5.1.1利用函数性质判定方程解的存在性课件-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学课件围绕方程解的存在性与近似解的求法展开，以函数零点为核心概念，通过一元二次方程到高次方程的自然过渡，构建从已有知识到新知的学习支架。从判别式判断实根出发，逐步引入连续函数图像的直观观察，再借助零点存在定理实现逻辑推理，最终落实到具体方程的解的判定与区间定位，形成清晰的知识链条。 其亮点在于深度融合数学核心素养，体现“几何直观”“逻辑推理”和“模型意识”。例如，利用函数图像分析f(x)=3ˣ−x²在[-1,0]内的符号变化，引导学生用零点存在定理判断解的存在性，既强化数形结合能力，又训练严谨推理过程。通过典型例题如(x−2)(x−5)=1的根分布探究，培养学生从现实问题中抽象出数学模型的能力。此设计有助于学生建立函数与方程的深层联系，提升问题解决思维，也为教师提供可直接使用的教学范式，增强课堂实效性。

我们已经学过一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程,它们有相应的求解公式，并掌握了这些方程的求解方法.而实际上,绝大部分方程没有求解公式.本节我们就利用方程与函数的关系判断方程解的存在性,并给出方程近似解的求法. 方程解的存在性及方程的近似解 1.1 利用函数性质判定方程解的存在性 在初中，我们已经学习了用根的判别式判断一元二次方程实数根的情况，换一种方法，从函数的角度研究来判定一元二次方程实数根的存在性 观察函数的图象 由于函数的图象是连续的曲线，因此点与点之间的那部分曲线必然穿过轴，即在区间内必有一点，使； 同理，在区间内也必有一点，使． 因此，方程有两个不相等的实数根． 使得的数称为方程的解，也称为函数的零点． 的零点就是函数的图象与轴交点的横坐标． 方程有实数解 ⇔ 函数有零点 ⇔ 函数的图象与轴有公共点 ⇔ 函数的零点是数，不是点 零点存在定理 若函数在闭区间上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即，则在开区间内，函数至少有一个零点，即在区间内相应的方程至少有一个解． 如果满足零点存在定理的条件，那么方程在区间内只有一个解吗？ 不一定． 如：，， 但是该函数在区间内有三个零点，和． 即方程在区间内有三个解， 零点存在定理 若函数在闭区间上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即，则在开区间内，函数至少有一个零点，即在区间内相应的方程至少有一个解． 若，则方程在区间内一定没有解吗？ 不一定 x y O ，但方程在区间内有个解． 即是方程在区间内有解的充分条件而非必要条件． 方程在区间内有没有解？为什么？ 解：设函数，在区间上有 ，． 又因为函数的图象是一条连续的曲线，所以由零点存在定理可知方程在区间内有解，即在区间内有解， 故方程在区间内有解． 解：设函数，显然有 画出函数的图象，如图： 观察得，，． 在区间，内分别应用零点存在定理，可知在区间，内，一元二次方程各有一个实数根． 所以方程有两个不相等的实数根，且一个根大于，另一个根小于． 判定方程有两个不相等的实数根，且一个根大于，另一个根小于． 求证：对于任意一条封闭的曲线，都存在外切正方形． 证明：记封闭曲线为，在初始时刻的外切四边形为矩形， 它的边长分别为和．若，则结论成立；若，不妨设． 现在，保持不动，逆时针转动矩形，转动过程中始终保持它与外切，设转动角为，则与边长之差可以看成在上的连续函数， 且，． 由函数的零点存在定理可知，一定存在，使． 这时，，封闭曲线的外切矩形是正方形． 函数零点的个数是________． 解：因为，；所以， 又的图像在上是不间断的，所以在上必有零点． 又在上是递增的， 所以零点只有个． 教材第130页练习第1～3题． $