第6章 §4 01-4.1 样本的数字特征(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦“用样本估计总体的数字特征”，涵盖平均数、中位数、众数、方差等核心知识，通过工人生产零件数、气温统计等实际问题导入，衔接抽样方法，为用样本推断总体搭建学习支架。 其亮点在于精选各地名校月考真题，设置易错警示（如中位数需排序）和规律总结（如数据变换对数字特征的影响），以公司收入分析、体育比赛评分等实例，培养学生用数学思维分析数据、用数学语言表达结论的能力，助力学生提升数据分析素养，也为教师提供丰富教学资源。

第六章 统计 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 §4　用样本估计总体的数字特征 4.1　样本的数字特征 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　平均数、中位数、众数 1.[2026河南部分学校质量监测]10名工人某天生产同一零件,生产的件数分别为15,17,14,10,15,17,17,1 6,14,12,设其平均数为a,中位数为b,众数为c,则有 ( ) A.a>b>c　    B.c>b>a　    C.c>a>b　    D.b>c>a     B     解析　　将数据从小到大排列,为10,12,14,14,15,15,16,17,17,17, 故中位数b= =15,众数c=17, 平均数a= =14.7, 故c>b>a. 第1讲　描述运动的基本概念 易错警示　求一组有限个数据的中位数时,要注意先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列,排 列后的最中间一个数(数据总个数为奇数)或最中间两个数的平均数(数据总个数为偶数)即为所求的中 位数. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026贵州贵阳清华中学月考]某同学测得连续7天的最低气温(单位:℃)分别为1,2,2,m,6,2,8,若这组数 据的平均数是中位数的2倍,则m= ( ) A.2　    B.3　    C.6　    D.7     D     解析　    由题意可知,这组数据的平均数为 = , 除m外,将数据按从小到大排列为1,2,2,2,6,8, 结合m的任意性可知中位数为2, 则 =2×2,解得m=7. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026河北保定定州中学月考]小李是一名健身运动爱好者,如图所示的统计图记录了他过去一个月(3 0天)每天花在健身运动上的时间(单位:分钟),记这组数据的众数为M,中位数为N,平均数为P,则 ( )       D A.N<M<P　    B.P<N<M C.M<P<N　    D.M<N<P 第1讲　描述运动的基本概念 解析　　由统计图可得,众数M=50; 将30个数据从小到大排列后,处在中间位置的两个数据为50,60, 所以中位数N= =55; 平均数P= ×(2×30+3×40+10×50+6×60+3×70+2×80+2×90+2×100)≈59.7, 所以M<N<P. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026江西赣州南康中学月考]某班30位同学的安全知识测试成绩统计如下表,其中有两个数据被遮 盖,不影响下列关于成绩的统计量的是 ( )     B     成绩 24 25 26 27 28 29 30 人数 ▄ ▄ 3 3 6 7 9 A.平均数,众数　    B.中位数,众数 C.平均数,方差　    D.中位数,方差 解析　　∵3+3+6+7+9=28,∴被遮盖的两个数据之和为30-28=2, ∴这组数据中,30出现的次数最多,∴众数是30,不受被遮盖的两个数据的影响. 将30位同学的成绩按从小到大进行排序后,第15个数和第16个数的平均数即为中位数,2+3+3+6=14,2+3 +3+6+7=21,∴这组数据的中位数是 =29,不受被遮盖的两个数据的影响.B正确. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2025河南豫东部分名校联考]某公司员工的月收入如表所示. 月收 入/元 45 000 18 000 10 000 5 500 5 000 3 400 3 300 1 000 人数 1 1 1 3 6 1 11 1 能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是　     ( ) A.平均数和众数　    B.平均数和中位数　     C.中位数和众数　    D.平均数和方差     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　该公司共有员工1+1+1+3+6+1+11+1=25(人), 该公司员工月收入的众数为3 300元,在25名员工中有13人的月收入(单位:元)在该数据之上,因此众数 能够反映该公司全体员工月收入水平; 月收入(单位:元)由小到大排列后,第13个数为3 400,因此该公司员工月收入的中位数为3 400元, 在25名员工中有13人的月收入大于或等于3 400元,则中位数也能够反映该公司全体员工月收入水平; 25名员工月收入的平均数为(45 000+18 000+10 000+3×5 500+6×5 000+3 400+11×3 300+1 000)÷25=6 4 08(元), 受极端数据45 000,18 000等影响,平均数偏离多数人的收入水平,不能反映该公司全体员工月收入水平; 方差反映数据的离散程度,不能反映该公司全体员工月收入水平. 