第2章 02 2.2 函数的表示法(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦函数核心内容，从生活中的变量关系导入，系统讲解函数的列表法、图象法、解析式及分段函数，构建从概念到应用的知识支架，帮助学生逐步掌握函数表示与运算。 其亮点在于结合实际情境（如红色旅游利润、购物节优惠）培养数学眼光，通过逻辑推理（分段函数求值、不等式求解）发展数学思维，以多种表示法强化数学语言表达。学生能提升知识应用能力，教师可借助丰富题型与解析优化教学。

第二章 函数 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 §1　生活中的变量关系　§2　函数 2.2　函数的表示法 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　用列表法和图象法表示函数 1.[2026广东中山期中]已知函数f(x),g(x)用列表法表示如下,则下列结论正确的是( )     C     x 1 2 3 4 f(x) 2 3 4 1 x 1 2 3 4 g(x) 2 4 1 3 A. f(f(1))=4　    B.g(g(1))=1 C. f(g(1))=3　    D.g(f(1))=2 第1讲　描述运动的基本概念 解析　　由题中表格得f(1)=2,f(2)=3,g(1)=2,g(2)=4. f(f(1))=f(2)=3,A错误; g(g(1))=g(2)=4,B错误;f(g(1))=f(2)=3,C正确;g(f(1))=g(2)=4,D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2025江西抚州期中]已知函数f(x)的图象由如图所示的两条曲线组成,则 ( )   A. f(f(-3))=1 B.若f(x)=4,则x=0 C.函数的定义域是(-∞,0]∪[2,3] D.函数的值域是[1,5]     AD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　对于A,由题图知f(-3)=2,f(2)=1,所以f(f(-3))=f(2)=1,A正确; 对于B,易知直线y=4与f(x)的图象有两个交点,所以f(x)=4时,x不一定为0,B错误; 对于C,D,由题图可知,函数f(x)的定义域为[-3,0]∪[2,3],值域为[1,5],C错误,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026江西鹰潭贵溪实验中学月考]已知函数f(x),g(x)的图象如图,则不等式f(x)g(x)<0的解集为 ( )        A.(-∞,-1)∪(-1,0)　    B.(-∞,-1)∪(0,1) C.(-1,0)∪(1,+∞)　    D.(0,1)∪(1,+∞)          D 解析　　由f(x)的图象可知当x∈(-1,0)∪(1,+∞)时f(x)>0,当x∈(-∞,-1)∪(0,1)时f(x)<0, 由g(x)的图象可知当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时g(x)<0,当x∈(-1,1)时g(x)>0, 不等式f(x)g(x)<0等价于 或  解得0<x<1或x>1, 所以不等式f(x)g(x)<0的解集为(0,1)∪(1,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　函数解析式的求解 4.[2026江西上饶民校考试联盟期中]已知f(x2-1)=x4-1,则f(x)= ( ) A.x2-2x(x∈R)　    B.x2-2x(x≥-1) C.x2+2x(x∈R)　    D.x2+2x(x≥-1)     D     解析　　因为f(x2-1)=x4-1=(x2-1)(x2+1)=(x2-1)[(x2-1)+2],且x2-1≥-1, 所以f(x)=x(x+2)=x2+2x(x≥-1). 第1讲　描述运动的基本概念 5.[多选题][2026广东佛山联考]已知一次函数f(x)满足f(f(x))=4x-21,则f(x)的解析式可能是 ( ) A.f(x)=2x-7　     B.f(x)=2x+7 C.f(x)=-2x+21　    D.f(x)=-2x-21     AC     解析　　设f(x)=kx+b(k≠0),则f(f(x))=f(kx+b)=k(kx+b)+b=k2x+kb+b, 因为f(f(x))=4x-21, 所以 解得 或  所以f(x)=2x-7或f(x)=-2x+21. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026江西多校联考]已知定义在R上的函数f(x)满足对任意m,n∈R,2f(m+2n+100)=f(f(m))+8n+300恒成 立,且f(0)=100,则f(55)=___________.     210     解析　令m=0,则2f(2n+100)=f(f(0))+8n+300=f(100)+8n+300, 即f(2n+100)=2(2n+100)-50+ f(100), 所以函数f(x)为一次函数, 设f(x)=2x+b, 因为f(0)=100,所以b=100, 则f(x)=2x+100, 故f(55)=55×2+100=210. