第5章 §1 01-1.1 利用函数性质判定方程解的存在性(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦函数应用中的方程解存在性及近似解，核心涵盖函数零点求解、个数判断、区间确定及参数求解。课堂导入从函数性质回顾切入，通过基础题组搭建支架，衔接定义域、奇偶性等旧知与零点判定、复合函数零点等新知。 其亮点在于分层题组设计与数形结合方法，通过易错题警示和方法技巧总结，培养数学眼光（几何直观）和数学思维（推理能力）。如判断零点个数时结合图象与定理，求参数时用换元转化，帮助学生系统掌握解题方法，教师可直接用于课堂提升教学效率。

第五章 函数应用 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 §1　方程解的存在性及方程的近似解 1.1　利用函数性质判定方程解的存在性 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　求函数的零点 1.[易错题][2025福建龙岩一中月考]函数f(x)= 的零点是 ( ) A.1　     B.(1,0)　     C.(-1,0)　    D.-1或1     A     解析　　由2x+1>0,得x>- ,所以f(x)的定义域为 . 令f(x)= =0,解得x=-1(舍去)或x=1,所以函数f(x)的零点是1. 易错警示　本题的易错点有两个:一是求函数的零点时首先要确定它的定义域;二是函数的零点是一个 实数,而不是一个点. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026辽宁大连期中]已知函数f(x)=ax3+x2+bx-1是偶函数,则函数f(x)的零点为__________.     ±1     解析　因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),即a(-x)3+(-x)2+b(-x)-1=ax3+x2+bx-1,所以a=0,b=0,所以f(x)=x2-1. 令f(x)=x2-1=0,得x=±1,故函数f(x)的零点为±1. 解后反思　若关于x的函数为偶函数,则x的奇次幂的系数为0;若关于x的函数为奇函数,则x的偶次幂的 系数为0. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2025江苏泰州靖江高级中学月考]已知函数f(x)= 则函数y=f(f(x))-1的所有零点构成的集合 为________________.     {-1,1,4}     解析　令f(f(x))-1=0, 得 或  解得f(x)=0或f(x)=2, 即 或 或  或  解得x=-1或x=1或x=4, 故函数y=f(f(x))-1的所有零点构成的集合为{-1,1,4}. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026福建龙岩第一中学周考]已知[x]表示不超过x的最大整数,如[1.5]=1,[-1.5]=-2,则函数f(x)= x2-[x]-1的零点为_________. 解析    x2-[x]-1=0的根可转化为函数y=x2-1与y=[x]图象交点的横坐标, 画出两函数的图象,如图所示,   显然两函数图象只有一个交点,令x2-1=1,解得x= 或x=- (舍去),故函数f(x)=x2-[x]-1的零点为 . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　函数零点(方程的解)个数的判断 5.[教材习题改编]关于函数f(x)=x3-2x+1的零点,下列说法正确的是 ( ) A.(1,0)是f(x)的一个零点 B. f(x)在区间(-2,-1)内存在零点 C. f(x)只有2个零点 D. f(x)的零点个数与方程x3-2x+1=0的解的个数不相等     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　函数的零点是一个数值,而不是一个点,A错误; 易知函数f(x)在(-2,-1)上单调递增,且图象连续,f(-2)<0,f(-1)>0, 所以由零点存在定理可知f(x)在区间(-2,-1)内存在零点,B正确; 在(0,+∞)上,f >0,f <0,f(1)=0,易知f(x)在 上单调递减,且图象连续, 故f(x)在区间 内存在一个零点,且x=1也是它的一个零点,结合B中分析可知,f(x)至少有3个零点,C 错误; D显然错误. