第5章 04 思想方法练5(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦函数应用专题，核心内容为函数零点问题及数形结合、转化与化归、分类讨论思想的应用。通过从函数基本性质过渡到零点问题，以专题练习为支架，帮助学生构建从理论到实践的知识脉络。 其亮点在于以数学思想方法为主线，结合具体例题（如复合函数零点个数问题），运用数形结合将方程解转化为图象交点（数学眼光），转化与化归简化复杂问题（数学思维），分类讨论培养逻辑条理（数学思维）。思想方法总结助力学生用数学语言表达规律，学生能提升解题能力，教师可直接用于专题教学提高效率。

第五章 函数应用 第1讲　描述运动的基本概念 专题专项练 思想方法练5 第1讲　描述运动的基本概念 一、数形结合思想在函数零点问题中的应用 1.[2026福建龙岩二中月考]已知函数f(x)= 则方程f(f(x))=k的不等实数解的个数至多是  ( ) A.5　    B.6　     C.7　    D.8     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　设t=f(x),则f(f(x))=k可转化为f(t)=k, 易得f(0)=f(-2)=f =-3,f(-1)=f =-4, 作出函数f(x)的大致图象,如图,   通过作出函数图象,将方程解的个数问题转化为图象交点的个数问题,由图象的直观性解决问题. 由图可得,当k>-3时,f(t)=k有两个根,记为t1,t2,令t1<t2,则t1<-2,t2> ,即t=f(x)<-2或t=f(x)> , 第1讲　描述运动的基本概念 此时方程f(f(x))=k最多有5个不等实根; 当-4<k≤-3时,f(t)=k有三个根,记为t3,t4,t5,令t3<t4<t5,则-2≤t3<-1,-1<t4≤0, <t5≤ , 即-2≤t=f(x)<-1或-1<t=f(x)≤0或 <t=f(x)≤ , 此时方程f(f(x))=k最多有6个不等实根; 当k=-4时,f(t)=k有两个根,记为t6,t7,令t6<t7,则t6=-1,t7= ,即t=f(x)=-1或t=f(x)= , 此时方程f(f(x))=k有4个不等实根; 当k<-4时,f(t)=k有一个根,记为t8,则0<t8< ,即0<t=f(x)< , 此时方程f(f(x))=k有2个不等实根. 综上,方程f(f(x))=k的不等实数解的个数至多是6. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2026江西抚州五校联考]已知函数f(x)= 若方程f(x)=k有四个不同的零点x1,x2, x3,x4,且x1<x2<x3<x4,则下列结论正确的是 ( ) A.0<k<1 B.2x1+x2≥2  C.x1x2+x3+x4=6 D.7< x2+ <      ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　画出f(x)的图象,如图所示.   通过作出函数图象,将函数零点问题转化为函数图象的交点问题求解. 由图象知要使方程f(x)=k有四个不同的零点,只需0<k<1,故A正确; f = =1,f(2)=|log22|=1,f(4)=42-6×4+9=1, 且函数y=x2-6x+9的图象关于直线x=3对称, 第1讲　描述运动的基本概念 由f(x)的图象得 <x1<1<x2<2<x3<3<x4<4,且-log2x1=log2x2,x3+x4=6, 所以log2x2+log2x1=log2(x1x2)=0,可得x1x2=1,则x1= , 所以2x1+x2= +x2,其中1<x2<2, 易知x2+ ≥2 =2 ,当且仅当x2= 时等号成立,则2x1+x2≥2 ,故B正确; 由B知x1x2=1, 因为x3,x4是x2-6x+9=k(0<k<1)的两个根,所以x3+x4=6,故x1x2+x3+x4=7,故C错误; 由x1x2=1,x3+x4=6,且 <x1<1,得 x2+ =x1+ , 令y=x+  , 第1讲　描述运动的基本概念 易知y=x+ 在 上单调递减, ∴7<x1+ < ,故D正确. 思想方法　数形结合思想在本章中的应用主要体现在把函数的零点转化为对应方程的解,再转化成两 个函数图象的交点的横坐标,利用图象求解,即代数问题几何化. 第1讲　描述运动的基本概念 二、转化与化归思想在函数零点问题中的应用 3.[2026江苏苏州第一中学月考]已知函数f(x)= 函数g(x)=[f(x)]2-(a+2)f(x)+2a有7个零点, 则实数a的取值范围是( ) A.(-∞,3)　    B.[3,+∞) C.[3,4]　    D.[3,4)     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　令[f(x)]2-(a+2)f(x)+2a=0,得[f(x)-2][f(x)-a]=0,解得f(x)=2或f(x)=a. 将函数的零点问题转化为相应方程的解的问题,进而转化为两函数图象的交点问题. 因为g(x)有7个零点,所以f(x)=2与f(x)=a共有7个不同的解, 所以y=f(x)的图象与直线y=2和y=a共有7个不同的交点. 作出直线y=2,直线y=a和函数f(x)的图象,如图所示. 由图可知,y=f(x)的图象与直线y=2有3个不同的交点, 所以y=f(x)的图象与直线y=a有4个不同的交点,所以3≤a<4. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[多选题][2025陕西师大附中月考]已知函数f(x)= 下面关于x的方程f(f(x))+a=0的实数根的 个数的说法中,正确的是 (　     ) A.当a=- 时,原方程有6个不等实根 B.当a=- 时,原方程有6个不等实根 C.当a=0时,原方程有4个不等实根 D.