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026广东汕头金山中学段考](1)已知f(x)是二次函数,f(x+1)-f(x)=2x+1,且f(0)=3,求f(x)的解析式; (2)已知f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x,求f(x)的解析式; (3)已知f(x)满足f( -1)=x-2 ,求f(x)的解析式. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题可设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), ∴f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)=2x+1,化简得2ax+a+b=2x+1, ∴ 解得  又∵f(0)=c=3,∴f(x)=x2+3. (2)对于2f(x)+f(-x)=3x①,把x替换为-x,得2f(-x)+f(x)=-3x②, ①×2-②得3f(x)=9x,∴f(x)=3x. (3)解法一:∵x-2 =( -1)2-1,∴f( -1)=( -1)2-1, ∵x≥0,∴ -1≥-1,∴f(x)=x2-1(x≥-1). 解法二:设u= -1,则 =u+1(u≥-1), ∴f(u)=(u+1)2-2(u+1)=u2-1(u≥-1),即f(x)=x2-1(x≥-1). 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　分段函数及其应用 8.[2026江西南昌大学附属中学期中]已知函数f(x)= 则f = ( ) A.-3　    B.-6　    C.3　    D.6     A     解析　    f =f =f =-2× +8=-3. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[教材习题改编]已知函数f(x)= 若实数x0∈[0,1),且f(f(x0))∈[0,1),则x0的取值范 围为 ( ) A. 　    B. 　    C. 　    D.  C     解析　　当x0∈[0,1)时,f(x0)=x0+1∈[1,2), 所以f(f(x0))=f(x0+1)=3-2(x0+1)=1-2x0∈[0,1),解得x0∈ . 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026天津泰达一中段考]函数y=x|x|的图象大致是 ( )  　       　          C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　    y=x|x|=  当x≥0时,y=x2,其图象是开口向上的抛物线y=x2在y轴及y轴右侧的部分,排除B,D, 当x<0时,y=-x2,其图象是开口向下的抛物线y=-x2在y轴左侧的部分,排除A,故C正确. 方法总结　含绝对值的函数,其实质是分段函数,画它们的图象时,一般先根据绝对值的意义将定义域 分成若干个小区间,将函数写成分段函数的形式,再利用描点法分段画图. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026安徽滁州期中]已知函数f(x)= 则下列关于函数f(x)的结论中错误的是 ( ) A. f(f(-1))=1 B.若f(x)=3,则x的值是  C. f(x)<1的解集为(-∞,1) D. f(x)的值域为(-∞,4)     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　    f(-1)=-1+2=1,则f(f(-1))=f(1)=12=1,故A中结论正确; 当x≤-1时,令x+2=3,解得x=1(舍去), 当-1<x<2时,令x2=3,解得x= 或x=- (舍去),故B中结论正确; 当x≤-1时,令x+2<1,解得x<-1, 当-1<x<2时,令x2<1,解得-1<x<1, 所以f(x)<1的解集为(-∞,-1)∪(-1,1),故C中结论错误; 当x≤-1时,f(x)∈(-∞,1], 当-1<x<2时,f(x)∈[0,4), 因此f(x)的值域为(-∞,4),故D中结论正确. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2026江西宜春中学期中]已知函数f(x)= 的值域为R,则a的取值范围是 ( ) A. 　     B.[-5,+∞) C.[-1,+∞)　    D.      A     解析　　当x≥1时,f(x)=x2-4x=(x-2)2-4≥-4, 因为f(x)的值域为R,所以当x<1时,设f(x)=(1-2a)x+3a的值域为(-∞,m),则m≥-4, 所以 解得-5≤a< . 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2025湖南长沙期中]已知函数f(x)= 则f(f(10))的值为__________;f(x)的最大 值为__________. 40         31     解析　∵f(10)=-102+20×10-64=36,∴f(f(10))=f(36)=-36- +76=31. 