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2025江西宜春宜丰中学月考]函数f(x)= 的零点个数为 ( ) A.0　    B.1　    C.2　    D.3     C     解析　    解法一:当x≤0时,令x3+8=0,解得x=-2. 当x>0时,令f(x)=0,得log4x=3-x, 在同一平面直角坐标系中作出函数y=log4x的图象与直线y=3-x,如图,   第1讲　描述运动的基本概念 由图可知函数y=log4x的图象与直线y=3-x恰有一个交点,即方程log4x=3-x恰有一个实根, 所以当x>0时,f(x)恰有1个零点. 故f(x)的零点个数为2. 解法二:当x≤0时,令x3+8=0,解得x=-2;当x>0时,f(x)=log4x+x-3单调递增且图象连续,f(1)=-2<0,f(4)=2>0,故 由零点存在定理知f(x)在(0,+∞)上有唯一零点. 综上,f(x)的零点个数为2. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026陕西咸阳三检]已知f(x)= 则函数y=2[f(x)]2-3f(x)的零点个数为_________.     5     解析　由2[f(x)]2-3f(x)=0, 得f(x)=0或f(x)= , 当x<0时,|lg(-x)|=0或|lg(-x)|= ,解得x=-1或x=-10 或x=- ; 当x≥0时,x3=0或x3= ,解得x=0或x= . 综上,函数y=2[f(x)]2-3f(x)的零点个数为5. 第1讲　描述运动的基本概念 8.(1)判断函数f(x)=ln x+x2-3的零点个数; (2)已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),且f(1)=- .求证:函数f(x)有两个不同的零点. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)解法一:令f(x)=0,即ln x+x2-3=0,即ln x=3-x2,故原函数的零点个数即为函数y=ln x与y=3-x2的图 象的交点个数,在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象(如图).   两函数的图象只有一个交点,故函数f(x)=ln x+x2-3有且只有一个零点. 解法二:∵f(1)=ln 1+12-3=-2<0,f(2)=ln 2+22-3=ln 2+1>0,∴f(1)f(2)<0, 第1讲　描述运动的基本概念 又f(x)=ln x+x2-3的图象在(1,2)上是不间断的, ∴f(x)在(1,2)上必有零点, 易知f(x)在(0,+∞)上是单调递增的, ∴函数f(x)的零点有且只有一个. (2)证明:∵f(1)=a+b+c=- , ∴c=- -b,∴f(x)=ax2+bx- -b. 对于方程f(x)=0,Δ=b2-4a =b2+6a2+4ab=(2a+b)2+2a2≥0, 又a>0,∴Δ>0,∴函数f(x)有两个不同的零点. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　确定函数零点(方程的解)所在的区间 9.[多选题][2026四川成都期末]已知函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,且有如下对应值表: x 1 2 3 4 5 6 f(x) 16.88 8.66 -2.01 8.88 -1.24 -10.064 在下列区间中,函数f(x)必有零点的区间为 ( ) A.(1,2)　    B.(2,3)　    C.(3,4)　    D.(5,6)     BC     解析　　因为y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,且f(2)f(3)<0,f(3)f(4)<0,f(4)f(5)<0,所以f(x)在区间(2, 3),(3,4),(4,5)内存在零点,B,C正确. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026江西科技学院附属中学月考]已知函数f(x)=loga(x+m)+am-x(a>0,且a≠1)的图象经过定点(n,1),则 函数g(x)=xm+2nx-3的零点所在的区间为 ( ) A.(1,2)　    B.(2,3) C.(3,4)　    D.(4,5)     A     解析　　因为f(x)的图象经过定点(n,1),所以 解得m=n= , 则g(x)= +x-3= +x-3, 可知g(x)在定义域[0,+∞)上单调递增,且图象连续,g(1)=-1<0,g(2)= -1>0, 所以函数g(x)有唯一零点,零点所在的区间为(1,2). 