5.1.1利用函数性质判定方程解的存在性课件- 2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数零点概念、零点存在定理及方程解的判定，通过“小明渡河”情境导入，从生活现象抽象出数学问题，衔接函数图象与方程解的关系，搭建从直观到抽象的学习支架。 其亮点在于情境化设计与分层训练结合，“想一想”“自我诊断”强化数学抽象，例题中数形结合（如作函数图象判断零点个数）培养直观想象，通性通法总结提升逻辑推理能力。学生能深化知识理解，教师可依托结构化内容提高教学效率。

1.1　利用函数性质判定方程解的存在性 新课程标准解读 核心素养 1.结合学过的函数图象与性质，了解函数零点 与方程解的关系 数学抽象、直观想 象、数学运算 2.了解函数零点存在定理，会判断函数零点的 个数 直观想象、逻辑推理 目录 数学·必修第一册（BSD） 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　路边有一条河，小明从 A 点走到了 B 点.观察下列两幅图. 【问题】　推断哪一幅能说明小明一定曾渡过河？ ⁠ ⁠ ⁠ 目录 数学·必修第一册（BSD） 知识点一　函数的零点 1. 函数的零点 使得 f （ x0）＝0的数 x0称为方程 f （ x ）＝0的解，也称为函数 f （ x ）的零点. f （ x ）的零点就是函数 y ＝ f （ x ）的图象与 x 轴交点 的 ⁠. 横坐标　 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 函数的零点、函数的图象与 x 轴的交点、对应方程的解的关系： 提醒　（1）函数的零点是实数，而不是点.如函数 f （ x ）＝ x ＋1 的零点是－1，而不是（－1，0）；（2）并不是所有的函数都有零 点，如函数 f （ x ）＝ ， y ＝ x2＋1均没有零点；（3）若函数有零 点，则零点一定在函数的定义域内. 目录 数学·必修第一册（BSD） 知识点二　函数零点存在定理 若函数 y ＝ f （ x ）在闭区间[ a ， b ]上的图象是一条 ⁠的曲 线，并且在区间端点的函数值 ，即 f （ a ）· f （ b ） 0，则在开区间（ a ， b ）内，函数 y ＝ f （ x ）至少 有 个零点，即在区间（ a ， b ）内相应的方程 f （ x ）＝0至少 有 个解. 连续　 一正一负　 ＜　 一　 一　 目录 数学·必修第一册（BSD） 1. 函数 y ＝ f （ x ）在区间[ a ， b ]上的图象是连续不断的一条曲 线， f （ a ）· f （ b ）＜0时，能否判断函数在区间（ a ， b ）上 的零点个数？ 提示：只能判断有无零点，不能判断零点的个数. 2. 函数 y ＝ f （ x ）在区间（ a ， b ）上有零点，是不是一定有 f （ a ）· f （ b ）＜0？ 提示：不一定，如 f （ x ）＝ x2在区间（－1，1）上有零点0，但是 f （－1） f （1）＝1×1＝1＞0. 【想一想】 目录 数学·必修第一册（BSD） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）任何函数都有零点. （　×　） （2）函数 y ＝ x 的零点是 O （0，0）. （　×　） （3）若函数 f （ x ）满足 f （ a ）· f （ b ）＜0，则函数在区间[ a ， b ]上至少有一个零点. （　×　） （4）函数的零点不是点，它是函数 y ＝ f （ x ）的图象与 x 轴交点 的横坐标，是方程 f （ x ）＝0的解. （　√　） × × × √ 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 函数 f （ x ）＝ x3－ x ＋1的零点所在的区间是（　　） A. （－2，－1） B. （－1，0） C. （0，1） D. （1，2） 解析：　 f （－2）＝－5， f （－1）＝1， f （0）＝1， f （1）＝ 1， f （2）＝7.因为 f （－2）· f （－1）＜0， f （－1）· f （0）＞ 0， f （0）· f （1）＞0， f （1）· f （2）＞0，所以函数 f （ x ）＝ x3 － x ＋1的零点所在的区间是（－2，－1），故选A. 目录 数学·必修第一册（BSD） 3. 若函数 y ＝ ax2－ x －1只有一个零点，则实数 a ＝ ⁠. 解析：当 a ＝0时，令 y ＝－ x －1＝0，解得 x ＝－1，符合题意；当 a ≠0时，函数 y ＝ ax2－ x －1为二次函数，因为函数 y ＝ ax2－ x －1 只有一个零点，所以Δ＝1＋4 a ＝0，解得 a ＝－ ，符合题意.故实 数 a ＝0或－ . 