所以能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是中位数和众数. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　极差、方差、标准差 6.[多选题][2026江西吉安西路七校联考]甲、乙两名篮球运动员连续5场比赛的得分如图所示,则 ( ) A.甲得分的平均数大于乙得分的平均数 B.甲得分的极差大于乙得分的极差 AC     C.甲得分的中位数大于乙得分的中位数 D.甲得分的标准差大于乙得分的标准差 第1讲　描述运动的基本概念 解析　    甲5场比赛得分由低到高分别为15,16,18,21,30, 乙5场比赛得分由低到高分别为4,10,16,22,38, 甲得分的平均数为 =20,乙得分的平均数为 =18, 则甲得分的平均数大于乙得分的平均数,A正确; 甲得分的极差为30-15=15,乙得分的极差为38-4=34,故甲得分的极差小于乙得分的极差,故B错误; 甲得分的中位数为18,乙得分的中位数为16,则甲得分的中位数大于乙得分的中位数,故C正确; 甲得分的方差为  =29.2,标准差为 , 乙得分的方差为  =136,标准差为 =2 ,故甲得分的标准差小于 乙得分的标准差(或由题图可知甲的数据波动程度相对于乙较小,故甲得分的标准差小于乙得分的标准差),故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026浙江宁波北仑中学月考]已知样本数据x1,x2,…,xn的平均数为 ,方差为s2(s2≠0),若样本数据ax1+1, ax2+1,…,axn+1(a>0)的平均数为4 ,方差为4s2,则 = ( ) A. 　    B.1 C.2　    D.4     A     解析　　由方差的性质得ax1+1,ax2+1,…,axn+1(a>0)的方差为a2s2,故a2s2=4s2, 解得a=±2,由a>0,可知a=2. 由平均数的性质得ax1+1,ax2+1,…,axn+1(a>0)的平均数为a +1, 故a +1=2 +1=4 ,解得 = . 规律总结    若一组数据的平均数为 ,方差为s2,则将这组数据分别加上(或减去)同一个常数a,所得数据 的平均数为 +a(或 -a),方差不变;将这组数据分别乘同一个常数b(b≠0),所得数据的平均数为b ,方差 为b2s2. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[多选题][2025河北衡水金衡学校月考]已知m,n∈R,有一组数据为2+m,3,6-n,7-m,8,10,11+n,12,13,若去 除这组数据中的第5个数8,则( ) A.平均数不变　    B.中位数不变 C.标准差不变　    D.极差不变     AD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　对于A,原数据的平均数为  =8, 去除第5个数8后的平均数为  =8, 所以平均数不变,故A正确; 对于B,当m=n=0时,原数据的中位数为8, 去除第5个数8后的中位数为 =8.5, 此时中位数改变,故B错误; 对于C,原数据的方差 = [(2+m-8)2+(3-8)2+…+(8-8)2+…+(13-8)2] 第1讲　描述运动的基本概念 = [(2+m-8)2+(3-8)2+…+(13-8)2], 去除第5个数8后的方差 = [(2+m-8)2+(3-8)2+…+(13-8)2], 所以 < ,即方差变大,则标准差也变大,故C错误; 对于D,由数据可知8不会是最大值或最小值,去掉8对极差没有影响,即极差不变,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2025江西上饶四中月考]已知某组数据为x,y,8,10,11,它的平均数为8,方差为6,则x2+y2的值为__________.     65     解析　因为x,y,8,10,11的平均数为8,所以x+y=8×5-(8+10+11)=11, 这组数据的方差为 ×[(x-8)2+(y-8)2+(8-8)2+(10-8)2+(11-8)2]=6,得(x-8)2+(y-8)2=17, 则x2+y2-16(x+y)+128=17, 故x2+y2=65. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026广东湛江二十一中月考]为了迎接某项活动,某市积极开展网上竞赛,先采取甲、乙两套方案进 行培训,并对分别采取两套方案培训的单位的7次线上测试成绩进行统计,如图所示: (1)分别求用甲、乙两套方案培训的测试成绩的平均数和方差; (2)从下列两个不同的角度对这次方案选择的结果进行分析: ①从平均数和方差相结合角度(分析哪套方案的成绩更好); ②从折线图上两套方案的走势(分析哪套方案更有潜力). 