第5章 §1 02-1.2 利用二分法求方程的近似解(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦“利用二分法求方程的近似解”，通过方程求解问题导入，衔接函数零点存在定理，搭建从概念理解到实际应用的学习支架，帮助学生掌握二分法的适用条件与操作步骤。 其亮点在于结合电路板焊接点检测、盒子体积计算等真实问题，引导学生用数学眼光发现现实中的数量关系，通过分步解析与表格呈现培养逻辑推理的数学思维，以精准的函数表达式和区间分析强化数学语言应用，助力学生提升探究能力，也为教师提供高效教学资源。

第五章 函数应用 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 §1　方程解的存在性及方程的近似解 1.2　利用二分法求方程的近似解 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　二分法的概念及适用条件 1.[2025广东广州华南师大附中月考]下列函数图象与x轴均有公共点,其中能用二分法求零点的是　      ( )  　     　      　          C     解析　　能用二分法求零点的函数的图象必须在给定闭区间(不妨记为[a,b])上连续不断,并且f(a)f(b)< 0,A,B中不存在f(a)f(b)<0,D中函数图象不连续.易知C满足题意. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江西宜春段考]用二分法研究函数f(x)=x3-2x+2的零点时,通过计算得f(-1)>0,f(-2)<0,则下一步应 计算的区间为 ( ) A. 　    B.  C. 　    D.      C     解析　　取区间(-2,-1)的中点,为- ,f = -2× +2= >0,满足f(-2)·f <0,所以下一步应计 算的区间为 . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[多选题][2026山东泰安新泰中学月考]下列函数中,有零点且能用二分法求零点近似值的是  ( ) A.y=3x2-2x+5　     B.y=  C.y= +1,x∈(-∞,0)　    D.y= x2+4x+8     BC 解析　　对于A,Δ<0,故y=3x2-2x+5无零点; 对于B,C,函数都存在零点,且在零点左右两侧附近的函数值异号,故能用二分法求解; 对于D,y= x2+4x+8= (x+4)2,只有一个零点,为x=-4,且在该零点左右两侧附近的函数值都大于零,故不宜 用二分法求零点. 第1讲　描述运动的基本概念 特别提醒　用二分法求函数零点近似值的依据是零点存在定理,且下列两个条件缺一不可: (1)函数f(x)在闭区间[a,b]上的图象是连续不断的; (2)f(a)f(b)<0. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026湖北重点高中智学联盟联考]利用二分法求方程log2x=7-x的近似解,可以取的一个区间是 ( ) A.(2,3)　    B.(3,4)　    C.(4,5)　    D.(5,6)          C 解析　　由log2x=7-x得log2x+x-7=0,令f(x)=log2x+x-7,易知f(x)在(0,+∞)上单调递增, 因为f(3)=log23+3-7=log23-4<0,f(4)=log24+4-7=6-7=-1<0,f(5)=log25+5-7=log25-2>0,所以f(x)的零点位于区 间(4,5),即方程log2x=7-x的近似解在区间(4,5)内. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026河北唐山一中月考]在用二分法求方程的近似解的过程中,已确定方程x3=3x-1的一根x0∈(0,1),则 再经过两次计算后,x0所在的开区间为_________. 解析　令f(x)=x3-3x+1,可知f(0)>0,f(1)<0,f =- <0, 故函数的零点在区间 内, 又f = >0,所以再经过两次计算后,x0所在的开区间为 . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　用二分法求函数零点的近似值 6.[2026江西宜春丰城第九中学月考]由下表可推断方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(误差不超过0.02)为 ( )     D     f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)=-0.984 f(1.375)=-0.260 f(1.437 5)=0.162 f(1.406 25)=-0.054 A.1.437 5　    B.1.375　    C.1.25　    D.1.422 第1讲　描述运动的基本概念 解析　　设x3+x2-2x-2=0的近似解为x0, 因为f(1)=-2<0,f(1.5)=0.625>0, 所以x0∈(1,1.5), 因为f(1.25)=-0.984<0, 所以x0∈(1.25,1.5), 因为f(1.375)=-0.260<0, 所以x0∈(1.375,1.5), 因为f(1.437 5)=0.162>0, 所以x0∈(1.375,1.437 5), 因为f(1.406 25)=-0.054<0, 所以x0∈(1.406 25,1.437 5), 第1讲　描述运动的基本概念 因为(1.406 25+1.437 5)÷2≈1.422, 且1.422-1.406 25<0.02,1.437 5-1.422<0.02, 所以可取近似解1.422. