第6章 4.1 样本的数字特征-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（北师大版）

§4　用样本估计总体的数字特征 4．1　样本的数字特征 新课导入 学习目标 　　在初中的学习中我们已经了解到，平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势．如果给出一组具体数据x1，x2，…，xn，我们该如何计算呢？本节课让我们一起来探讨吧！ 1.会求样本的众数、中位数、平均数、极差、方差和标准差，并理解它们的意义和作用． 2．能用样本的数字特征估计总体的数字特征，作出合理解释和决策． 知识点　样本数字特征的计算 现从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种家电产品中，各抽取8件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，其结果如下(单位：年)：甲：3，4，5，6，8，8，8，10；乙：4，6，6，6，8，9，12，13；丙：3，3，4，7，9，10，11，12. 思考　三家广告中都称其产品的使用寿命为8年，利用初中所学的知识，你能说明为什么吗？ 提示：三个厂家从不同角度进行说明，来宣传自己的产品，其中甲：众数8年；乙：平均数8年；丙：中位数8年． [知识梳理] 1．样本的数字特征 类别 概念或计算公式 特征或作用 平 均 数 样本数据的平均值 ＝(x1＋x2＋…＋xn) 反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值敏感 中 位 数 一般地，将样本数据按从小到大的顺序排列后，“中间”的那个数据 使样本数据被分成的两部分的数据量是一样的，不受少数极端数据的影响 众 数 样本数据中出现次数最多的数据 体现了样本数据的最大集中点 极 差 样本数据中最大值和最小值的差 能粗略地刻画样本数据的离散程度 方 差 s2＝[(x1－)2＋(x2 －)2＋…＋(xn－)2] 能较好地刻画样本数据偏离平均数的离散程度，标准差、方差越小，数据的离散程度越小 标 准 差 s＝ 2.众数、中位数、平均数的比较 名称 优点 缺点 众数 ①体现了样本数据的最大集中点； ②容易计算 ①它只能表达样本数据中很少的一部分信息； ②无法客观地反映总体的特征 中位数 ①不受少数极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响； ②容易计算，便于利用中间数据的信息 对极端值不敏感 平均数 代表性较好，是反映数据集中趋势的量．一般情况下，可以反映出更多的关于样本数据的信息 任何一个数据的改变都可能会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大 [即时练] 1．已知样本数据x1，x2，…，x10，其中x1，x2，x3的平均数为a，而x4，x5，x6，…，x10的平均数为b，则样本数据的平均数为(　　) A． B． C. D． 解析：选B.因为前3个数据的和为3a，后7个数据的和为7b，所以样本平均数为.故选B. 2．已知一组数据从小到大排列为－1，0，4，x，6，15，且这组数据的中位数是5，那么这组数据的众数为(　　) A.5 B．6 C．4 D．5.5 解析：选B.由题意得(4＋x)＝5，解得x＝6.则这组数据的众数为6.故选B. 3．已知一组数据4，7，6，5，a的平均数为5，则这组数据的方差为________． 解析：因为4，7，6，5，a的平均数为5，即5＝×(4＋7＋6＋5＋a)，解得a＝3， 则方差为×[(4－5)2＋(7－5)2＋(6－5)2＋(5－5)2＋(3－5)2]＝×10＝2. 答案：2 4．(2026·济源月考)若数据x1，x2，x3，…，x12的方差为9，则数据2x1－2 026，2x2－2 026，2x3－2 026，…，2x12－2 026的方差为________． 解析：因为数据x1，x2，x3，…，x12的方差为s＝9，则数据2x1－2 026，2x2－2 026，2x3－2 026，…，2x12－2 026的方差为s＝22s＝4×9＝36. 答案：36 　 (1)平均数、众数、中位数的计算方法 平均数一般是根据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算． (2)计算标准差的五个步骤 第一步：算出样本数据的平均数； 第二步：算出每个样本数据与样本平均数的差xi－(i＝1，2，…，n)； 第三步：算出(xi－)2(i＝1，2，…，n)； 第四步：算出(xi－)2(i＝1，2，…，n)这n个数的平均数，即样本方差s2； 第五步：算出方差s2的算术平方根，即为样本标准差s. 常用结论　若数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为，方差为s2，则mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a，方差为m2s2. 应用点一　样本数字特征的应用 [例1] 如图是甲、乙两人在一次射击比赛中中靶的情况(击中靶中心的圆面为10环，靶中各数字表示该数字所在圆环被击中时所得的环数)，每人射击了6次． (1)请用列表法将甲、乙两人的射击成绩统计出来； (2)请用学过的统计知识对甲、乙两人这次的射击情况进行比较． 【解】　(1)甲、乙两人的射击成绩统计如下表： 环数 6 7 8 9 10 甲命中次数 0 0 2 2 2 乙命中次数 0 1 0 3 2 (2)甲＝×(8×2＋9×2＋10×2)＝9(环)， 乙＝×(7×1＋9×3＋10×2)＝9(环)， s＝×[(8－9)2×2＋(9－9)2×2＋(10－9)2×2]＝， s＝×[(7－9)2＋(9－9)2×3＋(10－9)2×2]＝1， 因为甲＝乙，s<s， 所以甲与乙的平均成绩相同，但甲的发挥比乙稳定． 　 (1)在实际应用中，常常把平均数与标准差结合起来进行决策．在平均数相等的情况下，比较方差或标准差以确定稳定性．在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中、越稳定． (2)对实际问题的分析评价，不仅要依据单个样本数字特征，还要综合考虑样本分布的影响，养成从多角度看问题的习惯． [跟踪训练1] 16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前8位进入决赛．如果小刘知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，则其他15位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是(　　) A．平均数　　　　　　　 B．极差 C．中位数 D．方差 解析：选C.