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题图中的数据可得用甲方案培训的测试成绩的平均数 =  =115, 用乙方案培训的测试成绩的平均数 = =115, 用甲方案培训的测试成绩的方差 = =16, 用乙方案培训的测试成绩的方差 = = . (2)①因为用甲、乙两套方案培训的测试成绩的平均数相等,且 > ,所以用乙方案培训成绩更稳定、 更好. ②从折线图的走势上看甲方案更有潜力,使用甲方案的成绩稳步提高,而使用乙方案的成绩不稳定,忽 上忽下. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　频率分布直方图中的数字特征 11.以下是人数相同的四个班级某次数学考试成绩的频率分布直方图,其中方差最小的是 ( )     B     解析　　方差表示数据波动性的大小、稳定程度.数据越靠近平均数,方差越小,结合题图可知,B中数 据主要集中在70~80内,且波动性小,故方差最小. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[多选题][2026河南名校联考]为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年,某地面向 全体中学生开展了以“铭记历史、缅怀先烈、珍爱和平、开创未来”为主题的知识竞赛活动.现从中 随机抽取了200名学生的成绩(单位:分,满分100分),将所得统计结果按[50,60),[60,70),…,[90,100]分组, 得到如图所示的频率分布直方图(每组数据以该组所在区间的中点值为代表),则 ( )       ACD     A.x=0.015 B.估计样本数据的平均数为82 C.估计样本数据的众数为95 D.估计样本数据的平均数小于中位数 第1讲　描述运动的基本概念 解析　　对于A,由题图可知(0.005+0.010+x+0.030+0.040)×10=1,得x=0.015,故A正确; 对于B,估计样本数据的平均数为0.005×10×55+0.010×10×65+0.015×10×75+0.030×10×85+0.040×10×95 =84,故B错误; 对于C,估计样本数据的众数为 =95,故C正确; 对于D,前3组频率之和为(0.005+0.010+0.015)×10=0.3, 前4组频率之和为0.3+0.030×10=0.6,所以中位数在[80,90)内, 设中位数为x,则0.3+(x-80)×0.03=0.5,解得x≈87, 所以平均数小于中位数,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2025广东韶关一检]众数、平均数和中位数都描述了数据的集中趋势,它们的大小关系和数据的分 布形态有关.根据某小区1 000户居民的月均用水量(单位:t)数据,得到如图所示的频率分布直方图(图中 各分组区间除最后一组为闭区间外,其余均为左闭右开区间,同一组中的数据用该组区间的中点值作代 表),记该组数据的众数为p,中位数为m,平均数为 ,则 ( )     D     A.m<p< 　    B.p< <m　    C.m< <p　    D.p<m<  第1讲　描述运动的基本概念 解析　　观察题中频率分布直方图,发现它是右边“拖尾”的形状,所以这组数据的平均数 大于其中 位数m. 由于第一个小矩形的面积为4×0.060=0.24<0.50,前2个小矩形的面积之和为4×(0.060+0.080)=0.56>0.50, 所以中位数在[5,9)内, 则0.24+(m-5)×0.080=0.5,解得m=8.25. 众数p= =7,故p<m< . 第1讲　描述运动的基本概念 14.[多选题][2026广东佛山质量检测]对相同的样本数据x选取不同的组距(每组为左闭右开区间)画出 如图1、图2所示的频率分布直方图,其中图2的部分信息丢失,由频率分布直方图的信息对总体进行估 计,则 ( )        A.图2中数据在[4,6)内的频率为0.3 B.图2中众数的估计值唯一 C.图1与图2的中位数的估计值相同     AC     D.图1与图2的平均数的估计值相同 第1讲　描述运动的基本概念 解析　　题图2中数据在[4,6)内的频率为0.15×2=0.3,故A正确. 设在题图2中[0,2),[2,4)所对应矩形的高度分别为h1,h2, 在题图1中数据在[0,4)内的频率为0.05×4=0.2,故2(h1+h2)=0.2,得h1+h2=0.1, 故h1≤0.1,h2≤0.1,则众数必在[4,8)内取得(也可以直接观察题图1知众数在[4,8)内取得), 因为题图2中[4,6),[6,8)所对应矩形的高度相等,故众数的估计值不唯一,故B错误. 题图1中,第1个矩形的面积为0.05×4=0.2,前2个矩形的面积和为(0.05+0.15)×4=0.8,故中位数在[4,8)内, 设为m,则0.2+(m-4)×0.15=0.5,解得m=6; 题图2中,由B知前2个矩形的面积和为0.1×2=0.2,前3个矩形的面积和为0.2+0.15×2=0.5,故中位数的估计 值为6,故C正确.