无论a取何值,原方程都不可能有7个不等实根 ABC 第1讲　描述运动的基本概念 解析　　令f(x)=m,则方程f(x)=m的实数根的个数等价于函数f(x)的图象与直线y=m的交点的个数, 将方程实数根的个数转化为直线与函数图象交点的个数,体现了转化与化归的思想. 令x=0,得f(0)=1,令|ln x|=1,得x= 或x=e,作出函数f(x)的图象如图,   当m<0时,f(x)的图象与直线y=m的交点只有1个,故方程f(x)=m有1个实数根; 当m=0或m>1时,f(x)的图象与直线y=m的交点有2个,故方程f(x)=m有2个不等的实数根; 第1讲　描述运动的基本概念 当0<m≤1时,f(x)的图象与直线y=m的交点有3个,故方程f(x)=m有3个不等的实数根. 方程f(f(x))+a=0可化为f(m)=-a. 利用换元法,将原方程转化为较简单的方程,体现了转化与化归的思想. 对于A,B,当a∈(-1,0)时,-a∈(0,1),方程f(m)=-a有3个不等实数根,从小到大分别记为m1,m2,m3,则-1<m1<0,  <m2<1,1<m3<e, 从而f(x)=m1有1个实数根,f(x)=m2有3个不等实数根,f(x)=m3有2个不等实数根, 所以方程f(f(x))+a=0有6个不等实数根,A,B正确; 对于C,当a=0时,f(m)=0有2个不等实数根,分别为-1,1,方程f(x)=-1有1个实数根, f(x)=1有3个不等实数根, 所以f(f(x))+a=0有4个不等实数根,C正确; 对于D,当a=-1时,-a=1, f(m)=1有3个不等实数根,分别为0, ,e,且f(x)=0有2个不等实数根, f(x)= 有3个不 第1讲　描述运动的基本概念 等实数根, f(x)=e有2个不等实数根, 此时方程f(f(x))+a=0有7个不等实数根,D错误. 思想方法　在本章中,转化与化归思想主要体现在函数的零点、相应方程的解、相应函数图象交点的 横坐标之间的相互转化上,这也是解决函数零点问题最基本、最常见的思想. 第1讲　描述运动的基本概念 三、分类讨论思想在函数零点问题中的应用 5.[2026河南九师联盟联考]已知函数f(x)= 若函数g(x)=f(f(x))-t恰有5个零点,则实数t的取值 范围为 ( ) A.(2,e2]　     B.(ln 2+2,4] C.(ln 2+2,2ln 2+2]　    D.(2,4]     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　由g(x)恰有5个零点,得关于x的方程f(f(x))=t恰有5个不等实根, 令f(x)=m,则f(m)=t,问题转化为满足 的x恰有5个不同的解. 作出函数f(x)的图象,如图所示,   当t<2时,关于m的方程f(m)=t仅有1个实根m0,且m0<0,此时f(x)=m0仅有1个实根,不合题意; 第1讲　描述运动的基本概念 当t=2时,f(m)=t有2个实根,分别为- ,1,且f(x)=- ,f(x)=1各仅有1个实根,不合题意; 当2<t≤4时,f(m)=t有3个实根,分别设为m1,m2,m3,且m1≤0<m2<1<m3≤e2,f(x)=m1和f(x)=m2各仅有1个实根, 且两实根均小于- ,若f(x)=m3有3个实根,则必有2<m3≤4, 所以ln 2+2=f(2)<t≤f(4)=2ln 2+2, 满足2<t≤4,所以ln 2+2<t≤2ln 2+2,此时5个实根互不相等,即g(x)恰有5个零点,符合题意; 当t>4时,f(m)=t仅有2个不等实根,分别设为m4,m5,且0<m4< ,m5>e2, 此时f(x)=m4仅有1个实根,f(x)=m5有2个实根,不合题意. 综上,实数t的取值范围为(ln 2+2,2ln 2+2]. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026四川成都七中月考]已知函数p(x)=mx-4+1(m>0且m≠1)的图象经过定点A,函数f(x)=logax(a>0且a ≠1)的图象经过点A. (1)求f(x)的反函数[f(x)]-1; (2)求y=f(2a-2x)的定义域与值域; (3)若g(x)=f(2xλ)·f(x2)-4在 上有两个零点,求λ的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)令x-4=0,解得x=4,则p(4)=m0+1=2, 所以函数p(x)的图象过定点A(4,2), 将(4,2)代入f(x)=logax,得loga4=2,解得a=2,即f(x)=log2x, 所以[f(x)]-1=2x,x∈R. (2)由(1)知a=2,故2a-2x=4-2x,令4-2x>0,解得x<2,则y=f(2a-2x)的定义域为(-∞,2), 因为x<2,所以0<2x<4,则0<4-2x<4,可得log2(4-2x)<2, 所以y=f(2a-2x)的值域为(-∞,2). (3)由(1)知g(x)=f(2xλ)·f(x2)-4=log2(2xλ)·log2x2-4=2λ(log2x)2+2log2x-4, 设t=log2x,x∈ ,则t∈[-2,2], 令h(t)=2λt2+2t-4, 第1讲　描述运动的基本概念 则原问题等价于h(t)=2λt2+2t-4在[-2,2]上有两个零点. ①当λ=0时,由h(t)=2t-4=0得t=2,可知h(t)只有一个零点,不合题意; ②当λ>0时,可得  解得λ≥1; ③当λ<0时,可得  此不等式组的解集为空集. 综上所述,实数λ的取值范围是[1,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 思想方法　应用分类讨论思想解题的关键是要确定分类标准,在本章中常见的分类标准如下:与指数、 对数有关的函数零点问题,若底数a不确定,需分a>1和0<a<1两种情况讨论;与一元二次函数有关的函数 零点问题,可对函数图象的对称轴与区间的位置关系进行讨论;由函数图象交点确定零点的个数时,可 根据不同范围内交点的情况进行分类讨论等. 第1讲　描述运动的基本概念 $