第一章 预备知识(综合检测卷)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（北师大版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了预备知识中的集合、命题、不等式及应用等核心内容，通过知识框架图将集合运算、命题否定、不等式求解与基本不等式应用等知识点串联，构建完整的知识网络，体现各内容间的逻辑联系。 其亮点在于结合实际情境设计问题，如食品加工厂产量增长率、研发利润率计算等，培养学生用数学眼光观察现实世界。通过分类讨论（如含参不等式解集）和逻辑推理（如命题真假判断）发展数学思维，分层练习（选择、填空、解答题递进）满足不同学生需求，助力教师精准教学，有效巩固知识。

第一章　 预备知识 满分:150分 时间:120分 第1讲　描述运动的基本概念 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的) 1.已知命题p:∀x0∈R, -x0+ ≤0,则命题p的否定为 ( ) A.∃x0∈R, -x0+ ≤0　　    B.∃x0∈R, -x0+ >0 C.∀x0∈R, -x0+ ≥0　　    D.∀x0∈R, -x0+ >0     B     第1讲　描述运动的基本概念 2.若全集U=R,集合M= x  ≤0 ,N={y|y=x2+1},则图中阴影部分表示的集合为 ( )   A.{x|0<x<1}　　    B.{x|0≤x<1} C.{x|0<x≤1}　　    D.{x|0≤x≤1}     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由 ≤0得 解得0<x≤3,所以M={x|0<x≤3}, 由y=x2+1≥1,得N={y|y≥1}, 题图中阴影部分表示的集合为M∩(∁UN),即{x|0<x<1}. 第1讲　描述运动的基本概念 3.某食品加工厂生产某种食品,2026年开工第一天的产量为50 kg,第二天的增长率为a,第三天的增长率 为b,这两天的平均增长率为x(a,b,x均大于零),则 ( ) A.x= 　　    B.x≤  C.x> 　　    D.x≥      B     解析　由题意得50(1+a)(1+b)=50(1+x)2,a,b,x>0,则由基本不等式可得x= -1≤ -1=  ,当且仅当a+1=b+1,即a=b时取等号,故x≤ . 第1讲　描述运动的基本概念 4.已知不等式ax2-bx-1≤0的解集是 - ,  ,则不等式x2-bx-a<0的解集是 ( ) A.(-3,2)　　    B.(-∞,2)∪(3,+∞) C. 　　    D. ∪      A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为不等式ax2-bx-1≤0的解集是 , 所以a>0,且- 和 为方程ax2-bx-1=0的两个根, 所以 解得a=6,b=-1, 所以x2-bx-a<0即x2+x-6<0,解得-3<x<2, 故不等式x2-bx-a<0的解集是(-3,2). 第1讲　描述运动的基本概念 5.已知集合A= x  ≤1 ,集合B={x|x2-(a+3)x+3a<0},若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,则 实数a的取值范围为 ( ) A.[-1,+∞)　　    B.(-∞,-1] C.(-∞,-1)　　    D.(-1,+∞)     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由 ≤1得 -1= ≤0, ∴  解得-1≤x<3,则A=[-1,3). 由x2-(a+3)x+3a<0得(x-3)(x-a)<0. ∵“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,∴A⫋B. 当a>3时,B=(3,a),不满足题意; 当a=3时,B={x|(x-3)2<0}=⌀,不满足题意; 当a<3时,B=(a,3),需满足a<-1. 故实数a的取值范围为(-∞,-1). 第1讲　描述运动的基本概念 6.已知2枝玫瑰与1枝康乃馨的价格之和大于8元,而1枝玫瑰与1枝康乃馨的价格之和小于5元,那么2枝 玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是 ( ) A.2枝玫瑰的价格高　　    B.3枝康乃馨的价格高 C.价格相同　　     D.不确定     A     解析　设1枝玫瑰x元,1枝康乃馨y元, 则 即  设2x-3y=m(2x+y)+n(-x-y)=(2m-n)x+(m-n)y, 所以 解得  所以2x-3y=5(2x+y)+8(-x-y)>5×8+8×(-5)=0, 所以2x>3y,所以2枝玫瑰的价格高. 第1讲　描述运动的基本概念 7.已知a>1,b> ,且2a+b=3,则 + 的最小值为 ( ) A.1　　    B. 　　     