题图1平均数的估计值为(0.05×2+0.15×6+0.05×10)×4=6; 题图2平均数的估计值为(h1×1+h2×3+0.15×5+0.15×7+0.05×9+0.05×11)×2=2h1+6h2+5.6,不能确定题图1 与题图2的平均数的估计值相同,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 15.[2025山西朔州怀仁一中月考]对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计,随机抽取M名学 生,得到这M名学生参加社区服务的次数,根据此数据作出如下频率分布表和频率分布直方图. 分组 频数 频率 [10,15) 10 0.20 [15,20) 24 n [20,25) m p [25,30] 2 0.04 合计 M 1 第1讲　描述运动的基本概念   (1)求出表中M,p及图中a的值; (2)若该校有高三学生300人,试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[15,20)内的人数; (3)估计该校高三学生参加社区服务次数的众数、中位数及平均数(保留一位小数). 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意得 =0.20,解得M=50, 所以10+24+m+2=50,解得m=14, 所以p= = =0.28,a= =0.096. (2)估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[15,20)内的人数为 ×300=144. (3)估计该校高三学生参加社区服务次数的众数是 =17.5. 因为n= =0.48,所以中位数x满足0.2+(x-15)× =0.5,解得x=18.125, 所以估计该校高三学生参加社区服务次数的中位数为18.1. 因为12.5×0.20+17.5×0.48+22.5×0.28+27.5×0.04=18.3, 所以估计该校高三学生参加社区服务次数的平均数是18.3. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 §4　用样本估计总体的数字特征 4.1　样本的数字特征 第1讲　描述运动的基本概念 题组　样本的数字特征及其应用 1.[多选题][2025湖南多校期末联考]某快递公司2020—2024年的快递业务量及其增长率如图所示,则  ( ) A.该公司2020—2024年快递业务量逐年上升     ABD     B.该公司2020—2024年快递业务量的极差为68.5亿件 C.该公司2020—2024年快递业务量的增长率的中位数为29.9% D.该公司2020—2024年快递业务量的增长率的平均数为21.58% 第1讲　描述运动的基本概念 解析　　对于A,由题图可知,该公司2020—2024年快递业务量逐年上升,故A正确; 对于B,该公司2020—2024年快递业务量的极差为132.0-63.5=68.5(亿件),故B正确; 对于C,将增长率从小到大排序,即2.1%,19.3%,25.3%,29.9%,31.3%,则中位数为25.3%,故C错误; 对于D, ×(2.1%+19.3%+25.3%+29.9%+31.3%)=21.58%,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2026广东中山月考]已知x1,x2,…,xn的平均数 =10,方差 =9,且yi=xi+2(i=1,2,…,n),记y1,y2,…,yn 的平均数为 ,方差为 ,则下列结论正确的是 ( ) A. =10　    B. yi=12n C. =9　    D.  =153n     BCD     解析　     =  (xi+2)= +2=10+2=12,故A错误;  yi=n =n×12=12n,故B正确;  =   =  (xi+2-12)2=  (xi-10)2= =9(也可直接由方差的性质得yi=xi+2的方差 =12× =9),故 C正确;  =   - ,即9=   -122,化简得   =153,即  =153n,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[多选题][2026江西南昌第二中学期末]某体育比赛有7位评委打分,去掉一个最高分,去掉一个最低分 后,下列说法正确的是 ( ) A.中位数一定不变　    B.平均数一定不变 C.方差不变或变小　    D.极差不变或变小     ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　设7个原始分为x1,x2,…,x7,且满足x1≤x2≤…≤x7,去掉一个最高分,去掉一个最低分后有效分为x 2,x3,…,x6, 原始分的中位数为x4,有效分的中位数也为x4,故A正确; 原始分的平均数 = , 有效分的平均数 '= , 则 - '= - = , 因为x1,x2,…,x7的具体值未知,所以平均数变化不确定,故B错误; 去掉一个最高分,去掉一个最低分后数据更加集中,数据的离散程度会减小,故方差变小,当x1=x2=…=x7 时,方差不变,故C正确; 原始分的极差为x7-x1,有效分的极差为x6-x2,则x6-x2≤x7-x1,故极差变小或不变,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026上海松江二中月考]某课外活动小组为研究日平均气温的变化情况,将连续5天的日平均气温(单 位:℃)的记录数据作为一组样本,他们得到了满足下列条件的四个样本: ①平均数为3,极差为2; ②中位数为7,众数为9; ③众数为5,极差为6; ④平均数为4,方差为2, 则这四个样本中,连续5天的日平均气温均低于10 ℃的至少有 ( ) A.1个　    B.2个　    C.3个　    D.4个     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　设连续5天的日平均气温(单位:℃)分别为x1,x2,x3,x4,x5,且x1≤x2≤x3≤x4≤x5. 