当x∈[3,12)时,f(x)=-x2+20x-64=-(x-10)2+36, 故当x=10时,f(x)取得最大值,为f(10)=36. 当x∈[12,40]时,f(x)=-x- +76=- +76≤-2 +76=40,当且仅当x= ,即x=18时,等号成立, 则f(x)的最大值为f(18)=40. 而36<40,所以f(x)的最大值为40. 第1讲　描述运动的基本概念 解后反思　本题第一个空是分段函数的求值问题,多重函数求值时要注意由内算到外,同时要注意找准 自变量取值所对应的解析式;第二个空是求分段函数的最值,要考虑其在每一段定义域内的最值,最后 进行比较. 第1讲　描述运动的基本概念 14.[2026湖南株洲二中月考]已知函数f(x)=  (1)若f(m)=-1,求m的值; (2)作出函数f(x)的大致图象,并求f(x)≤8的解集.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)当m<0时,由f(m)= =-1,解得m=-2,符合题意; 当0≤m<2时,由f(m)=-m=-1,解得m=1,符合题意; 当m≥2时,由f(m)= m2-3m=-1,可得m2-6m+2=0,解得m=3+ 或m=3- (舍去). 综上所述,实数m的值为-2或1或3+ . (2)作出函数f(x)的图象如图所示,   第1讲　描述运动的基本概念 当x<0时,f(x)= ≤8恒成立; 当0≤x<2时,f(x)=-x≤8恒成立; 当x≥2时,由f(x)= x2-3x≤8得x2-6x-16≤0,解得-2≤x≤8,所以2≤x≤8. 综上所述,不等式f(x)≤8的解集为(-∞,8]. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 §1　生活中的变量关系　§2　函数 2.2　函数的表示法 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　用列表法和图象法表示函数 1.[2025湖南邵阳期中]已知函数f(x),g(x)分别由下表给出: x 1 2 3 f(x) 1 3 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 则满足f (g(x))>g(f(x))的x的值是 ( ) A.1　    B.2　     C.3　    D.1和2     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　当x=1时, f(g(1))=f(3)=1,g(f(1))=g(1)=3,不符合题意; 当x=2时, f(g(2))=f(2)=3,g(f(2))=g(3)=1,符合题意; 当x=3时, f(g(3))=f(1)=1,g(f(3))=g(1)=3,不符合题意. 综上,满足f(g(x))>g(f(x))的x的值为2. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026安徽合肥一中月考]已知函数y=f(1-x)的图象如图所示,则y=|f(x+2)|的图象是 ( )    　       　          D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　当x=-2时,y=|f(-2+2)|=|f(0)|, 由y=f(1-x)的图象知当x=1时,y=f(1-1)=f(0)=0, 所以y=|f(x+2)|的图象经过点(-2,0),观察选项知D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2025湖北武汉第六中学月考]如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5 cm,AC=4 cm,点P从点A出发,以1 cm/s 的速度沿AC边向点C运动,同时点Q从点A出发,以2 cm/s的速度沿AB,BC边向点C运动,直到它们都到达 点C为止.若△APQ的面积为S cm2,点P的运动时间为t s,则S与t的函数图象是 ( )    　          C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　在Rt△ABC中,由勾股定理得BC= = =3(cm), 根据题意知点Q到达点B的时间是  s,到达点C的时间为 =4(s),点P到达点C的时间为4 s,当点Q在AB 边上时(不含端点),0<t< ,AQ=2t cm,AP=t cm, 如图1,过点Q作QD⊥AC于点D,则DQ∥BC, ∴△ADQ∽△ACB,∴ = ,∴ = , 解得DQ= t cm,∴S= PA·DQ= ×t× t= t2(cm2);    第1讲　描述运动的基本概念 当点Q在BC边上时, ≤t≤4,BQ=(2t-5)cm,AP=t cm,如图2, ∴CQ=(8-2t)cm, ∴S= AP·CQ= ·t·(8-2t)=(-t2+4t)cm2. 综上所述,S与t的函数关系式为S=  ∴函数图象的第一段为过原点且开口向上的抛物线的一部分,第二段为自左向右逐渐下降且开口向下 的抛物线的一部分.结合选项知C中图象符合. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　函数解析式的求法及应用 4.