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026江西赣州部分学校诊断性测试]已知函数f(x)= -log3x,在下列区间中,包含f(x)零点的是 ( ) A.(2,3)　    B.(3,4) C.(4,5)　    D.(5,6)     B 第1讲　描述运动的基本概念 解析　　易知f(x)在定义域(0,+∞)上单调递减且图象连续,f(2)= -log32>0, f(3)= -log33= >0, f(4)= -log34=log3 -log34=log3 , f(5)=1-log35<0, f(6)= -log36<0, ∴f(2)f(3)>0,f(5)f(6)>0,可得A,D不满足题意; ∵( )4=35=243,44=256,∴44>( )4, 根据幂函数y=x4的单调性可知4> >0,∴0< <1,∴log3 <0, ∴f(3)f(4)<0,f(4)f(5)>0,B满足题意,D不满足题意. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[多选题][2025湖南常德优质高中学校联盟期末]在下列区间中,函数f(x)=ex-3x2一定存在零点的有 ( ) A.(-3,-1)　    B.(-1,1)　     C.(1,3)　     D.(3,5) BD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　对于A,当x∈(-3,-1)时,ex<1,3x2>3,可得f(x)=ex-3x2<0, 所以f(x)在(-3,-1)上一定不存在零点,故A错误; 对于B,因为f(0)=1>0,f(-1)= -3<0,且f(x)的图象在(-1,0)上是连续不断的,所以f(x)在(-1,0)上一定存在零 点,所以f(x)在(-1,1)上一定存在零点,故B正确; 对于C,令f(x)=ex-3x2=0,即ex=3x2,在同一平面直角坐标系内画出y=ex与y=3x2的图象,如图, 第1讲　描述运动的基本概念 则两函数图象在(1,3)上无交点,所以f(x)在(1,3)上一定不存在零点,故C错误; 对于D,因为f(3)=e3-27<0,f(5)=e5-75>0,且f(x)的图象在(3,5)上是连续不断的,所以f(x)在(3,5)上一定存在零 点,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2026江苏南京期末]函数f(x)=ln(2x)- 的零点在区间(n-1,n)内,则自然数n=_________.     2     解析　易知f(x)的定义域为(0,+∞),且在(0,+∞)上单调递增,f(x)的图象连续, 因为2<e<4,所以ln 2<ln e=1<ln 4,则f(1)=ln 2-1<0,f(2)=ln 4- >1- = >0, 故f(1)f(2)<0,所以f(x)在(1,2)上存在唯一零点,故n=2. 第1讲　描述运动的基本概念 题组四　根据函数零点(方程的解)的情况求参 14.[2025江苏无锡一中期中]若二次函数f(x)=x2-2mx-5在区间(3,4)上存在一个零点,则m的取值范围是  ( ) A. <m< 　    B.m<  C.m> 　    D.m< 或m>      A     解析　　令f(x)=x2-2mx-5=0,则Δ=4m2+20>0,即此方程在R上必有两个不等的实根, 由题意知方程x2-2mx-5=0在(3,4)上存在一个实根,则f(3)f(4)<0, 即(4-6m)(11-8m)<0,解得 <m< . 故m的取值范围为 <m< . 第1讲　描述运动的基本概念 15.[2026河南豫北名校联考]已知函数f(x)= 若关于x的方程|f(x)|+m=0有3个不同的实数根,则 实数m的取值范围是 ( ) A.(-1,0)　     B.(-2,-1) C.(-∞,-1)　    D.(-2,0)     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　如图,作出y=|f(x)|的大致图象:   要使|f(x)|+m=0有3个不同的实数根,则y=|f(x)|的图象与直线y=-m有三个交点,故0<-m<1,即-1<m<0, 所以实数m的取值范围是(-1,0). 第1讲　描述运动的基本概念 16.