C.9　　    D.      C     解析　∵a>1,b> ,且2a+b=3,∴a-1>0,2b-1>0,4(a-1)+(2b-1)=1, 故 + = [4(a-1)+(2b-1)]=4+ + +1≥5+2 =5+4=9, 当且仅当 = ,2a+b=3,即a= ,b= 时等号成立. 第1讲　描述运动的基本概念 8.已知A={a1,a2,a3,a4},B={ , , },且a1<a2<a3<a4,其中ai∈Z(i=1,2,3,4),若A∩B={a2,a3},a1+a3=0,且A∪B的 所有元素之和为56,则a3+a4= ( ) A.8　　    B.6　　    C.7　　    D.4     A     解析　由a1+a3=0得a1=-a3,所以 = , 又a1<a2<a3<a4,所以a1<0,a3>0, 因为A∩B={a2,a3}⊆{ , , },所以a2≥0. ①若a2>0,由a2∈Z,得a2≥1,则a4>a3>1, 所以 >a4>a3>a2,即 ∉{a2,a3},从而{a2,a3}={ , }, 因为 = > ,所以 又a2≥1,a3>1, 所以方程组无解. 第1讲　描述运动的基本概念 ②若a2=0,则a4>a3>a2=0,所以 >a4>a3>a2,即 ∉{a2,a3}, 从而{a2,a3}={ , },所以a2=0= ,a3= = ,所以a3=0或a3=1, 又a3>a2=0,所以a3=1,a1=-a3=-1,则 >a4>1, 则A={-1,0,1,a4},B={1,0, },易得A∪B={-1,0,1,a4, }, 所以-1+0+1+a4+ =56,所以a4=7或a4=-8(舍),所以a3+a4=8. 第1讲　描述运动的基本概念 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选 对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.下列命题错误的是 ( ) A.由a>b得a2>b2　　     B.由 > 得ad>bc C.由a>b得 > 　　     D.由b>a>0,m>0得 >      ABC     第1讲　描述运动的基本概念 解析    A选项,不妨取a=0,b=-1,满足a>b,但a2<b2,A中命题错误; B选项,不妨取a=1,b=0,c=2,d=-1,满足 > ,但bc>ad,B中命题错误; C选项,不妨取a=-1,b=-2,满足a>b,但 < ,C中命题错误; D选项, - = = , 因为b>a>0,m>0,所以b-a>0,b+m>0,则 >0,即 > ,D中命题正确. 第1讲　描述运动的基本概念 10.下列选项中正确的是 ( ) A.若关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<-1或x>2},则关于x的不等式cx2+bx+a<0的解集为 x -1< x<   B.若关于x的不等式(m-1)x2+2(m-1)x+2>0恒成立,则实数m的取值范围为(1,3) C.关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有一个正根和一个负根的一个充分不必要条件是a<-1 D.不等式 ≤0的解集为{x|-2≤x<-1} 　AC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,由题意知方程ax2+bx+c=0有两个实数根-1和2,且a<0, 由根与系数的关系得 则b=-a,c=-2a, 则不等式cx2+bx+a<0即-2ax2-ax+a<0,即2x2+x-1<0,解得-1<x< ,故A正确. 对于B,当m=1时,不等式为2>0,恒成立; 当m≠1时,由题意得  解得1<m<3. 故m∈[1,3),故B错误. 对于C,若关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有一个正根和一个负根,则 解得a<0,显然a<-1 第1讲　描述运动的基本概念 是a<0的充分不必要条件,故C正确. 对于D,不等式 ≤0, 即  由“穿针引线”法画图如下:   可得-2≤x<-1或x=1,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 11.记max{a,b}= 已知x>0,y>0,x+2y+xy=30,则 ( ) A.xy的最大值为18　　     B.x+2y的最大值为12 C.x+y的最小值为8 -3　　     D.max{x+2,2y+2}的最小值为8 　ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得xy=30-(x+2y)≤30-2 ,当且仅当x=2y,即x=6,y=3时等号成立,令t= ,则  解得0<t≤3 ,故0<xy≤18,故A正确;x+2y=30-xy,所以12≤x+2y<30,故B错误; 由x+2y+xy=30得x= = -2,所以x+y= +(y+1)-3≥2 -3=8 -3,当且仅当 =y+1, 即y=4 -1时,等号成立,故C正确; max{x+2,2y+2}= 由反比例函数和一次函数的性质,可知当y=3时,其有最小值,且最小值为 8,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.