5.1.1 利用函数性质判定方程解的存在性 课件-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数零点概念、方程根与图象交点的联系及零点存在性定理，从方程求解的历史意义导入，通过具体方程探究引出零点定义，再以系列思考深化定理条件，搭建从具体到抽象的学习支架。 其特色是以问题探究为主线，通过连续曲线与f(a)f(b)<0的必要性等追问培养数学思维，典例分析结合单调性判断零点个数体现数学眼光。知识梳理构建清晰关系链，当堂检测强化应用，助力学生提升探究能力，为教师提供完整教学流程和实例参考。

第五章 函数应用 5.1.1 利用函数性质判定方程解的存在性 32999 1.了解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的联系 2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间 3.能借助函数单调性及图象判断零点个数 学习目标 32999 在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座. 虽然我们今天可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月. 方程解法时间图·中国 一次方程、二次方程和三次方程根 公元50年 ~ 公元100年 三次方程正根数值解法 7世纪·隋唐·王孝通 13世纪·南宋·秦九韶 任意次代数方程正根解法 三次或三次以上方程 11世纪·北宋·贾宪 情景导入 32999 问题1：方程 2024x2 - 2026x + 1 = 0 有实数解吗？你的判定依据是什么？ 思考：上述求解过程体现了一元二次方程的实数根与相应二次函数怎样的关系？ 一元二次方程的实数根就是二次函数的零点 设 f (x) = 2024x2 - 2026x + 1，则 f (0) = 1 > 0，f (1) = -1 < 0， 所以 y = f (x) 的图像与 x 轴有交点，即方程2024x2 - 2026x + 1 = 0 有实数解. 问题探究 32999 定义：对于一般函数 y = f (x)， 我们把使 f (x) = 0 的实数 x 叫做函数 y = f (x) 的零点. 方程f (x) = 0有实数解 函数y = f (x)有零点 函数y = f (x)图象与x轴有交点 知识梳理 32999 思考1：如果函数 y = f (x) 在区间[a，b]上有 f (a) f (b) < 0，那么函数 y = f (x) 在区间 (a，b) 内是否一定有零点？ 思考2：如果函数 y = f (x)在区间[a，b]上是连续不断的一条曲线，那么函数 y = f (x)在区间 (a，b) 内是否一定有零点？ 结论：“在给定区间[a，b]上连续”和“f (a) f (b)<0”这两个条件缺一不可. 问题探究 32999 函数零点存在定理： 如果函数 y = f (x) 在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有 f (a) f (b)<0 ，那么函数 y = f (x)在区间 (a，b) 内有零点，即存在 c ∈ (a，b)，使得 f (c) = 0，这个 c 也就是方程 f (x) = 0 的解. 知识梳理 32999 思考3：如果函数 y = f (x) 在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，且在区间 (a，b) 内有零点，是否一定有f (a) f (b)<0 ？ 注意：“在给定区间[a，b]上连续”和“f (a) f (b) < 0”这两个条件是函数 y = f (x) 在区间 (a，b) 内有零点的充分不必要条件. 问题探究 32999 思考4：如果函数 y = f (x) 在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有 f (a) f (b) < 0 ，那么能判断函数 y = f (x)在区间 (a，b) 内有几个零点吗？是否只有一个零点呢？ 函数零点存在定理只能证明函数至少有一个零点，但不能判定零点的个数. 问题探究 32999 解：作出 x、f (x) 的对应值表和图象； 由图、表可得：f (2) < 0， f (3) > 0，即f (2) f (3) < 0，故结合函数零点存在定理可知，这个函数在区间(2，3)内至少有一个零点. ∵ y = lnx 和 y = 2x - 6 在 (0，+∞) 上都是增函数，∴ f (x) = lnx + 2x - 6在 (0，+∞) 上是增函数，又∵f (2) = ln2 + 2×2 - 6 < 0，f (3) = ln3 + 2×3 - 6 > 0， ∴函数在定义域 (0，+∞) 内仅有一个零点. 例1：求方程 lnx + 2x - 6 = 0 实数解的个数. 典例分析 32999 1. 方程lg x+x=0在区间[，1]内有没有解？为什么？ 解：设函数 f (x) = lg x + x，在区间[，1]上有 f () = lg + = - < 0， f (1) = lg 1 + 1 = 1 > 0； 因为函数 f (x) = lg x + x 的图象是一条连续的曲线，由零点存在定理得： 方程 f (x) = lg x + x = 0 在区间 [，1] 内有解. 当堂检测 32999 1.函数的零点与方程的解的关系： 2.判断在某个区间是否存在零点的方法： 函数零点存在定理：如果函数 y = f (x) 在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有 f (a) f (b)<0 ，那么函数 y = f (x)在区间 (a，b) 内有零点，即存在 c ∈ (a，b)，使得 f (c) = 0，这个 c 也就是方程 f (x) = 0 的解. 方程 f (x) = 0有实数解 函数y = f (x)有零点 函数y = f (x)的图象与 x 轴有公共点 课堂总结 32999 $