[多选题][2025江西南昌进贤二中期中]若函数f(x)满足关系式f(x)+3f(2-x)= ,则下列结论正确的是  ( ) A. f(-2)= 　    B. f(-1)=f(1) C. f(3)=-1　    D. f(3)+3f(-1)=      ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　对于f(x)+3f(2-x)= ①,用2-x代换x,则f(2-x)+3f(x)= ②,由3×②-①,并整理,得f(x)= - , 故f(-2)= ,f(3)=- ,A正确,C错误; f(-1)= + = ,f(1)= - = ,即f(-1)=f(1),B正确; 由①式知,当x=3时,f(3)+3f(-1)= ,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[多选题][2025广东广州奥林匹克中学期中]设f(x)= ,则下列结论成立的是 ( ) A. f(-x)=f(x)　    B. f =-f(x) C. f(2x)=2f(x)　    D. f =f(x)     A     解析　    f(-x)= = =f(x),故A正确; f = = = =-f(x),故B正确,D错误; f(2x)= ,2f(x)= ,显然f(2x)≠2f(x),故C错误. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[多选题][2026江西南昌行知中学期中]若函数f(x)的定义域为R,满足∀x,y∈R,都有f(xy)=f(x)f(y)成立, 则f(x)可能的解析式有 ( ) A.f(x)=|x|　    B.f(x)=3x　     C.f(x)= 　    D.f(x)=x3     AD     解析　　对于A,f(x)=|x|的定义域为R,且f(xy)=|xy|=|x|·|y|=f(x)f(y),符合题意,故A正确; 对于B,f(x)=3x的定义域为R,f(xy)=3xy,f(x)f(y)=3x·3y=9xy,两者不恒相等,故B错误; 对于C,f(x)= 的定义域为{x|x≠0},不满足x∈R,故C错误; 对于D,f(x)=x3的定义域为R,且f(xy)=(xy)3=x3y3=f(x)f(y),符合题意,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　分段函数及其应用 7.[2025江苏南京六校期中]已知函数f(x)= 若f(a)=2,则f(5-a)的值为( ) A.1　     B.1或0 C.-1或1或0　    D.1或-1或      B     解析　　依题意得 ①或 ②或 ③, 易知①无解;解②得a=4,则f(5-a)=f(1)= =1;解③得a=6(a=2舍),则f(5-a)=f(-1)=2×(-1)+2=0. 故f(5-a)的值为1或0. 第1讲　描述运动的基本概念 8.已知f(x)=|x-5|+|x+3|,则f(x)≥10的解集是( ) A.[-5,7]　    B.(-∞,-5]∪[7,+∞)　     C.[-4,6]　    D.(-∞,-4]∪[6,+∞)     D     解析　    解法一:由题意得f(x)=|x-5|+|x+3|= 当x<-3时, f(x)≥10可化为-2x+2≥10,解得x≤-4; 当-3≤x≤5时, f(x)≥10可化为8≥10,显然不成立; 当x>5时, f(x)≥10可化为2x-2≥10,解得x≥6. 因此f(x)≥10的解集为(-∞,-4]∪[6,+∞). 解法二:由绝对值的几何意义知f(x)=|x-5|+|x+3|表示数轴上的点到-3和5的距离之和,由5-(-3)=8 知满足f(x)≥10的x的范围是(-∞,-4]∪[6,+∞). 小题速解　当x=0时, f(x)=8,不满足f(x)≥10,排除A,B;当x=-4时, f(x)=10≥10,排除C. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026山东潍坊期中]已知函数f(x)= 若f(a)=f(a+1),则a= ( ) A.-1　    B.0　    C. 　    D.1     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　当x∈ 时,f(x)=x2-x= - ,f(x)随x的增大而减小; 当x∈ 时,f(x)=-x+1,f(x)随x的增大而减小. 当a≤ ,a+1≤ 时,方程f(a)=f(a+1)无解; 当a> ,a+1> 时,方程f(a)=f(a+1)无解; 当a≤ ,a+1> ,即- <a≤ 时,f(a)=a2-a,f(a+1)=-a, 由f(a)=f(a+1),得a2-a=-a,所以a=0. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[多选题][2026江西赣州第一中学质量检测]已知函数f(x)= 则下列说法中正确的是 ( ) A.f(f( ))=3 B.若f(x)=-1,则x=2 C.f(x)<2的解集为(-∞,0)∪(1,+∞) D.∀x∈R,a>f(x),则a≥3     CD 第1讲　描述运动的基本概念 解析　　对于A,f( )=-( )2+3=0,f(0)=0+2=2,则f(f( ))=2,故A错误. 对于B,当x<1时,令f(x)=x+2=-1,解得x=-3,符合题意; 当x≥1时,令f(x)=-x2+3=-1,解得x=2或x=-2(舍去), 所以若f(x)=-1,则x=-3或x=2,故B错误. 