2.1生活中的变量关系课件-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 必修第一册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第二章 函数 第1节 生活中的变量关系 第1课时（共1课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1.了解生活中两个变量之间的依赖关系现象. 2.了解生活中两个变量之间的函数关系现象. 3.能辨析依赖关系和函数关系的区别和联系. 4.体会数学抽象的过程,加强数学抽象能力的素养的培养. 了解生活中两个变量之间的函数关系现象． 能辨析依赖关系和函数关系的区别和联系 2 新 课 引 入 数学王子——高斯 初中学习了哪些函数呢？ 正比例函数： y=kx (k≠0) 反比例函数： y=k/x (k≠0) 一次 函 数：ｙ＝kx＋b (k≠0) 　 二次 函 数： y=ax2+bx+c （a≠0） 如果在一个变化过程中，有两个变量，对于变量的每一个值，变量都有唯一确定的值和它对应，那么就是的函数，其中是自变量，是因变量. 在初中数学中，函数的定义是什么？ 3 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 例1、 如图，是某高速公路加油站的图片，加油站在地下常用圆柱体储油罐储存汽油等燃料.储油罐的长度、截面半径、是常量，油面高度、油面宽度、储油量是变量. 思考：w与v之间有什么关系？ h与v之间有什么关系？ 结论： 随着w的变化，v也在变化，所以v与w之间存在着依赖关系，但是，每个w对应着两个v. 随着h的变化，v也在变化，所以v与h之间存在着依赖关系，而且，每个h对应着唯一的v，所以h和v之间存在着函数关系。 4 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 一般地，当变量x每取一个值，另一个变量y都有唯一确定的值与之对应时，变量x、y之间具有函数关系，并且y是x的函数． 注意：凡是要确定两个变量具有函数关系，就要判断“对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应”. 函数关系一定是依赖关系,而依赖关系不一定是函数关系. 要确定变量的函数关系,需先分清谁是自变量,谁是因变量. 1．依赖关系 一般地，在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量具有依赖关系． 2．函数关系 5 典 例 引 路 集合论之父——康托 例2 、自年京津城际列车开通运营以来，高速铁路在中国大陆迅猛发展.截至年年底，中国高铁运营里程突破.如图表示的是中国高铁年运营里程的变化. 如图，随着时间的变化，高铁运营里程在变化，因此，里程与年份具有依赖关系，而且具有函数关系。 例3 、弹簧的伸长量与弹力满足函数关系：，其中为劲度系数. 对于变量“伸长量”的每一个值，变量“弹力”都有唯一确定的值和它对应，弹力是伸长量的函数. 6 典 例 引 路 柯 西 例4、 绿化可以改变小环境气候.某市有甲、乙两 个气温观测点，观测点甲的绿化优于观测点乙， 图中是这两个观测点某一天的气温曲线图. 图中反映的都是对于“时间”的每一个值，都有唯一确定的“气温”值和它对应，所以每一条曲线都表示了一个函数关系. 例5、 某地电力公司为鼓励市民节约用电，采取阶梯电价，即按月用电量分段计费办法，居民每月应缴电费(单位:元)与用电量(单位:)的关系是 请问变量与变量具有函数关系吗？ 对于变量“用电量()”的每一个值，变量”应缴电费()”都有唯一确定的值与之对应，所以应缴电费是用电量的函数，即应缴电费与用电量具有函数关系.形如上述的函数，一般叫做分段函数。 7 同 步 练 习 无冕的数学之王——希尔伯特 练2、下列说法不正确的是(　　) A.依赖关系不一定是函数关系 B.函数关系是依赖关系 C.如果变量m是变量n的函数,那么变量n也是变量m的函数 D.如果变量m是变量n的函数,那么变量n不一定是变量m的函数 练1、谚语“瑞雪兆丰年”说明(　　) A.下雪与来年的丰收具有依赖关系 B.下雪与来年的丰收具有函数关系 C.下雪是丰收的函数 D.丰收是下雪的函数 A C 8 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 练3、已知变量x,y满足y=|x|,则下列说法 错误的是(　　) A.x,y之间有依赖关系 B.x,y之间有函数关系 C.y是x的函数 D.x是y的函数 练4、下列两个变量之间的关系,不是函数关系的是(　　) A.多边形的边数和它的内角和 B.正方形的边长和面积 C.圆的面积和半径 D.人的体重和身高 D D 9 同 步 练 习 黎 曼 练5、下列各组中两个变量间之间是否存在依赖关系?其中哪些是函数关系? (1)球的体积和它的半径; (2)速度不变的情况下,汽车行驶的路程与行驶时间; (3)家庭的收入与其消费支出; (4)正三角形的面积和它的边长. 解:(1)中,球的体积V与半径r间存在 V= πr3 的关系. (2)中,在速度不变的情况下,行驶路程s与行驶时间t之间存在正比例关系. (3)中,家庭收入与其消费支出间存在关系,但具有不确定性. (4)中,正三角形的面积S与其边长a间存在S= a2 的关系. 综上可知(1)(2)(3)(4)中两个变量间都存在依赖关系,其中(1)(2)(4)是函数关系. 10 同 步 练 习 庞加莱 练6、国内某快递公司邮寄普通货物限重30 kg,从A城市到B城市的快递资费标准是:质量1 kg及以下收费12元，以后质量每增加1 kg收费增加8元，质量不足1kg按1kg 计算.请写出邮件的质量m kg与邮资M元的函数解析式，并画出局部图象. 11 同 步 练 习 莱布尼兹 练7、下列变化过程中,变量之间存在怎样的依赖关系?其中哪些是函数关系? (1)地球绕太阳公转的过程中,二者间的距离与时间的关系; (2)在空中做斜抛运动的铅球,铅球距地面的高度与时间的关系; (3)某超市一天的销售额与客流量之间的关系; (4)某十字路口,通过汽车的数量与时间的关系; (5)往烧杯中注水,杯中水的体积与注水时间的关系; (6)抛掷一枚均匀硬币的次数与硬币正面朝上的次数之间的关系. 解：(1)地球绕太阳公转的过程中，二者间的距离是时间的函数关系; (2)在空中做斜抛运动的铅球，铅球距地面的高度是时间的函数关系; (3)某超市一天的销售额与客流量之间是依赖关系，但不是函数关系; (4)某十字路口，通过汽车的数量是时间的函数关系; (5)往烧杯中注水，水的体积是时间的函数关系; (6)抛掷一枚均匀硬币的次数与硬币正面朝上的次数之间是依赖关系，但不是函数关系. 12 同 步 练 习 洛必达 练8、某电器商店以2500元/台的价格购进了一批电视机,然后以2900元/台的价格售出.随着售出台数的变化,商店的利润是怎样变化的?利润和售出的台数之间存在函数关系吗? 解：设商店的售出台数为，利润为，依题意得，， 所以随着的增大而增大， 且对于售出台数的每一个值，都有唯一确定的利润的值与之对应， 所以利润是售出台数的函数，所以利润和售出台数之间具有函数关系. 练9、在一定量的水中加入蔗糖,糖水的质量分数与所加蔗糖的质量之间存在怎样的依赖关系? 解：设所加蔗糖的质量为，糖水的质量分数为为，一定量的水的质量为，依题意得，，所以随着的增大而增大， 且对于所加蔗糖质量的每一个值，都有唯一确定的糖水质量分数的值与之对应， 所以糖水的质量分数是所加蔗糖质量的函数， 所以糖水的质量分数和所加蔗糖质量具有函数关系. 13 同 步 练 习 陈景润 练10、坐电梯时,电梯距地面的高度与时间之间存在怎样的依赖关系? 解：当电梯上升时，电梯距地面的高度随时间的增加而增加， 当电梯下降时，电梯距地面的高度随时间的增加而减少， 所以电梯距地面的高度与时间之间存在依赖关系. 当电梯上升和下降到同一楼层时，经历的时间是不一样的，电梯距地面的高度却一样，所以对于时间的每一个值，不止一个确定的电梯距地面的高度与之对应， 所以时间不是电梯距地面的高度的函数， 但对于时间的每一个值，有唯一一个确定的电梯距地面的高度与之对应， 所以电梯距地面的高度是时间的函数，即电梯距地面的高度与时间之间存在函数关系， 所以利电梯距地面的高度与时间存在函数关系. 14 全 课 总 结 一、依赖关系 二、函数关系 三、依赖关系与函数关系的区别 四、分段函数 15 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 16 $