0或－ 　 目录 数学·必修第一册（BSD） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 求函数的零点 【例1】　（1）求函数 f （ x ）＝的零点； 解：当 x ≤0时，令 x2＋2 x －3＝0，解得 x ＝－3（ x ＝1舍去）； 当 x ＞0时，令－2＋ln x ＝0，解得 x ＝e2. 所以函数 f （ x ）＝的零点为－3和e2. 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）已知函数 f （ x ）＝ ax － b （ a ≠0）的零点为3，求函数 g （ x ） ＝ bx2＋ ax 的零点. 解：由已知得 f （3）＝0，即3 a － b ＝0，则 b ＝3 a ， 故 g （ x ）＝3 ax2＋ ax ＝ ax （3 x ＋1）. 令 g （ x ）＝0，即 ax （3 x ＋1）＝0， 解得 x ＝0或 x ＝－ . 所以函数 g （ x ）＝ bx2＋ ax 的零点为0和－ . 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 函数零点的求法 （1）代数法：求方程 f （ x ）＝0的实数根； （2）几何法：对于不能用求根公式的方程 f （ x ）＝0，可以将它与函 数 y ＝ f （ x ）的图象联系起来.图象与 x 轴的交点的横坐标即为 函数的零点. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 1. 函数 f （ x ）＝2 x2－3 x ＋1的零点是（　　） 解析：　方程2 x2－3 x ＋1＝0的两根分别为 x1＝1， x2＝ ，所以 函数 f （ x ）＝2 x2－3 x ＋1的零点是 ，1. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 若 f （ x ）＝则函数 g （ x ）＝ f （ x ）－ x 的零点为 ⁠. 解析：求 g （ x ）的零点即求 f （ x ）＝ x 的根， ∴或 解得 x ＝1＋ （1－ 舍去）或 x ＝1. ∴ g （ x ）的零点为1＋ ，1. 1＋ ，1　 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型二 函数零点个数问题 角度1　判断函数零点个数 【例2】　求函数 f （ x ）＝2 x ＋lg（ x ＋1）－2的零点个数. 解：法一　∵ f （0）＝1＋0－2＝－1＜0， f （1）＝2＋lg 2－2＞0， ∴ f （ x ）在（0，1）上必定存在零点.又显然 f （ x ）＝2 x ＋lg（ x ＋ 1）－2在（－1，＋∞）上为增函数. 故函数 f （ x ）有且只有一个零点. 目录 数学·必修第一册（BSD） 法二　在同一坐标系下作出 h （ x ）＝2－2 x 和 g （ x ）＝lg（ x ＋ 1）的草图.由图象知 g （ x ）＝lg（ x ＋1）的图象和 h （ x ）＝2 －2 x 图象有且只有一个交点，即 f （ x ）＝2 x ＋lg（ x ＋1）－2有 且只有一个零点. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 判断函数零点个数的4种常用方法 （1）利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个 零点； （2）画出函数 y ＝ f （ x ）的图象，判定它与 x 轴的交点个数，从而判 定零点的个数； （3）结合单调性，利用零点存在定理，可判定 y ＝ f （ x ）在（ a ， b ）上零点的个数； （4）转化成两个函数图象的交点问题. 目录 数学·必修第一册（BSD） 角度2　根据零点个数求参数范围 【例3】　已知函数 f （ x ）＝（ a ∈R），若函数 f （ x ）在R上有两个零点，则 a 的取值范围是（　　） A. （－∞，－1） B. （－∞，0） C. （－1，0） D. [－1，0） 解析：　当 x ＞0时， f （ x ）＝3 x －1有一个零点 x ＝ .∵函数 f （ x ）在R上有两个零点，因此当 x ≤0时， f （ x ）＝e x ＋ a ＝0只有一 个实根，∴ a ＝－e x （ x ≤0），则－1≤ a ＜0. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 已知函数有零点（方程有根）求参数范围的常用方法 （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参 数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解 决； （3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出 函数的图象，然后观察求解. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 1. 