对于C,当x<1时,令f(x)=x+2<2,解得x<0; 当x≥1时,令f(x)=-x2+3<2,解得x>1或x<-1(舍去), 所以f(x)<2的解集为(-∞,0)∪(1,+∞),故C正确. 对于D,当x<1时,f(x)随x的增大而增大,此时f(x)∈(-∞,3); 当x≥1时,f(x)随x的增大而减小,此时f(x)∈(-∞,2]. 综上,f(x)∈(-∞,3). 若∀x∈R,a>f(x),则a≥3,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026安徽合肥九中月考]定义min{a,b}= 函数f(x)=min{x2-3x+3,-|x-3|+3},若f(x)在区间[m,n]上 的值域为 ,则n-m的最大值为_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　当x2-3x+3=-|x-3|+3时,解得x=1或x=3, 由题意知当x≤1或x≥3时,f(x)=-|x-3|+3,当1<x<3时,f(x)=x2-3x+3, 即f(x)= 作出f(x)的图象如图所示,   当x≤1时,f(x)=x,令f(x)= ,解得x= ,令f(x)=2,无解; 第1讲　描述运动的基本概念 (与分段函数有关的问题一般分类讨论,分段求解) 当1<x<3时,f(x)=x2-3x+3,令f(x)= ,解得x= (二重根),令f(x)=2,解得x=  ; 当x≥3时,f(x)=-x+6,令f(x)= ,解得x= ,令f(x)=2,解得x=4. 由图知,当m∈ ,n= 时,f(x)的值域为 , 此时n-m的最大值为 - = ; (n-m的最大值为n的最大值减去m的最小值) 当m=4,n= 时,f(x)的值域为 ,此时n-m= , 因为 > ,所以n-m的最大值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2026江西鹰潭部分学校期中]红色旅游是一种将爱国教育与自然景观结合起来的新型主题旅游形 式,受到了越来越多游客的欢迎.某旅游公司今年开发了一处红色旅游景区,该景区一年需投入固定成 本300万元,若该景区在一年内有x万名游客,则另需投入成本t(x)万元,且t(x)= 已 知该景区门票售价为70元/人,当地政府为鼓励该景区更好地发展,每年给该旅游公司财政补贴10x万元. (1)求该景区一年的利润f(x)(单位:万元)关于人数x(单位:万)的函数解析式; (2)一年的游客为多少万人时,该景区一年的利润最大?最大利润是多少? 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)该景区一年的利润f(x)=70x+10x-t(x)-300, 又t(x)=  所以该景区一年的利润f(x)=  (2)当0<x≤5时,f(x)=80x-340,f(x)随x的增大而增大,此时f(x)max=f(5)=60; 当5<x<25时,f(x)=-x2+40x-150=-(x-20)2+250, 可得函数f(x)的图象开口向下,对称轴为直线x=20, 第1讲　描述运动的基本概念 所以当x=20时,f(x)max=f(20)=250; 当x≥25时,f(x)=-x- +308=- +309, x+1+ ≥2 =60,当且仅当x+1= ,即x=29时取等号, 故f(x)=- +309≤-60+309=249,故f(x)max=f(29)=249. 因为250>249>60, 所以一年的游客为20万人时,该景区一年的利润最大,且最大利润是250万元. 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　以实际生活为背景考查分段函数的最值 13.[2026江西多校联考]“双11”购物节期间,小李在某网上购物平台搜索销售商品A的店铺,筛选出优 惠幅度比较大的甲、乙、丙、丁四家店铺.已知这4家店铺原来销售的商品A的价格都是每件60元,购物 节期间某时间段内对于商品A,甲店铺每件均按原价的6折(即原价的60%)销售;乙店铺按原价买二送一 的方式销售;丙店铺按首件原价、第二件8折(即原价的80%)、第三件免单的方式销售;丁店铺按照原价 销售,顾客支付款不超过100元的部分按照30%返现,超过100元的部分按照40%返现.若该时间段内小李 准备购买x(x=1或3)件A商品(包含赠送的及免单的),设在甲、乙、丙、丁店铺购买所需费用分别为f1(x) 元,f2(x)元,f3(x)元,f4(x)元,记f1(x),f2(x),f3(x),f4(x)中的最小值为f(x),则 ( ) A.f2(1)<f3(1)　    B.f(1)=42 C.f(3)=118　    D.f1(3)=f3(3)     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　由题意得f1(x)=  即f1(x)=  f2(x)= 即f2(x)=  f3(x)=  即f3(x)=  f4(x)=   第1讲　描述运动的基本概念 即f4(x)=  对于A,f2(1)=60,f3(1)=60,则f2(1)=f3(1),故A错误; 对于B,f(1)=f1(1)=36,故B错误; 对于C,D,f(3)=f1(3)=f3(3)=108,故C错误,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 $