若函数f(x)=2x-1+21-x+x2-2ax+a2-2存在零点,则实数a的值为 ( ) A.4　    B.3　     C.2　    D.1     D     解析　    f(x)=2x-1+21-x+x2-2ax+a2-2=2x-1+21-x+(x-a)2-2, 令f(x)=0,则2x-1+21-x-2=-(x-a)2,令g(x)=2x-1+21-x-2, ∵2x-1>0,21-x>0,∴g(x)=2x-1+21-x-2≥2 -2=0,当且仅当x-1=1-x,即x=1时等号成立, 令h(x)=-(x-a)2,其图象开口向下,易知h(x)≤0,当且仅当x=a时等号成立, ∴当a=1时,g(x)=h(x),此时f(x)存在零点. 第1讲　描述运动的基本概念 17.[易错题][2026江西丰城九中月考]若函数f(x)=ax- -eln x+4有两个零点,则实数a的取值范围是 ______________.     (-3,1) 第1讲　描述运动的基本概念 解析    f(x)=ax- -eln x+4=ax- -x+4=(a-1)x- +4,其中x>0, 因为f(x)有两个零点,所以(a-1)x- +4=0在(0,+∞)上有两个实数解, 即方程(a-1)x2+4x-1=0有两个不等的正实数根(易错点), 当a-1=0,即a=1时,方程4x-1=0仅有一个正实数根,不符合题意; 当a-1≠0,即a≠1时,  解得-3<a<1. 综上,实数a的取值范围是(-3,1). 第1讲　描述运动的基本概念 易错警示　在研究函数的零点时要注意先确定函数的定义域,若经过多次转化求得的零点不在定义域 内,应舍去该零点. 第1讲　描述运动的基本概念 18.[2026湖南部分名校联考]已知方程x2-2mx+m+2=0,求m为何值时: (1)方程有一个正根一个负根; (2)方程两根均大于1; (3)方程在(1,4)内有实数根. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)令f(x)=x2-2mx+m+2,则函数f(x)的图象开口向上,对称轴为直线x=m, 若方程有一个正根一个负根,则函数f(x)的图象与x轴的正负半轴各有一个交点, 则 解得m<-2, 故m的取值范围为(-∞,-2). (2)要使方程的两根均大于1, 则 解得2≤m<3, 故m的取值范围为[2,3). (3)f(1)=3-m,f(4)=18-7m,方程在(1,4)内有实数根包括以下两种情况: ①方程在(1,4)内有且仅有一个实数根,若区间端点处的函数值不为0,则f(1)f(4)=(3-m)(18-7m)<0,得 <m 第1讲　描述运动的基本概念 <3; 若区间端点处的函数值为0,则m=3或m= , 当m=3时,f(x)=x2-6x+5=(x-1)(x-5),不符合题意,舍去, 当m= 时,f(x)=x2- x+ =(x-4)· ,符合题意, 故 ≤m<3. ②方程在(1,4)内有两个实数根,则 解得2≤m< . 综上,m的取值范围为[2,3). 第1讲　描述运动的基本概念 19.[2026江西南昌新建二中月考]已知f(x)=ax+ ,a∈R. (1)当a=1时,求f(x)的值域; (2)若f(x)在[1,2]上有零点,求a的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)当a=1时,f(x)=x+ ,定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞),  x+1+  =|x+1|+ ≥2 =2, 当且仅当(x+1)2=1,即x=-2或x=0时取等号, 因此x+1+ ≤-2或x+1+ ≥2, 即f(x)≤-3或f(x)≥1, 所以函数f(x)的值域是(-∞,-3]∪[1,+∞). (2)函数f(x)在[1,2]上有零点,即f(x)=0在[1,2]上有解,即a=- 在[1,2]上有解, 当x∈[1,2]时,y=x(x+1)单调递增,则x(x+1)∈[2,6], 故- ∈ - ,-  , 所以a的取值范围是 - ,-  . 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 §1　方程解的存在性及方程的近似解 1.1　利用函数性质判定方程解的存在性 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　函数的零点与方程的解 1.[2026广东部分学校联考]函数f(x)=ex+x|2x+3|的零点个数为 ( ) A.0　    B.1　     C.2　    D.3     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　令f(x)=0,则ex=-x|2x+3|, 在同一直角坐标系中分别作出y=ex,y=-x|2x+3|= 的图象,如图所示,   由图可知,它们有3个交点,即f(x)有3个零点. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2025河南南阳期末]已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c有三个不同的零点-1,1,x0,且函数g(x)=ax2+bx +c,则下列判断正确的是( ) A.x0=-a B.函数g(x)可能不存在零点 C.函数g(x)可能有一个零点 D.函数g(x)可能有两个零点     ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　因为-1和1是f(x)的零点, 所以 解得b=-1,c=-a, 所以f(x)=x3+ax2-x-a=x(x2-1)+a(x2-1)=(x+a)(x-1)(x+1), 因为x0为函数f(x)的零点,所以x0=-a,故A正确; 当a=0时,g(x)=-x有一个零点,故C正确; 当a≠0时,对于方程g(x)=ax2-x-a=0,Δ=1+4a2>0, 所以函数g(x)有两个零点,故D正确; 由上述分析知,函数g(x)一定存在零点,故B错误. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026江西上饶余干中学月考]已知a>1,函数f(x)=ax+x-3的零点为m,g(x)=loga(ax)+x-4的零点为n,则 +  的取值范围为 ( ) A.[1,+∞)　    B.  C. 　    D.      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　    g(x)=loga(ax)+x-4=x+logax-3,f(x)=ax+x-3=ax+logaax-3=g(ax), 易知g(x)在(0,+∞)上单调递增且图象连续,又g(1)=-2<0,g(a3)=a3>0,所以g(x)在(1,a3)上存在唯一的零点n, 所以f(m)=g(am)=0=g(n), 所以am=n, 所以f(m)=am+m-3=n+m-3=0, 所以m+n=3,显然m>0,n>0, 所以 + = (m+n) =  ≥  2+2  = ,当且仅当m=n= 时等号成立. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026江西鹰潭贵溪一中月考]已知实数x1,x2是函数f(x)= -|log2(x-1)|的两个零点,则下列结论正确的 是 ( ) A.(x1-1)(x2-1)∈  B.(x1-1)(x2-1)∈  C.(x1-1)(x2-1)∈(1,2) D.(x1-2)(x2-2)∈(-∞,1)     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　令f(x)=0,则 =|log2(x-1)|,在同一平面直角坐标系中作出函数y= 与y=|log2(x-1)|的图象,如 图所示.   不妨令x1<x2,则由图可得1<x1<2<x2,所以(x1-2)(x2-2)<0,故D错误; ∵log2[(x1-1)(x2-1)]=log2(x1-1)+log2(x2-1)=- + <0, ∴0<(x1-1)(x2-1)<1,故C错误; 第1讲　描述运动的基本概念 ∵ <1= , ∴ <x1<2,即 <x1-1<1, 又∵x2-1>1,∴ <(x1-1)(x2-1)<1,故A错误,B正确. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026北京十一学校月考]设函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=2x+c,若函数y=f(g(x))与y=g(f(x))都没有零点,则函数 y=f(f(x))与y=g(g(x)) ( ) A.恰有一个有零点 B.至少有一个没有零点 C.至少有一个有零点 D.无法确定有没有零点     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　设f(x)的值域为集合A,g(x)的值域为集合B,则B=(c,+∞). 令t=g(x),t∈B,由y=f(g(x))无零点,得方程f(t)=0在t∈B上无实数根; 令s=f(x),s∈A,由y=g(f(x))无零点,得方程g(s)=0在s∈A上无实数根. 分三种情况讨论A与B的关系: ①若A⊆B,则f(f(x))中f(x)∈A⊆B,结合f(t)=0在t∈B上无实数根,得y=f(f(x))无零点; ②若B⊆A,则g(g(x))中g(x)∈B⊆A,结合g(s)=0在s∈A上无实数根,得y=g(g(x))无零点; ③若A=B,则f(f(x))中f(x)∈A=B,g(g(x))中g(x)∈B=A,故两者均无零点. 