对于①,平均数为3,则x1+x2+x3+x4+x5=15,极差为2,则x5=x1+2, 若x5=x1+2≥10,则x1≥8,与平均数为3矛盾,①符合题意; 对于②,中位数是7,众数是9,则x3=7,x4=x5=9,所以5个数据都小于10,②符合题意; 对于③,如5,5,9,10,11,第5天的日平均气温超过10 ℃,③不一定符合题意; 对于④,平均数为4,则x1+x2+x3+x4+x5=20, 方差为2,则 + + + + =10, 若x5>10,则x5-4>6, >36,矛盾,④符合题意. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[多选题]已知甲、乙两个样本各有10个数据,甲、乙两组数据合并后得到一组新数据,下列说法正确 的是     ( ) A.若甲、乙两组数据的平均数都为a,则新数据的平均数等于a B.若甲、乙两组数据的极差都为b,则新数据的极差可能大于b C.若甲、乙两组数据的方差都为c,则新数据的方差可能小于c D.若甲、乙两组数据的中位数都为d,则新数据的中位数等于d     ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　设甲:x1,x2,…,x10,乙:y1,y2,…,y10,新数据为z1,z2,…,z20. 对于A, = (z1+z2+…+z20)= (10a+10a)=a,A正确; 对于B,设甲:1,2,…,10,乙:21,22,…,30,则甲、乙两组数据的极差均为9,但混合后数据的极差为29,B正确; 对于C,因为 ( + +…+ -10 )= ( + +…+ -10 )=c, 所以 + +…+ =10c+10 , + +…+ =10c+10 , 所以新数据的方差为 ( + +…+ + + +…+ -20 )= (10c+10 +10c+10 -20 )=c+  , 又 = ,所以 + -2 = + -2× = ≥0, 所以新数据的方差一定不小于c,C错误; 第1讲　描述运动的基本概念 对于D,不妨设x1≤x2≤…≤x10,y1≤y2≤…≤y10,则d= = , 将混合后的数据按从小到大排列, 若x5≤y5,则x6≥y6,所以第10,11个数分别为y5和y6, 若x5>y5,则x6<y6,所以第10,11个数分别为x5和x6, 两种情形下,新数据的中位数都等于d,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026广东江门一中月考]已知某7个数的平均数为3,方差为s2,现又加入一个新数据3,此时这8个数的 平均数为 ,方差为 ,则s2=_________.     4     解析　设七个数分别为xi(i=1,2,…,7),则 xi=21, 当加入一个新数据3时,这8个数的平均数 = ( xi+3)=3, 故这8个数的方差s'2= [  +(3-3)2]= ,解得  =28, 所以原七个数的方差s2=   = ×28=4. 第1讲　描述运动的基本概念 小题速解　新增一个数据3后,8个数的平均数 = =3, 方差s'2= ×[s2+(3-3)2]+ ×(3-3)2= , 即 s2= ,解得s2=4. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2025安徽阜阳太和中学期中]某校高一(2)班有40名学生,在一次物理考试中,统计出平均分数为70,方 差为95,后来发现有2名同学的成绩有误,甲实得70分却记为50分,乙实得60分却记为80分,则更正后的分 数的方差是__________.     85     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设更正前甲、乙和其他38名同学的分数依次为a1,a2,…,a40, 则a1+a2+…+a40=40×70, 即50+80+a3+…+a40=40×70, 所以130+a3+…+a40=40×70. 由更正前方差为95得(a1-70)2+ +(a3-70)2+…+ =40×95, 即202+102+ +…+ =40×95, 所以102+ +…+ =40×95-400. 更正后的平均分为 = =70, 方差为 ×[(70-70)2+(60-70)2+ +…+ ]= ×[102+ +…+ ]= ×(40×95-40 0)=85. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2025江西吉安部分学校联考]红心猕猴桃因富含维生素C及K,Ca,Mg等多种矿物质和18种氨基酸,被 誉为“维C之王”.