判断能否进入决赛，只要判断是不是前8位，所以只要知道其他15位同学的成绩中是不是有8位高于他，也就是把其他15位同学的成绩排列后看第8位的成绩即可，小刘的成绩高于这个成绩就能进入决赛，低于这个成绩就不能进入决赛，这个第8位的成绩就是这15位同学成绩的中位数． 应用点二　数字特征与统计图表的交汇问题 [例2] 某科研课题组通过一款手机APP软件，调查了某市1 000名跑步爱好者平均每周的跑步量(简称“周跑量”)，得到如下的频数分布表及频率分布直方图． 周跑量(km/周) [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40) [40，45) [45，50) [50，55] 人数 100 120 130 180 220 150 60 30 10 (1)补全该市1 000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图； (2)根据以上图表数据，试求样本的中位数及众数(保留一位小数)； (3)根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的价格，如下表： 周跑量 小于20 km 20 km到40 km 不小于40 km 类别 休闲跑者 核心跑者 精英跑者 装备价格(单位：元) 2 500 4 000 4 500 根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元？ 【解】　(1)补全该市1 000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图如下： (2)由频率分布直方图得[10，25)的频率为(0.02＋0.024＋0.026)×5＝0.35， [25，30)的频率为0.036×5＝0.18， 设样本的中位数为x， 则0.35＋(x－25)×0.036＝0.5， 解得x≈29.2， 所以样本的中位数约为29.2. 由频率分布直方图得样本的众数为＝32.5. (3)依题意知，休闲跑者共有(0.02＋0.024)×5×1 000＝220(人)， 核心跑者共有(0.026＋0.036＋0.044＋0.030)×5×1 000＝680(人)， 精英跑者共有1 000－220－680＝100(人)， 所以估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费 ×(220×2 500＋680×4 000＋100×4 500)＝3 720(元). 　 频率分布直方图与众数、中位数、平均数的关系 (1)在频率分布直方图中，最高的小矩形底边中点的横坐标为众数的估计值； (2)在频率分布直方图中，用中位数左边和右边的小矩形的面积和是相等的估计中位数的值； (3)平均数是频率分布直方图的“重心”，其估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和． [跟踪训练2] 为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20名工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图． 则：(1)这20名工人中一天生产该产品的数量在[55，75)的人数是__________； (2)这20名工人中一天生产该产品的数量的中位数为__________； (3)这20名工人中一天生产该产品的数量的平均数为__________． 解析：(1)(0.04×10＋0.025×10)×20＝13. (2)因为0.2＋0.4>0.5，所以中位数一定在[55，65)之间，设中位数为x，则0.2＋(x－55)×0.04＝0.5，解得x＝62.5. (3)平均数为0.2×50＋0.4×60＋0.25×70＋0.1×80＋0.05×90＝64. 答案：(1)13　(2)62.5　(3)64 1．(教材P168例1改编)空气质量指数简称AQI，是定量描述空气质量状况的无量纲指数．某市4月30日22时至5月1日5时的空气质量指数的整点报告为70，71，69，70，72，70，68，72，这一时段整点空气质量指数的众数是(　　) A．69 B．70 C．71 D．72 解析：选B.将数据按由小到大排序得：68，69，70，70，70，71，72，72，显然数据70出现次数最多，所以空气质量指数的众数是70.故选B. 2．下列统计量中，能更好地度量样本x1，x2，…，xn的离散程度的是(　　) A．样本x1，x2，…，xn的众数 B．样本x1，x2，…，xn的中位数 C．样本x1，x2，…，xn的标准差 D．样本x1，x2，…，xn的平均数 解析：选C.众数、中位数是反映数据的集中趋势的量；平均数是反映数据的平均水平及集中趋势的量；能更好地反映一组数据离散程度的是标准差．故选C. 3．(教材P181T6改编)某校从参加高一年级期末测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示． 则这次测试数学成绩的众数、中位数、平均数分别为__________，__________，___________．(结果保留1位小数) 解析：由题图知，众数为＝75.0.设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为 0.3，0.3＋0.4＞0.5，因此中位数位于第四个矩形内，则0.4＋(x－70)×0.03＝0.5，所以x≈73.3. 这次数学成绩的平均数为×0.005×10＋×0.015×10＋×0.02×10＋×0.03×10＋×0.025×10＋×0.005×10＝72.0. 答案：75.0　73.3　72.0 4．(教材P181T7改编)从某校高一年级学生中随机抽取了20名学生，将他们的数学检测成绩(单位：分)分成六段(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求图中实数a的值； (2)若该校高一年级共有学生600名，试根据以上数据，估计该校高一年级数学检测成绩不低于80分的人数； (3)估计该校高一年级数学检测成绩的中位数． 解：(1)由题意得10×(0.005＋0.010×2＋0.020＋0.025＋a)＝1，解得a＝0.030. (2)成绩不低于80分的频率为(0.025＋0.010)×10＝0.35， 故估计该校高一年级数学检测成绩不低于80分的人数为600×0.35＝210. (3)(0.005＋0.010＋0.020)×10＝0.35＜0.5，(0.005＋0.010＋0.020＋0.030)×10＝0.65＞0.5， 故中位数落在[70，80)内，设中位数为x，则0.35＋(x－70)×0.030＝0.5，解得x＝75， 故估计该校高一年级数学检测成绩的中位数为75. 　 1．已学习：众数、中位数、平均数、极差、方差和标准差的意义与计算． 2．须贯通：根据具体数据和频率分布直方图求众数、中位数、平均数、极差、方差等，解决生活决策问题． 3．应注意：未对数据排序导致求中位数错误；方差与标准差计算错误． 学科网（北京）股份有限公司 $