综上,函数y=f(f(x))与y=g(g(x))至少有一个没有零点. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026湖南常德石门一中月考]已知函数f(x)=log2(1+2x)- x. (1)判断f(x)的奇偶性并证明; (2)若F(x)=m· +4x,请判断是否存在实数m,使得F(x)有两个零点,且其中一个在(0,1)内,另一个在(1, log23)内,若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由; (3)若函数G(x)=n·4x- -2(n≥0),当x∈[log23,log25]时,记G(x)的最小值为h(n),求h(n). 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)f(x)为偶函数,证明如下: 由题可得f(x)的定义域为R,关于原点对称, f(-x)=log2(1+2-x)+ x=log2 + x=log2(1+2x)-log22x+ x=log2(1+2x)-x+ x=log2(1+2x)- x=f(x), ∴f(x)是定义在R上的偶函数. (2)由题意得F(x)=m· +4x =m(1+2x)+4x=4x+m·2x+m, 令t=2x,则t>0(注意换元后新元t的范围不是R), F(x)=4x+m·2x+m可转化为H(t)=t2+mt+m(t>0), 当x∈(0,1)时,t∈(1,2),当x∈(1,log23)时,t∈(2,3), ∵F(x)有两个零点,且一个在(0,1)内,另一个在(1,log23)内, 第1讲　描述运动的基本概念 ∴H(t)有两个零点,一个在(1,2)内,另一个在(2,3)内(转化为H(t)的零点分布情况),则 无 解, ∴不存在实数m,使得F(x)有两个零点,且其中一个在(0,1)内,另一个在(1,log23)内. (3)由题意得G(x)=n·4x- -2=n·4x-2x-3(n≥0), 令s=2x,若x∈[log23,log25],则s∈[3,5], G(x)=n·4x-2x-3可转化为g(s)=ns2-s-3(n≥0), G(x)在[log23,log25]上的最小值即为g(s)在[3,5]上的最小值, ①当n=0时,g(s)=-s-3,在[3,5]上单调递减,此时h(n)=g(5)=-8. ②当n>0时,g(s)=ns2-s-3为二次函数,其图象的对称轴为直线s= , 第1讲　描述运动的基本概念 当 ≥5,即0<n≤ 时,g(s)在[3,5]上单调递减,此时h(n)=g(5)=25n-8; 当3< <5,即 <n< 时,g(s)在 上单调递减,在 上单调递增,此时h(n)=g =- -3; 当 ≤3,即n≥ 时,g(s)在[3,5]上单调递增,此时h(n)=g(3)=9n-6. 综上所述,h(n)=  第1讲　描述运动的基本概念 题组二　根据函数零点(方程的解)的情况求参 7.[2026四川德阳期末]函数f(x)= 有且只有一个零点的充分不必要条件是 ( ) A.a≥1　     B.0<a<  C. <a<1　    D.a<0     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　当x>0时,f(x)=log2x,此时f(x)有一个零点1,则当x≤0时,f(x)=-2x+a没有零点,即函数y=2x(x≤0)的 图象与直线y=a无交点,画出两函数的图象,如图所示.   观察图象知当a≤0或a>1时两图象无交点, 结合选项知只有(-∞,0)⫋(-∞,0]∪(1,+∞), 故a<0是函数f(x)有且只有一个零点的充分不必要条件. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026广东广州联考]已知函数f(x)= 若方程[f(x)]2-(a+1)f(x)+a=0有五个不同的实数根,则 实数a的取值范围为 ( ) A.(0,1)　     B.(0,2] C.(2,+∞)　    D.(1,+∞)     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　令u=f(x),由[f(x)]2-(a+1)f(x)+a=0得u2-(a+1)u+a=0,即(u-a)(u-1)=0,解得u=1或u=a, 当x+1≤0,即x≤-1时,f(x)=|3x+1-1|=1-3x+1,则f(x)∈[0,1), 当-1<x≤0时,0<x+1≤1,f(x)=|3x+1-1|=3x+1-1,则f(x)∈(0,2], 作出函数u=f(x)的图象,如图所示: 由图可知,直线u=1与u=f(x)的图象有两个交点, 因为原方程有五个不同的实数根,所以直线u=a与u=f(x)的图象有三个交点, 由图可得0<a<1,故实数a的取值范围是(0,1). 