函数 f （ x ）＝的零点个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解析：　方程 x ＋2＝0（ x ＜0）的根为 x ＝－2，方程 x2－1＝0 （ x ＞0）的根为 x ＝1，所以函数 f （ x ）有2个零点：－2与1. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 若函数 f （ x ）＝有两个不同的零点，则实数 a 的 取值范围是 　 　. （0，1] 解析：当 x ＞0时，由 f （ x ）＝ln x ＝0，得 x ＝1.因为函数 f （ x ） 有两个不同的零点，则当 x ≤0时，函数 f （ x ）＝2 x － a 只有一个 零点，令 f （ x ）＝0得 a ＝2 x ，因为0＜2 x ≤20＝1，所以0＜ a ≤1， 所以实数 a 的取值范围是（0，1]. 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型三 方程在某区间内有解的判断（证明） 【例4】　求证：方程3 x ＝ 在区间（0，1）内必有一个实数根. 证明：设函数 f （ x ）＝3 x － ＝3 x － ＋1，则函数 f （ x ）在 （0，1）上单调递增. 而 f （0）＝30－2＝－1＜0， f （1）＝31－ ＝ ＞0， f （0）· f （1） ＜0，因为函数 f （ x ）在区间（0，1）内的图象是一条连续曲线， 所以由零点存在定理可知函数 f （ x ）在区间（0，1）内有零点，且只 有一个. 所以方程3 x ＝ 在区间（0，1）内必有一个实数根. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 判定方程在区间内有解的常用方法 （1）解方程法：当对应方程 f （ x ）＝0易解时，可先解方程，再看求 得的根是否落在给定区间上； （2）利用零点存在定理：首先看函数 y ＝ f （ x ）在区间[ a ， b ]上的 图象是否连续，再看是否有 f （ a ）· f （ b ）＜0.若有，则函数 y ＝ f （ x ）在区间（ a ， b ）内必有零点； 目录 数学·必修第一册（BSD） （3）数形结合法：通过画函数图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来 判断. 提醒　函数零点存在定理是不可逆的， f （ a ）· f （ b ）＜0⇒函 数 y ＝ f （ x ）在区间（ a ， b ）内有零点，但是函数 y ＝ f （ x ） 在（ a ， b ）内有零点，不一定能推出 f （ a ）· f （ b ）＜0. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 方程ln x ＋ x －3＝0在区间（2，3）内有没有解？为什么？ 解：设函数 f （ x ）＝ln x ＋ x －3， 因为 f （2）＝ln 2＋2－3＝ln 2－1＜0， f （3）＝ln 3＋3－3＝ln 3＞ 0，且 f （ x ）的图象是一条连续的曲线， 所以由零点存在定理可知方程 f （ x ）＝0在区间（2，3）内有解，即 方程ln x ＋ x －3＝0在区间（2，3）内有解. 目录 数学·必修第一册（BSD） 1. 函数 f （ x ）＝ x3－4 x 的零点为（　　） A. （0，0），（2，0） B. （－2，0），（0，0），（2，0） C. －2，0，2 D. 0，2 解析：　令 f （ x ）＝0，得 x （ x －2）（ x ＋2）＝0，解得 x ＝0 或 x ＝±2，故选C. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 已知定义在R上的函数 f （ x ）的图象是连续不断的，且有如下对应 值表： x 1 2 3 4 f （ x ） 6.1 2.9 －3.5 －1 那么函数 f （ x ）一定存在零点的区间是（　　） A. （－∞，1） B. （1，2） C. （2，3） D. （3，4） 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　由表可知 f （1） f （2）＞0， f （2） f （3）＜0， f （3） f （4）＞0，由零点存在定理可知 f （ x ）一定存在零点的区间是 （2，3）.故选C. 目录 数学·必修第一册（BSD） 3. （多选）下列图象表示的函数中有两个零点的有（　　） 解析：有两个零点就是函数图象与 x 轴有两个交点，故选C、D. 目录 数学·必修第一册（BSD）   解析：设 f （ x ）＝ x2＋（ m －2） x ＋1，∵方程 x2＋（ m －2） x ＋ 1＝0的两个零点分别在区间（0，1）和（1，2）之内， ∴即解得－ ＜ m ＜0. 　 目录 数学·必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $