02 子集个数问题(突破疑难)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦集合的子集、真子集概念及子集个数计算，从“子集个数问题”疑难点切入，通过表格梳理概念、图示和性质，结合知识辨析引导学生从具体到抽象，搭建“概念-性质-应用”的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，用Venn图直观展示子集关系培养几何直观，通过列举法推导子集个数公式发展推理能力，典例将问题转化为“固定元素+自由选择”模型体现模型意识。学生能在实例中理解抽象概念，教师可借助结构化内容提升教学效率。

第一章 预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 02　子集个数问题 疑难点 第1讲　描述运动的基本概念 概念 图示 性质   一般地,对于两个集合A 与B,如果A中的任何一 个元素都属于B,即若a ∈A,则a∈B,那么称集合 A是集合B的子集,记作 A⊆B(或B⊇A),读作 “A包含于B”(或“B 包含A”)   或   (1)任何一个集合都是它 本身的子集,即A⊆A; (2)对于集合A,B,C,如果 A⊆B,且B⊆C,那么A⊆ C; (3)空集是任何集合的子 集 第1讲　描述运动的基本概念   对于两个集合A与B,如 果A是B的子集,且B也是 A的子集,那么称集合A 与B相等,记作A=B   如果A=B,且B=C,那么A =C   对于两个集合A与B,如 果A⊆B,且A≠B,那么称 集合A是B的真子集,记 作A⫋B(或B⫌A),读作 “A真包含于B”(或 “B真包含A”)   (1)如果A⫋B,且B⫋C, 那么A⫋C; (2)空集是任何非空集合 的真子集,即A≠⌀,则⌀ ⫋A 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析     1.若集合A中有3个元素,则集合A的子集有多少个? 2.已知集合B⊆A,则由a∉A能否得到a∉B? 答案    1.8个.2.能得到. 提示    1.设A={a,b,c},则A的子集有⌀,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c},共8个. 2.根据B⊆A画出Venn图.   由图可知,若a∉A,则一定有a∉B. 第1讲　描述运动的基本概念 1.假设集合A中含有n(n∈N+)个元素,则: (1)A的子集的个数是2n;　　　    (2)A的非空子集的个数是2n-1; (3)A的真子集的个数是2n-1;　    (4)A的非空真子集的个数是2n-2. 2.含有限制条件的子集问题,可根据条件列出所有适合题意的子集,采用列举法解决,元素较多时一般先 固定或排除某些元素,剩余元素根据条件选择,转化为求子集个数(或限制条件的子集个数)问题.特别 地,设有限集合A,B中分别含有m,n个元素(m,n∈N+,m<n),则: (1)当A⊆C⊆B时,符合条件的有限集C的个数为2n-m; (2)当A⫋C⊆B时,符合条件的有限集C的个数为2n-m-1; (3)当A⊆C⫋B时,符合条件的有限集C的个数为2n-m-1; (4)当A⫋C⫋B时,符合条件的有限集C的个数为2n-m-2. 第1讲　描述运动的基本概念 勘破疑难 1.A中有n(n∈N+)个元素,则其每个元素均有“在子集中”和“不在子集中”两种情况,故集合A的子集 个数为 =2n. 2.特殊条件子集问题的通法: 若集合中元素个数为n(n∈N+),其中固定或排除的元素个数为m(m∈N+,m<n),则当剩余(n-m)个元素自由 选择时,问题转化为求含有(n-m)个元素的集合的子集个数,为2n-m,非自由选择时,根据条件取舍. 第1讲　描述运动的基本概念 典例    (1)已知集合A={1,2},B={x|-1<x<6,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为____________;满 足条件A⫋C⫋B的集合C的个数为____________. (2)设集合I={0,1,2,3,4},选择I的两个非空子集A和B,要使B中最小的数大于A中最大的数,则不同的选择 方法共有____________种. 　    49　     　    14　     　    16　     思路点拨    (1)先确定B,再研究C中必含、可含的元素个数,转化为相应集合的子集或真子集求解.(2)由 题得0∉B,再分集合B中最小的元素为1,2,3,4,结合子集个数的结论进行求解. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意知A={1,2},B={x|-1<x<6,x∈N}={0,1,2,3,4,5}, 当A⊆C⊆B时,C中元素必有1,2,其余元素可从0,3,4,5中选取,可以选取0个,也可以选取1~4个,故C的个数 等于集合{0,3,4,5}的子集的个数,为24=16. 当A⫋C⫋B时,C中元素必有1,2,其余元素可从0,3,4,5中选取,且最少选取1个(若选取0个,则A=C,不符合), 最多选取3个(若选取4个,则C=B,不符合),故C的个数等于集合{0,3,4,5}的非空真子集的个数,为24-2=14. (2)由已知得0∉B. ①当集合B中最小的元素为1时,A={0}, 此时集合B的个数等于集合{2,3,4}的子集的个数,为23=8,所以此时不同的选择方法数为1×8=8; ②当集合B中最小的元素为2时,集合A中最大的元素为0或1, 此时集合B的个数等于集合{3,4}的子集的个数,为22=4,集合A的个数等于集合{0,1}的非空子集的个数, 为22-1=3, 第1讲　描述运动的基本概念 所以此时不同的选择方法数为4×3=12(点拨:任意1个B都对应3个A,而符合条件的B有4个); ③当集合B中最小的元素为3时,集合A中最大的元素为0或1或2, 此时集合B的个数等于集合{4}的子集的个数,为21=2,集合A的个数等于集合{0,1,2}的非空子集的个数, 为23-1=7, 所以此时不同的选择方法数为2×7=14; ④当集合B中最小的元素为4时,集合A中最大的元素为0或1或2或3, 此时集合B={4},集合A的个数等于集合{0,1,2,3}的非空子集的个数,为24-1=15, 所以此时不同的选择方法数为1×15=15. 综上所述,不同的选择方法共有8+12+14+15=49种. 第1讲　描述运动的基本概念 名师点睛　子集个数问题的本质是“集合中元素的确定性”与“子集组合规律”的转化,核心是“定 元素、套规律、避漏判”. 第1讲　描述运动的基本概念 $