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026浙江名校联合体联考]已知函数f(x)=x3+x-1在(0,1)内有一个零点,且求得f(x)的部分函数值如下表 所示: x 0 1 0.5 0.75 0.625 0.562 5 0.687 5 0.656 25 f(x) -1 1 -0.375 0.171 9 -0.130 9 -0.259 5 0.012 45 -0.061 13 若用二分法求f(x)零点的近似值(精确度为0.1),则对区间(0,1)等分的最少次数和f(x)零点的一个近似值 分别为 ( ) A.4,0.7　    B.4,0.65　    C.5,0.7　    D.5,0.65     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　设f(x)在(0,1)内的零点为x0, 因为f(0)<0,f(1)>0,f(0.5)<0,所以x0∈(0.5,1),精确度为1-0.5=0.5>0.1, 又 =0.75,f(0.75)>0,所以x0∈(0.5,0.75),精确度为0.75-0.5=0.25>0.1, 又 =0.625,f(0.625)<0,所以x0∈(0.625,0.75),精确度为0.75-0.625=0.125>0.1, 又 =0.687 5,f(0.687 5)>0,所以x0∈(0.625,0.687 5),精确度为0.687 5-0.625=0.062 5<0.1,此时满 足要求, 故对区间(0,1)至少等分4次,才能满足f(x)零点的近似值的精确度为0.1,且零点的一个近似值可取区间(0. 625,0.687 5)内的任意一个值,结合选项知B正确. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2025江西赣州上犹中学月考]已知函数f(x)=ln x+2x-6在区间(2,3)内存在一个零点,用二分法求它的近 似值时,至少需要求______次中点值(精确度为0.01)( ) A.5　    B.6　    C.7　    D.8     C     解析　    开区间(2,3)的区间长度等于1,每经过一次操作,区间长度变为原来的一半, 经过n次操作后,区间长度变为 , ∵要求精确度为0.01(说明区间长度不超过0.01),∴ ≤0.01, ∵ = >0.01, = <0.01,∴n≥7, 即至少需要求7次中点值. 易错警示　要注意“精确度”和“精确到”的区别:“精确度”是指二分法迭代过程中,近似解与精确 解之间的接近程度,“精确到”是指根据题目要求将得到的结果保留到指定的数位. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[教材习题改编]已知函数f(x)=x+ -3. (1)判断函数f(x)在区间(1,+∞)上的单调性,并用定义证明; (2)用二分法求方程f(x)=0在区间(1,+∞)上的一个近似解(精确度为0.1). 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)函数f(x)在(1,+∞)上单调递增.证明如下: 任取x1,x2∈(1,+∞),不妨设x1<x2, 则f(x2)-f(x1)=x2-x1+ - = , 因为1<x1<x2,所以x2-x1>0,x1x2-1>0,x1x2>0,可得f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1), 所以函数f(x)在(1,+∞)上单调递增. (2)函数f(x)=x+ -3在区间(1,+∞)上的零点即为方程f(x)=0在区间(1,+∞)上的解, 因为f(x)在区间(1,+∞)上是单调的且图象连续,f(2)<0,f(3)>0,所以f(x)在(1,+∞)内有且仅有一个零点,记 为x0,则x0∈(2,3), 在区间(2,3)上利用二分法列表如下: 第1讲　描述运动的基本概念 区间 区间 中点 中点函数 值的正负 区间 长度 (2,3)   f <0 1     f >0       f >0       f <0   第1讲　描述运动的基本概念 故x0在区间 内,此时区间长度为 , < ,满足精确度为0.1,故区间 ,即(2.562 5,2.625)内 的任意一个实数都是符合要求的一个近似解,比如2.6是方程f(x)=0在(1,+∞)上的一个近似解. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026陕西榆林中学月考]已知f(x)=-x2+4x-5,g(x)=x+ +a,h(x)=x3-x2+5,其中a为常数. (1)若g(x)≥0的解集为 x 0<x≤ 或x≥3 ,求a的值; (2)已知函数h(x)=x3-x2+5在x∈[-2,-1]上有零点,用二分法求零点的近似值(精确度小于0.1)时,至少需要进 行多少次二分法的迭代操作? 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由g(x)≥0得x+ +a≥0,即 ≥0. 因为g(x)≥0的解集为 x 0<x≤ 或x≥3 ,所以方程x2+ax+1=0的两根分别为 ,3,由根与系数的关系知-a = +3= ,所以a=- . 