03 利用函数模型解决实际问题(突破疑难)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦函数应用，系统梳理一次、二次、幂函数等常见模型及其特点，通过“选择已知模型”与“建立新模型”两类问题，以电动汽车耗电量等实际情境导入，搭建从函数概念到模型应用的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以真实问题为载体，引导学生用数学眼光观察数据规律选择模型，用数学思维推理计算验证模型，用数学语言表达解决方案。通过典型例题分析，培养学生建模能力与应用意识，教师可借助清晰的知识框架和实例提升教学效率。

第五章 函数应用 第1讲　描述运动的基本概念 03　利用函数模型解决实际问题 高频考点 第1讲　描述运动的基本概念 常见的函数模型及其特点 函数模型 函数解析式 特点 一次函数模型 f(x)=kx+b(k≠0) 单调递增或单调递减,匀速变化 二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a≠0) 先增后减或先减后增 幂型函数模型 f(x)=axα+b(a≠0,α为常数) 与α的取值有关 分段函数模型 f(x)=  各段区间上,函数图象的变化所 遵循的规律不一定相同 第1讲　描述运动的基本概念 指数型函数模型 f(x)=bax+c(a>0,a≠1,b≠0) 与a的取值有关,爆炸式增长(a>1) 或快速衰减(0<a<1) 对数型函数模型 f(x)=blogax+c(a>0,a≠1,b≠0) 与a的取值有关,平缓上升(a>1)或 下降(0<a<1) 第1讲　描述运动的基本概念 　　利用函数模型解决实际问题时,一般有“应用已知的函数模型解决实际问题”和“根据条件建立 函数模型解决实际问题”两种类型. (1)对于应用已知的函数模型解决实际问题的题目,注意模型的适用条件(如:在对数型函数模型中,求与 自变量有关的范围问题时需考虑自变量大于0). (2)对于根据条件建立函数模型解决实际问题的题目,选择和建立恰当的函数模型是解题的关键,一般 通过绘制散点图,将实际问题中的两个变量间的变化规律(如增长的快慢等)与函数的性质(如单调性、 最值等)、图象的走势(上升、下降的缓急等)相结合确定函数模型,再利用待定系数法求出函数解析式, 进而解决问题.此外,用得到的函数模型进行拟合时,可能误差较大或不符合客观实际,因此要对所得函 数模型进行检验,切忌盲目下结论. 第1讲　描述运动的基本概念 勘破疑难 1.用函数模型预测的结果和实际结果可以有误差,好的函数模型预测的结果与实际结果误差较小. 2.根据得出的解结合实际含义确定实际问题的解,如得出的解满 足实际含义,那么它就是实际问 题的解,否则要根据实际含义进行修正,得到实际问题的解. 第1讲　描述运动的基本概念 典例　环保生活,低碳出行,电动汽车正成为人们购车的热门选择.在一段平坦的国道上对某型号电动 汽车进行测试,国道限速80 km/h(不含80 km/h).经多次测试,得到该电动汽车每小时耗电量M(W·h)与平 均速度v(km/h)的数据如表: v 0 10 40 60 M 0 1 325 4 400 7 200 第1讲　描述运动的基本概念 为了描述国道上该电动汽车每小时耗电量与平均速度的关系,现有以下三种函数模型供选择(a,b,c均为 常数): M= v3+bv2+cv,M=1 000 +b,M=300logav+b(a>0,且a≠1). (1)当0≤v<80时,请选出你认为最符合表格中数据的函数模型,并求出相应的函数解析式; (2)现有一辆同型号的电动汽车从A地驶到B地,前一段是200 km的国道,后一段是50 km的高速路,已知 高速路上该汽车每小时耗电量N(W·h)与平均速度v(km/h)的关系是N=2v2-10v+200(80≤v≤120),则如何 行驶才能使得总耗电量最少?最少为多少? 思路点拨    (1)结合表中数据,从函数的定义域、单调性等方面选择函数模型,再由相关条件(点的坐标), 用待定系数法求出函数解析式,验证其余各点的坐标也满足函数解析式; (2)应用条件求出经过两段道路的时间,利用函数解析式分段计算函数的最小值,进而解决问题. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)对于M=300logav+b,当v=0时,无意义,所以不符合题意; 对于M=1 000 +b,它显然是一个减函数,根据题表中的数据可知,M随v的增大而增大,所以不符合题 意,故选择M= v3+bv2+cv. 根据题表中的数据, 可得 解得  故M= v3-2v2+150v, 经检验,当v=0和v=60时,该函数解析式同样适用. (2)设国道上的平均速度为v1 km/h, 第1讲　描述运动的基本概念 由国道路段长为200 km,可知所用时间为  h, 设国道上所耗电量为f(v1) W·h, 则f(v1)= ·   -2 +150v1  =5( -80v1+6 000) =5(v1-40)2+22 000(0≤v1<80), 所以f(v1)min=f(40)=22 000; 由高速路段长为50 km可得所用时间为  h, 设高速路上所耗电量为g(v) W·h, 则g(v)= ·(2v2-10v+200) 第1讲　描述运动的基本概念 =100 =100 -500(80≤v≤120), 由对勾函数的性质知g(v)在[80,120]上单调递增, 所以g(v)min=g(80)=100× -500=7 625. 故当这辆汽车在国道上的平均速度为40 km/h,在高速路上的平均速度为80 km/h时,总耗电量最少,最少 为22 000+7 625=29 625(W·h). 第1讲　描述运动的基本概念 $