03 对数函数单调性的应用(突破疑难)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦对数函数单调性的应用，涵盖对数值大小比较（不同底数真数的比较方法）和解对数不等式（多种形式转化技巧），通过复习对数函数基本性质搭建学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于融入对数糖水不等式拓展知识，提供换底、作差、糖水不等式等多种解题方法，典例分析结合数学思维中的推理能力（如作差法推导大小关系），解不等式强调定义域与分类讨论培养数学语言精确表达。学生能掌握灵活解题技巧，教师可借助系统资源提升教学效率。

第四章 对数运算与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 03　对数函数单调性的应用 高频考点 第1讲　描述运动的基本概念 1.对数值的大小比较 (1)当底数相同,真数不同时,可直接利用对数函数的单调性来比较. (2)当底数不同,真数相同时,可利用换底公式转化为同底数或利用底数不同的对数函数图象的变化规 律来比较,对数函数的底数对图象的影响如图: 第1讲　描述运动的基本概念 (3)当底数不同,真数也不同时,可利用换底公式化为同底数或借助中间量 一般为0,±1,  或利用糖水 不等式来比较. 知识拓展:对数糖水不等式:若a>b>1,m>0,则logab<log(a+m)(b+m). 证明:logab= < = = <  =log(a+m)(b+m). 第1讲　描述运动的基本概念 2.解对数不等式 (1)形如loga f(x)>logag(x)的不等式,可借助y=logax的单调性将对数不等式化为f(x)>g(x)(或g(x)>f(x))再求 解(其中a>0且a≠1;f(x)>0;g(x)>0). (2)形如loga f(x)>b的不等式,可将b转化为以a为底数的对数,即b=logaab,从而将原不等式转化为loga f(x)> logaab,再利用(1)中的方法解决即可(其中a>0且a≠1;f(x)>0). (3)形如logf(x)a>logg(x)a的不等式,可利用换底公式化为同底数的对数进行求解,或利用底数不同的对数函 数图象的变化规律来求解(其中a>0且a≠1;f(x)>0且f(x)≠1;g(x)>0且g(x)≠1). (4)形如f(logax)>0的不等式,可运用换元法令t=logax,先解不等式f(t)>0,得到t<b1或t>b2(b1<b2),再由logax<b1 或logax>b2求解.用换元法时要特别注意新元的取值范围(其中a>0且a≠1). 第1讲　描述运动的基本概念 勘破疑难 1.多个对数值比较大小时,可先利用特殊值(如0、1等)界定各对数值所在的范围,范围不同可直接确定 大小关系,对于同一范围内的对数值可通过构造函数比较大小. 2.指数值与对数值通常通过中间量来比较大小. 3.若底数为同一参数,则需对底数进行分类讨论. 解题关键 破解对数不等式问题的关键:一是转化与化归思想的应用,即先将异底化同底,再借助对数函数的单调 性“脱去”底数;二是不要忽略真数大于0,不能只保证变形后的对数式中的真数大于0,还要保证原不 等式中的真数大于0;三是分类讨论思想的应用,若底数含有参数,要注意分类讨论. 第1讲　描述运动的基本概念 典例1　若a=log23,b=log34,c=log45,则a,b,c的大小关系为 (         ) A.a<b<c　    B.b<c<a　    C.a<c<b　    D.c<b<a D 思路点拨    思路一:因为a,b,c的底数和真数均不相同,且a,b,c均大于1,数值相近,所以不易通过中间量比 较大小,因此考虑化为同底数的对数比较大小.思路二:利用作差法比较大小.思路三:由对数糖水不等式 的倒数形式直接求解. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    解法一:c=log45= log25=log2 , ∵f(x)=log2x在(0,+∞)上单调递增,且 <3,∴c<a,排除A,C. b=log34=log3 =1+log3 , c=log45=log4 =1+log4 , ∵log3 >log3 ,log3 >log4 , ∴log3 >log4 ,∴b>c,排除B.D正确. 解法二:a-b=log23-log34= - = >  = >0,即a>b. 第1讲　描述运动的基本概念 b-c=log34-log45= - = > = >0,即b>c.因此a>b>c. 解法三:由对数糖水不等式的倒数形式可直接得log23>log34>log45,即a>b>c. 方法总结　当两个对数的底数与真数都不相同时,还可通过作差(作商)比较大小,一般思路为先利用换 底公式化为同底数的对数,然后利用基本不等式将两个对数的积进行放缩,从而确定差(商)的符号,进而 得到两个对数的大小关系. 第1讲　描述运动的基本概念 典例2　解下列不等式. (1)log2(2x+3)≥log2(5x-6); (2)loga(2a+1)<loga(3a)<0(a>0且a≠1). 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)原不等式等价于  解得 <x≤3,所以原不等式的解集为 . (2)loga(2a+1)<loga(3a)<0等价于loga(2a+1)<loga(3a)<loga1. 底数含有参数,需分a>1和0<a<1两种情况讨论. 当a>1时,y=logax在(0,+∞)上单调递增,所以原不等式等价于0<2a+1<3a<1,无解; 当0<a<1时,y=logax在(0,+∞)上单调递减,所以原不等式等价于2a+1>3a>1,解得 <a<1. 综上,实数a的取值范围为 . 第1讲　描述运动的基本概念 易错警示　解含有对数的不等式常用到对数函数的单调性,去对数符号时还要注意函数的定义域,解题 时防止用错单调性、忽视定义域导致错误. 第1讲　描述运动的基本概念 $