当a=- 时,由 ≥0得 或  解得0<x≤ 或x≥3,所以g(x)≥0的解集为 x 0<x≤ 或x≥3 . 综上,a的值为- . (2)解法一:因为h(x)在x∈[-2,-1]上有零点,h(-2)=-8-4+5<0,h(-1)=-1-1+5=3>0,h(-1.5)=h =- - +5= - <0, 第1讲　描述运动的基本概念 所以h(x)在x∈[-1.5,-1]上有零点,此时|-1.5-(-1)|=0.5>0.1; 因为h(-1.25)=h = >0,所以h(x)在x∈[-1.5,-1.25]上有零点, 此时|-1.5-(-1.25)|=0.25>0.1; 因为h(-1.375)=h = >0,所以h(x)在x∈[-1.5,-1.375]上有零点,此时|-1.5-(-1.375)|=0.125>0.1; 因为h(-1.437 5)=h =- <0,所以h(x)在x∈[-1.437 5,-1.375]上有零点,此时|-1.437 5-(-1.375)|=0.06 2 5<0.1, 所以用二分法求零点的近似值(精确度小于0.1)时,至少需要进行4次二分法的迭代操作. 解法二:因为用二分法求零点的近似值,每次操作后,区间长度变为原来的一半, 所以经过1次操作后,区间的长度为 = ; 第1讲　描述运动的基本概念 经过2次操作后,区间的长度为 × = >0.1; 经过3次操作后,区间的长度为 × = >0.1; 经过4次操作后,区间的长度为 × = <0.1. 故用二分法求零点的近似值(精确度小于0.1)时,至少需要进行4次二分法的迭代操作. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　二分法思想的应用 11.[2025湖南长沙月考]一块电路板的AB线路之间有100个串联的焊接点,若知道电路不通是由焊接点 脱落造成的,要想借助万用表,利用二分法的思想检测出是第几个焊接点脱落,则最多需要检测 ( ) A.4次　    B.6次　    C.7次　    D.50次          C 第1讲　描述运动的基本概念 解析　　第一次,可去掉50个结果,从剩余的50个中继续采用二分法检测; 第二次,可去掉25个结果,从剩余的25个中继续采用二分法检测; 第三次,可去掉12个或13个结果,考虑至多的情况,所以去掉12个结果,从剩余的13个中继续采用二分法 检测; 第四次,可去掉6个或7个结果,考虑至多的情况,所以去掉6个结果,从剩余的7个中继续采用二分法检测; 第五次,可去掉3个或4个结果,考虑至多的情况,所以去掉3个结果,从剩余的4个中继续采用二分法检测; 第六次,可去掉2个结果,从剩余的2个中继续采用二分法检测; 第七次,可去掉1个结果,得到最终结果. 所以最多需要检测7次. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2025湖南永州联考]如图,有一块边长为15 cm的正方形铁皮,将其四个角各截去一个边长为x cm的 小正方形,然后折成一个无盖的盒子. (1)求出盒子的体积y关于x的函数解析式,并求出这个函数的定义域; (2)如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子,那么截去的小正方形的边长x是多少(精确度为0.1)?   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)截去的小正方形的边长为x cm,则折成的无盖盒子的底面是边长为(15-2x)cm的正方形,高为x cm, 所以y=x(15-2x)2,其定义域为{x|0<x<7.5}. (2)如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子,则x(15-2x)2=150(0<x<7.5), 令f(x)=x(15-2x)2-150(0<x<7.5), 下面用二分法来求方程x(15-2x)2=150在(0,7.5)内的近似解, 因为f(0)=0-150<0, f(1)=(15-2)2×1-150>0, f(2)=(15-4)2×2-150>0, f(3)=(15-6)2×3-150>0, f(4)=(15-8)2×4-150>0, 第1讲　描述运动的基本概念 f(5)=(15-10)2×5-150<0, f(6)=(15-12)2×6-150<0, f(7)=(15-14)2×7-150<0, f(7.5)=0-150<0,且f(x)的图象在(0,7.5)内连续不断,所以f(x)在区间(0,1),(4,5)内各有一个零点,即方程x(15- 2x)2=150在区间(0,1),(4,5)内各有一个解,分别记为x1,x2, 取区间(0,1)的中点0.5,f(0.5)=-52, 因为f(0.5)f(1)<0,所以x1∈(0.5,1); 再取(0.5,1)的中点0.75,f(0.75)≈-13.31, 因为f(0.75)f(1)<0,所以x1∈(0.75,1); 继续操作下去,可得当区间的长度小于0.1时,x1∈(0.812 5,0.875), 所以方程在区间(0,1)内的近似解x1可取0.8. 第1讲　描述运动的基本概念 同理可得方程在区间(4,5)内的近似解x2可取4.7. 所以要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子,截去的小正方形的边长大约是0.8 cm或4.7 cm. 第1讲　描述运动的基本概念 $