5|x|+5-|x|= 即f(x)=5x+5-x,x∈R, 根据对勾函数的性质可得函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,B不正确; 对于C,f(x)=5|x|+5-|x|≥2 =2,当且仅当5|x|=5-|x|,即x=0时等号成立,故f(x)的最小值为2,C正确; 对于D,当x>0时,5|x|>1,f(x)=5|x|+5-|x|=5|x|+ , 根据对勾函数的性质可得函数f(x)在(0,+∞)上单调递增, 又a2+2>0,2|a|≥0,a2+2=a2+1+1≥2|a|+1>2|a|,所以f(a2+2)>f(2|a|),D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 11.意大利画家达·芬奇提出固定项链的两端,使其在重力的作用下自然下垂,那么项链所形成的曲线是 什么?这就是著名的“悬链线问题”,其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数,其函数表达式为 cosh x= ,相应的双曲正弦函数的表达式为sinh x= .设函数f(x)= ,则 ( ) A.f(1)=  B.函数f(x)在其定义域上是增函数 C.若x满足不等式f(|2x-1|)+f(-3)≤0,则x的取值范围是[-1,2] D.函数f(x)的值域为(-∞,1)     BC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得f(x)= = = =1- . 对于A,f(1)= ,A错误; 对于B,f(x)的定义域为R,y=e2x+1在R上单调递增,则y= 在R上单调递减,因此f(x)在R上单调递增,B正 确; 对于C,f(-x)= =-f(x),故f(x)为奇函数,则f(|2x-1|)+f(-3)≤0即f(|2x-1|)≤-f(-3)=f(3), 所以|2x-1|≤3,解得-1≤x≤2,因此x的取值范围是[-1,2],C正确; 对于D,e2x+1>1,则0< <2,即-1<1- <1,因此f(x)的值域为(-1,1),D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.若代数式 + 有意义,则 + =_____.     1 解析　由题意可知 ∴1≤x≤2, ∴ + = + =|x-1|+|x-2|=x-1+2-x=1. 第1讲　描述运动的基本概念 13.已知函数f(x)=-2ax+m+n(m>-2,n>0)的图象所过的定点在一次函数y=2x+1的图象上,则 + 的最小 值为_____. 解析　令x+m=0,得x=-m,故函数f(x)的图象经过定点(-m,n-2),则n-2=-2m+1,所以n+2m=3,则2(m+2)+n=7, 故  [2(m+2)+n]=  8+ +  ≥ ×(8+2 )= ,当且仅当 = ,即m=- ,n=  时等号成立, 故 + 的最小值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 14.已知函数f(x)= 若m<n,且f(m)=f(n),则mf(n)的取值范围是_________. 解析    当x<1时,f(x)=3x+4单调递增,且f(x)<7, 当x≥1时,f(x)=3x-2单调递增,且f(x)≥1, 令3x+4=1,解得x=-1,令3x-2=7,解得x=2, 画出f(x)= 的图象,如图, 第1讲　描述运动的基本概念 若m<n,且f(m)=f(n),则3m+4=3n-2, 所以mf(n)=m(3n-2)=m(3m+4)=3 - ,-1≤m<1, 当m=- 时,mf(n)=3 - 取得最小值,最小值为- , 又m=-1时,mf(n)=-1,m=1时,mf(n)=7, 故mf(n)∈ . 第1讲　描述运动的基本概念 四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)(1)计算:0.008  +π0-(  + ×3 × ; (2)已知a>0且a2x=3,求 的值. 解析    (1)原式=(0.34 +1- + ×3× × ×  (3分) =0.3+1-2+ × =0.3+1-2+9=8.3. (6分) (2)∵a2x=3,∴a-2x= , (8分) ∴ = =a2x+1+a-2x= .(13分) 第1讲　描述运动的基本概念 16.(15分)已知函数f(x)=ax+b(a>0且a≠1,b∈R). (1)若f(x)的图象过点(0,-1)和(3,6),求f(x)在R上的值域; (2)若f(x)在区间[1,2]上的最大值比最小值大 ,求a的值. 解析    (1)由题知 解得a=2,b=-2, (2分) 所以f(x)=2x-2. (4分) 因为2x>0,所以2x-2>-2, 故f(x)在R上的值域为(-2,+∞). (6分) 第1讲　描述运动的基本概念 (2)当0<a<1时,f(x)在区间[1,2]上单调递减, 所以f(x)max=f(1)=a+b,f(x)min=f(2)=a2+b, (8分) 因此a+b-(a2+b)= ,解得a= 或a=0(舍去);(10分) 当a>1时,f(x)在区间[1,2]上单调递增, 所以f(x)max=f(2)=a2+b,f(x)min=f(1)=a+b, (12分) 因此a2+b-(a+b)= ,解得a= 或a=0(舍去).(14分) 所以a= 或a= . (15分) 第1讲　描述运动的基本概念 17.