已知命题p:∀x∈R,x2+2x+a≥0,若命题p的否定为真命题,则实数a的取值范围是__________.     (-∞,1) 解析　命题p的否定为∃x∈R,x2+2x+a<0, 因为命题p的否定为真命题,所以Δ=22-4a>0,解得a<1, 即实数a的取值范围是(-∞,1). 第1讲　描述运动的基本概念 13.已知集合A={x|x2-2x-3<0},B={x|m<x<2m+3},则集合A中的所有整数是_____________;若(∁RA)∩B=⌀, 则实数m的取值范围是_______________________.     {m|m≤-3或-1≤m≤0}         0,1,2     解析　A={x|x2-2x-3<0}={x|-1<x<3},故A中的所有整数是0,1,2. 由上述分析得∁RA={x|x≤-1或x≥3}, 因为B={x|m<x<2m+3},(∁RA)∩B=⌀, 所以当B=⌀时,m≥2m+3,解得m≤-3,符合题意; 当B≠⌀时,m<2m+3,解得m>-3, 因为(∁RA)∩B=⌀,所以 所以-1≤m≤0. 综上,实数m的取值范围是{m|m≤-3或-1≤m≤0}. 第1讲　描述运动的基本概念 14.对任意的实数x,y,不等式x2+y2-xy-4x-y+m≥0恒成立,则实数m的取值范围是__________.     [7,+∞) 解析　题目可转化为对任意的实数x,关于x的不等式x2-(y+4)x+y2-y+m≥0恒成立, 则Δ=[-(y+4)]2-4(y2-y+m)=-3y2+12y+16-4m≤0, 即3y2-12y-16+4m≥0,故对任意的实数y,关于y的不等式3y2-12y-16+4m≥0恒成立, 则Δ'=(-12)2-4×3(-16+4m)=336-48m≤0, 所以m≥7,所以实数m的取值范围是[7,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知m∈R,集合A={x||x-1|≤2},B={x|m-3<x≤m+2}. (1)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,求m的取值范围; (2)若命题“∃x∈A,且x∈B”是真命题,求m的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)A={x||x-1|≤2}={x|-1≤x≤3}. (2分) 因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,所以A⫋B, (4分) 所以 解得1≤m<2, (6分) 故m的取值范围是{m|1≤m<2}. (7分) (2)因为“∃x∈A,且x∈B”是真命题,所以A∩B≠⌀. (9分) 当A∩B=⌀时,因为B≠⌀,所以m+2<-1或m-3≥3,解得m<-3或m≥6. (12分) 所以当A∩B≠⌀时,m的取值范围是{m|-3≤m<6}. (13分) 第1讲　描述运动的基本概念 16.(15分)已知a,b,c∈R且a>0,b>0,c>0. (1)若ab=1,求 + + 的最小值; (2)若a+b+c=1,求证:ab+bc+ca≤ . 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为ab=1,a>0,b>0, 所以 + + = + =a+b+ ≥4, (4分) 当且仅当 即a=b=1时取等号. 所以 + + 的最小值为4. (7分) (2)证明:因为a2+b2≥2ab,a2+c2≥2ac,b2+c2≥2bc, 所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac,当且仅当a=b=c时等号成立, (9分) 将a+b+c=1两边平方得a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1, 所以ab+bc+ac+2ab+2bc+2ac≤1, (13分) 所以ab+bc+ac≤ ,当且仅当a=b=c= 时取等号. (15分) 第1讲　描述运动的基本概念 17.(15分)科技创新是企业发展的源动力,是一个企业能够实现健康持续发展的重要基础.某科技企业最 新研发了一款大型电子设备,并投入生产应用.经调研,该企业生产此设备获得的月利润p(单位:万元)与 投入的月研发经费x(15≤x≤40,单位:万元)有关:当投入的月研发经费不高于36万元时,p=- x2+8x-90; 当投入的月研发经费高于36万元时,p=0.4x+54.