第1讲　描述运动的基本概念 9.[多选题][2026山东泰安泰山中学段考]已知函数f(x)= 则 ( ) A.若方程f(x)=a有四个不同的实根,则其中两个负根之和为-2 B.若方程f(x)=a有四个不同的实根,则其中两个正根之积为1 C.若方程f(x)=a有三个不同的实根,则a的取值范围为(0,1) D.方程f(x)=3-x的两根之积小于1     ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　作出函数f(x)的图象,如下:   对于A,B,方程f(x)=a有四个不同的实根,即直线y=a与函数f(x)的图象有4个交点,则1<a<2, 设从左到右4个交点的横坐标依次为x1,x2,x3,x4,则x1<-1<x2<0<x3<1<x4, 其中x1,x2是方程-x2-2x+1=a的两个不等实根,则x1+x2=-2, x3,x4满足|log2x3|=|log2x4|,得log2x3+log2x4=0,即log2(x3x4)=0,即x3x4=1,A,B正确. 对于C,当a=2时,直线y=a与函数f(x)的图象有3个交点,即方程f(x)=a有三个不同的实根,C错误. 第1讲　描述运动的基本概念 对于D,当x<0时,3-x>3,由图知当x<0时,f(x)≤2,所以由f(x)=3-x得x>0, 所以3-x=log2x,x>1或3-x=-log2x,0<x<1, 当x>1时,有3=x+log2x,易知函数y=x+log2x在(1,+∞)上单调递增,x=2是方程3=x+log2x唯一的根; 当 ≤x<1时,3-x>2,-log2x≤1,即方程3-x=-log2x在 ≤x<1时无解; 当0<x< 时,令g(x)=3-x+log2x,易知函数g(x)的图象在 上是连续不断的,且g = >0,g =- <0,于 是g(x)在 内有零点,即方程3-x=-log2x在 内有解, 因此方程f(x)=3-x的两根之积小于1,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 方法技巧　函数零点、方程解的问题通常转化为两函数图象的交点问题,将代数问题几何化,借助图象 分析,大大降低了题目难度,注意要熟悉常见的函数图象,如指数函数、对数函数、幂函数的图象等,还 要熟练掌握函数图象的变换,包括平移、伸缩、对称和翻折等,涉及零点之和时,通常考虑图象的对称 性. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026河南部分示范性高中联考]关于x的方程|x-2|= 有三个不同的实数解,则实数a的取值范围是 _____________. (0,1)          解析　由于y=|x-2|的值域为[0,+∞),且在(-∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,则a>0,画出y=|x-2|与y=  的图象,如图所示:   第1讲　描述运动的基本概念 由图知当x∈(2,+∞)时,两函数图象有一个公共点, 所以当x∈(0,2)时,两函数的图象有两个公共点, 设f(x)= -[-(x-2)]= ,x∈(0,2), 令g(x)=x2-2x+a(x∈(0,2)),则函数g(x)在(0,2)上有两个零点, 所以 即  解得0<a<1. 综上所述,实数a的取值范围是(0,1). 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2025江西宜春宜丰中学月考]设函数f(x)= (a∈R),若函数y=4f(x)+5的零点为4,则使得8f(t2- 16)+63≥0成立的整数t的个数为__________.     10     第1讲　描述运动的基本概念 解析    因为函数y=4f(x)+5的零点为4,所以4f(4)+5=0,所以f(4)=- , 又f(x)= ,所以f(4)= =- ,解得a=9, 故f(x)= = - ,x∈[0,+∞). 因为y= 在[0,+∞)上单调递减, y= 在[0,+∞)上单调递增,所以f(x)在[0,+∞)上单调递减. 由8f(t2-16)+63≥0得f(t2-16)≥- ,又f(64)=- ,所以f(t2-16)≥f(64),所以0≤t2-16≤64, 故t∈[-4 ,-4]∪[4,4 ],又t∈Z, 故t的值可以为±8,±7,±6,±5,±4, 故整数t的个数为10. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2026天津第二十一中学练习]已知函数f(x)= 其中0<a<4.