某收购商为了了解某种植基地的红心猕猴桃的品质,从该基地的8 000个红心猕猴桃 中随机抽取100个来称重,其质量(单位:克)全部分布在区间[60,120]内,将所得数据按[60,70),[70,80), [80,90),[90,100),[100,110),[110,120]分成6组,得到频率分布直方图如图所示. (1)估计这8 000个红心猕猴桃中质量不小于90克的猕猴桃个数,并说明理由; (2)若该收购商准备收购这批猕猴桃,并提出了以下两种收购方案: 方案一:所有猕猴桃均以10元/千克的价格收购; 方案二:小于90克的猕猴桃以5元/千克的价格收购,不小于90克的 猕猴桃以15元/千克的价格收购.请你就这两种方案,通过计算为该 猕猴桃基地老板选择最佳的出售方案.(同一组中的数据用该组区间 的中点值作代表) 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)这100个猕猴桃中,质量不小于90克的频率为(0.03+0.025+0.005)×10=0.6, 所以估计这8 000个红心猕猴桃中质量不小于90克的个数为8 000×0.6=4 800. (2)这批猕猴桃的平均质量为65×0.1+75×0.1+85×0.2+95×0.3+105×0.25+115×0.05=91.5(克), 故若按方案一进行收购,则猕猴桃基地老板的收入为 ×91.5×10=7 320(元). 质量小于90克的每个猕猴桃的平均质量为 =77.5(克), 质量不小于90克的每个猕猴桃的平均质量为 = (克), 故若按方案二进行收购,则猕猴桃基地老板的收入为 =15 200(元). 因为15 200>7 320,所以方案二为最佳的出售方案. 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　定义“[x]”“{x}”,考查统计知识 9.[2025四川成都树德中学期中]《中国制造2025》是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领. 制造业是国民经济的主体,是立国之本、兴国之器、强国之基.发展制造业的基本方针是质量为先,要 坚持把质量作为建设制造强国的生命线.某电子产品制造企业为了提升生产效率,对现有的一条电子产 品生产线进行技术升级改造,为了分析改造的效果,该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中 随机抽取了1 000件,检测产品的某项质量指标值,根据检测数据得到下表. 质量指标值 [25, 35) [35, 45) [45, 55) [55, 65) [65, 75) [75, 85) [85, 95] 产品件数 60 100 160 300 200 100 80 第1讲　描述运动的基本概念 (1)估计这组样本的质量指标值的平均数 和方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表); (2)设[x]表示不大于x的最大整数,{x}表示不小于x的最小整数,an=5· ,bn=5· ,n∈N+,标准差s 的值精确到个位.根据检验标准,技术升级改造后,若有65%的产品的质量指标值落在[a1,b1]内,则可以判 定技术改造后的产品质量初级稳定;若有95%的产品的质量指标值落在[a2,b2]内,则可以判定技术改造 后的产品质量稳定,认为该生产线的技术改造成功.根据样本数据估计,是否可以判定该生产线的技术 改造是成功的.(附: ≈16) 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题表中数据,可知 =30×0.06+40×0.1+50×0.16+60×0.3+70×0.2+80×0.1+90×0.08=61(表格中 产品件数除以样本量1 000为相应频率), s2=(30-61)2×0.06+(40-61)2×0.1+(50-61)2×0.16+(60-61)2×0.3+(70-61)2×0.2+(80-61)2×0.1+(90-61)2×0.08=24 1. (2)由(1)知s2=241,则s≈16, 则a1=5× =45,b1=5× =75,即[a1,b1]=[45,75], 该样本数据落在[45,75]内的频率约为0.16+0.3+0.2=0.66,0.66×100%=66%>65%. a2=5× =30,b2=5× =90,即[a2,b2]=[30,90], 该样本数据落在[30,90]内的频率约为1-0.03-0.04=0.93(利用了频率总和为1这一性质),0.93×100%=93% <95%, ∴可以判定技术改造后的产品质量初级稳定,但不能判定该生产线技术改造是成功的. 第1讲　描述运动的基本概念 解题模板    统计中的新定义问题,求解的关键在于正确理解新定义,将其与已有的统计知识相关联.具 体求解步骤如下: (1)精读定义,明确内涵; (2)联系旧知,转化问题:将新定义与熟悉的统计知识(如平均数、方差等)相结合; (3)按规操作,准确计算:依据新定义规则严格运算,如计算新定义下的数字特征,确保步骤完整,计算准 确; (4)检验结果,反思总结:检查结果是否符合新定义的情境与实际意义,进而得出结论. 第1讲　描述运动的基本概念 $