对于企业而言,研发利润率y= ×100%是优化企业管理 的重要依据之一,y越大,研发利润率越高,反之越小. (1)求该企业生产此设备的研发利润率y的最大值以及相应月研发经费x的值; (2)若该企业生产此设备的研发利润率不低于190%,求月研发经费x的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由已知得当15≤x≤36时,y= ×100%= ×100%≤ ×10 0%=200%,当且仅当 x= ,即x=30时取等号; (3分) 当36<x≤40时,y= ×100%= ×100%, (6分) ∵36<x≤40,∴ ≤ < ,∴ ≤ < , ∴ ≤0.4+ < ,∴175%≤y<190%. (8分) ∵200%>190%,∴当月研发经费为30万元时,研发利润率取得最大值200%. (10分) 第1讲　描述运动的基本概念 ∵200%>190%,∴当月研发经费为30万元时,研发利润率取得最大值200%. (10分) (2)由(1)可知,此时研发利润率为 ×100%,(12分) 令- x- +8≥1.9,整理得x2-61x+900≤0,解得25≤x≤36. (14分) 因此当研发利润率不小于190%时,月研发经费x(单位:万元)的取值范围是{x|25≤x≤36}. (15分) 第1讲　描述运动的基本概念 18.(17分)已知集合M={x|ax2+bx+c≤0}. (1)若a=c=1且M=⌀,求实数b的取值范围; (2)若c=-1,b=a-1,求集合M; (3)若M= x x=-  ,且关于x的不等式ax2+bx+c≤4的解集为{x|m≤x≤m+4},求实数a的值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为a=c=1且M=⌀, 所以不等式x2+bx+1≤0无解, (1分) 则Δ=b2-4<0,解得-2<b<2, 故实数b的取值范围是(-2,2). (3分) (2)因为c=-1,b=a-1,所以M={x|ax2+(a-1)x-1≤0}={x|(ax-1)(x+1)≤0}. (4分) ①当a=0时,-(x+1)≤0,解得x≥-1; (5分) ②当a≠0时,M= x a (x+1)≤0 , (6分) 当a>0时, (x+1)≤0,所以-1≤x≤ , (7分) 当a<0时, (x+1)≥0, 第1讲　描述运动的基本概念 若 <-1,即-1<a<0,则x≤ 或x≥-1, (8分) 若 =-1,即a=-1,则x∈R, (9分) 若 >-1,即a<-1,则x≤-1或x≥ . (10分) 综上,当a>0时,M= x -1≤x≤  , 当a=0时,M={x|x≥-1}, 当-1<a<0时,M= x x≤ 或x≥-1 , 当a=-1时,M=R, 当a<-1时,M= x x≤-1或x≥  . (11分) (3)因为M= x x=-  ,所以 即  (12分) 第1讲　描述运动的基本概念 因为ax2+bx+c≤4的解集为{x|m≤x≤m+4}, 所以方程ax2+bx+c-4=0的两根为x1=m,x2=m+4, 则x1+x2=- ,x1x2= , (14分) 由 = -4x1x2,得42= -4× , (16分) 整理得b2-4ac+16a-16a2=0,又b2-4ac=0,a>0,所以a=1, 故实数a的值为1. (17分) 第1讲　描述运动的基本概念 19.(17分)若集合A具有以下性质: ①0∈A,1∈A; ②若x,y∈A,则x-y∈A,且x≠0时, ∈A, 则称集合A是“好集”. (1)分别判断集合B={-1,0,1},有理数集Q是不是“好集”,并说明理由; (2)设集合A是“好集”,求证:若x,y∈A,则x+y∈A; (3)设集合A是“好集”,分别判断下面命题的真假,并说明理由. 命题p:若x,y∈A,则必有xy∈A; 命题q:若x,y∈A,且x≠0,则必有 ∈A. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)集合B不是“好集”.  (1分) 理由:假设集合B是“好集”, 因为-1∈B,1∈B,所以由“好集”的性质得-1-1=-2∈B,这与-2∉B矛盾,所以集合B不是“好集”. (3 分) 有理数集Q是“好集”. (4分) 理由:因为0∈Q,1∈Q,对任意的x,y∈Q,有x-y∈Q,且x≠0时, ∈Q,所以有理数集Q是“好集”. (6分) (2)证明:因为集合A是“好集”,所以0∈A. 若x,y∈A,则0-y∈A,即-y∈A,所以x-(-y)∈A,即x+y∈A. (8分) (3)命题p,q均为真命题.理由如下: (9分) 任取x,y∈A,当x,y中有0或1时,显然xy∈A. 第1讲　描述运动的基本概念 当x,y均不为0,1时,由定义可知x-1, , ∈A,所以 - ∈A,即 ∈A,所以x(x-1)∈A. (11分) 由(2)得x(x-1)+x∈A,即x2∈A,同理得y2∈A. (13分) 若x+y=0或x+y=1,则(x+y)2∈A. 若x+y≠0且x+y≠1,则(x+y)2∈A. 所以2xy=(x+y)2-x2-y2∈A,所以 ∈A. (15分) 由(2)可得 = + ∈A,所以xy∈A. 综上可知,xy∈A,即命题p为真命题. (16分) 若x,y∈A,且x≠0,则 ∈A,所以 =y· ∈A,即命题q为真命题. (17分) 第1讲　描述运动的基本概念 $