若方程f(f(x))=2有且只有一 个解,则实数a的取值范围是_________________________.     (2- ,2- ]∪(1,2+ ]     第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图,在同一平面直角坐标系中作出函数y=x2-4x+2,y=2x的图象.   令t=f(x),则f(t)=2. 当0<a≤1时,由f(t)=2,得t=0或t=1,即f(x)=0或f(x)=1. 若方程f(x)=1只有一个解,方程f(x)=0无解,则  所以2- <a≤2- . 第1讲　描述运动的基本概念 若方程f(x)=0只有一个解,方程f(x)=1无解,则 无解. 当1<a<4时,由f(t)=2,得t=0,即f(x)=0. 令x2-4x+2=0,解得x=2± , 要使方程f(x)=0只有一个解, 则 解得1<a≤2+ . 综上所述,a的取值范围是(2- ,2- ]∪(1,2+ ]. 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2026江西南昌第十中学月考]已知函数f(x)=1+log2x,g(x)=2x. (1)若F(x)=f(g(x))·g(f(x)),求函数F(x)在区间[2,5]上的值域; (2)若H(x)= ,求证:H(x)+H(1-x)=1,并求H +H +H +…+H 的值; (3)令h(x)=f(x)-1,则G(x)=[h(x)]2+(4-k)f(x),已知函数G(x)在区间[1,4]上有零点,求实数k的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)F(x)=f(g(x))·g(f(x))=(1+log22x)· =(1+x)×2× =2x(1+x)=2x2+2x=2 - , 当x∈[2,5]时,F(x)单调递增, 故F(x)max=F(5)=60,F(x)min=F(2)=12,所以F(x)在[2,5]上的值域为[12,60]. (2)由题意得H(x)= , 所以H(x)+H(1-x)= + = + = + = + =1. 令S=H +H   +H   +…+H , 则S=H +H   +H   +…+H , 两式相加得2S=2 023 H +H  ,即2S=2 023,则S= , 第1讲　描述运动的基本概念 故H +H +H +…+H = . (3)G(x)=(log2x)2+(4-k)log2x+4-k, 设t=log2x,当x∈[1,4]时,t∈[0,2],则G(x)=(log2x)2+(4-k)log2x+4-k可转化为p(t)=t2+(4-k)t+4-k, G(x)在区间[1,4]上有零点等价于p(t)在[0,2]上有零点, 即t2+(4-k)t+4-k=0在[0,2]上有解,即t2+4t+4-k(1+t)=0在[0,2]上有解, 即k= = =t+1+ +2, 设m=t+1,则m∈[1,3],则k=m+ +2, 令q(m)=m+ +2,易知q(m)在[1,3]上单调递增,且q(1)=4,q(3)= ,所以当1≤m≤3时,q(m)∈ ,所以4≤ k≤ , 故实数k的取值范围是 . 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　定义函数的“不动点”和“次不动点”考查方程的根 14.[2025江西赣州期末]给定函数y=f(x),若实数x0使得f(x0)=x0,则称x0为函数f(x)的“不动点”;若实数x0使 得f(x0)=-x0,则称x0为函数f(x)的“次不动点”.若函数g(x)=log2(4x-m·2x)在区间[0,1]上有且仅有一个“不 动点”和一个“次不动点”,则实数m的取值范围是 ( ) A.[0,1]　    B.(0,1)　    C. 　    D.      A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　由于g(x)=log2(4x-m·2x)在区间[0,1]上有且仅有一个“不动点”和一个“次不动点”, 所以方程log2(4x-m·2x)=x,log2(4x-m·2x)=-x在[0,1]上都有且仅有1个实根, 由log2(4x-m·2x)=x,即4x-m·2x=2x,知m=2x-1在[0,1]上有且仅有1个实根, 因为函数y=2x-1在[0,1]上单调递增,所以20-1≤m≤21-1,即0≤m≤1. 由log2(4x-m·2x)=-x,即4x-m·2x=2-x,知m=2x- 在[0,1]上有且仅有1个实根, 因为函数y=2x- 在[0,1]上单调递增,所以20- ≤m≤21- ,即0≤m≤ . 综上可知,0≤m≤1. 第1讲　描述运动的基本概念 $