(15分)已知a>0且a≠1,函数f(x)= 满足f(1-a)=f(a-1),h(x)=ax. (1)求函数y=h(2x)-h(x)+1在区间[-2,2]上的值域; (2)若函数y=|h(x)+m|和y=|h(-x)+m|在区间[1,2 023]上的单调性相同,求实数m的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)当0<a<1时,41-a=21,解得a= , 当a>1时,22a-1=4a-1,无解, 故a= . (2分) 所以h(x)= ,则y=h(2x)-h(x)+1= - +1. (4分) 令t= ,因为x∈[-2,2],所以t∈ , 故y= - +1即y=t2-t+1= + ,t∈ , (6分) 当t= 时,ymin= ,当t=4时,ymax=13. 故函数y=h(2x)-h(x)+1在区间[-2,2]上的值域为 . (8分) 第1讲　描述运动的基本概念 (2)函数h(x)= 在R上单调递减,函数h(-x)=2x在R上单调递增. 由题意得函数y=  +m 与函数y=|2x+m|在区间[1,2 023]上同增或者同减. (10分) ①若两函数在区间[1,2 023]上均单调递增,则 在区间[1,2 023]上恒成立, 故 解得-2≤m≤- ; (12分) ②若两函数在区间[1,2 023]上均单调递减,则 在区间[1,2 023]上恒成立, 第1讲　描述运动的基本概念 故 该不等式组无解. (14分) 综上,实数m的取值范围是 . (15分) 第1讲　描述运动的基本概念 18.(17分)已知f(x)=2a-x+2x(a为常数,且a∈R). (1)当a=0时,求函数f(x)的单调递增区间; (2)当a=2时,求f(x)<f(x+1)的解集; (3)若存在x∈R,使f  ≥4x+4-x+11成立,求证: ≥6. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)若a=0,则f(x)=2-x+2x,其定义域为R,且f(-x)=2x+2-x=f(x),所以f(x)为偶函数, (1分) 设x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=( + )-( + )= , (2分) 因为0≤x1<x2,所以1≤ < , >1,则 - <0, -1>0, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 所以函数f(x)在[0,+∞)上单调递增, (4分) 结合偶函数图象的对称性可知函数f(x)在(-∞,0]上单调递减, 所以函数f(x)的单调递增区间为[0,+∞)(或(0,+∞)). (5分) (2)若a=2,则f(x)=22-x+2x, 因为f(x)<f(x+1),所以22-x+2x<21-x+2x+1, (7分) 整理可得22x>2,则2x>1,解得x> , 第1讲　描述运动的基本概念 所以f(x)<f(x+1)的解集为 . (9分) (3)证明:f  ≥4x+4-x+11即 + ≥4x+4-x+11,(12分) 令t=2x+2-x,由(1)可知t≥20+20=2, 则 + = ·t,4x+4-x=t2-2, (14分) 所以 ·t≥t2+9(t≥2),所以 ≥t+ (t≥2), 原问题等价于 ≥t+ 在[2,+∞)上有解, (16分) t+ ≥2 =6,当且仅当t= ,即t=3时,等号成立, 所以 ≥6,故得证. (17分) 第1讲　描述运动的基本概念 19.(17分)已知函数f(x)=2x+k·2-x,k∈R. (1)讨论f(x)的奇偶性; (2)当k>0时,关于x的不等式 -1≤ 2-x+2x在(2,+∞)上有解,求k的取值范围; (3)若f(x)是奇函数,对任意x1,x2∈ ,不等式|f(2x1)|-|f(x2)|≤ 恒成立,求实数m的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意得f(x)的定义域为R,f(-x)=2-x+k·2x,(1分) 若f(-x)=f(x),则2-x+k·2x=2x+k·2-x, 所以(k-1)(2x-2-x)=0,即k-1=0,解得k=1, 故当k=1时,f(x)为偶函数; (2分) 若f(-x)=-f(x),则2-x+k·2x=-(2x+k·2-x), 所以(k+1)(2x+2-x)=0,即k+1=0,解得k=-1, 故当k=-1时,f(x)为奇函数. (3分) 综上,当k=1时,f(x)为偶函数; 当k=-1时,f(x)为奇函数; 当k∈R且k≠±1时,f(x)为非奇非偶函数. (4分) 第1讲　描述运动的基本概念 (2)不等式 -1≤ 2-x+2x即k≥ , 即当x>2时,k≥ 能成立. 令g(x)= (x>2), 令t=2x,则t∈(4,+∞), 易知y= =1- 在t∈(4,+∞)上单调递增, (6分) 所以g(x)在(2,+∞)上单调递增, 所以g(x)>g(2)= = , (8分) 所以k的取值范围是 . (9分) 第1讲　描述运动的基本概念 (3)对任意x1,x2∈ ,不等式|f(2x1)|-|f(x2)|≤ 恒成立,则 ≥(|f(2x1)|-|f(x2)|)max, 由(1)知f(x)=2x-2-x,易知f(x)在定义域R上单调递增,(11分) 当x1∈ 时,2x1∈[-2,1],所以f(2x1)∈ ,故|f(2x1)|∈ , 当x2∈ 时,f(x2)∈ ,故|f(x2)|∈ , 所以(|f(2x1)|-|f(x2)|)max= ,所以 ≥ 恒成立, (14分) 当m>0时, + ≥ ,化简得m2-15m+36≥0,所以m≥12或0<m≤3, 当m<0时,- ≥ ,化简得m2+15m+36≥0,所以m≤-12或-3≤m<0. (16分) 综上,实数m的取值范围是(-∞,-12]∪[-3,0)∪(0,3]∪[12,+∞). (17分) 第1讲　描述运动的基本概念 $