第4章 07 高考真题练(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦对数运算与对数函数，涵盖对数的概念、运算性质、函数图象及性质等核心知识点。通过复习指数函数引入对数概念，以高考真题和考点练习为支架，搭建从基础运算到实际应用的知识脉络，帮助学生逐步掌握对数函数的综合应用。 其亮点在于结合生物丰富度指数、声压级等现实情境，培养学生用数学眼光观察世界的能力。通过一题多解、分类讨论等方法，发展数学思维，如利用换底公式化简对数关系式解决条件求值问题。采用真题与竞赛题结合的方式，既巩固基础又拓展思维，助力学生提升解题能力，也为教师提供丰富的教学资源和实例。

第四章 对数运算与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 高考真题练 第1讲　描述运动的基本概念 考点1　对数的运算 1.[2025北京,9]一定条件下,某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间T=klog2N(单位: h),其中k为常数.在此条件下,已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时,训练时间增加20 h;当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时,训练时间增加 ( ) A.2 h　    B.4 h　    C.20 h　    D.40 h     B     解析　　设三次训练的时间分别为T1 h,T2 h,T3 h,由题意得T1=klog2106,T2=klog2(1.024×109)=k(log21 024+ log2106)=k(log2106+10),T3=klog2(4.096×109)=k(log2106+12), 由T2-T1=10k=20,得k=2, 则T3-T2=2(log2106+12)-2(log2106+10)=4. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2024北京,7]生物丰富度指数d= 是河流水质的一个评价指标,其中S,N分别表示河流中的生物种 类数与生物个体总数,生物丰富度指数d越大,水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化, 生物个体总数由N1变为N2,生物丰富度指数由2.1提高到3.15,则( ) A.3N2=2N1　    B.2N2=3N1 C. = 　    D. =      D     解析　　由题意知  得 = ,即3ln N2=2ln N1,即ln  =ln  ,所以 = . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[多选题][2023新课标I,10]噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp= 20×lg ,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级: 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60~90 混合动力汽车 10 50~60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则( ) A.p1≥p2　     B.p2>10p3 C.p3=100p0　    D.p1≤100p2     ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　    p0,p1,p2,p3均大于0,∵ - =20×lg  -20×lg  =20×lg  ≥0,∴ ≥1,∴p1≥p2,故A正确; ∵ - =20×lg  ≥10,∴lg  ≥ ,∴ ≥ ,∴p2≥ p3,故B错误; ∵ =20×lg  =40,∴ =100,∴p3=100p0,故C正确; ∵ - =20×lg ≤90-50=40,∴lg ≤2,∴ ≤100,∴p1≤100p2,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2024全国甲文,15]已知a>1且 - = ,则a=__________. ①关键点拨    利用换底公式化简;对点突破    P336疑难1     64        考教衔接 本题为条件求值问题,属于中档题,来源于教材P106练习的第6题,两题均是给出适当条件求参数的值,不 同的是,教材练习题给出的是指数关系式,而本题给出的是对数关系式,需要借助换底公式转化为关于 log2a的一元二次方程,加强了对学生转化与化归思想的应用以及运算求解能力的考查. 解析　由已知得 - = - log2a=- ,去分母,整理得(log2a)2-5log2a-6=0,解得log2a=-1或log2a=6, 又a>1,所以log2a=6=log226,故a=26=64. 第1讲　描述运动的基本概念 解后反思　对于条件求值问题,若条件式比较复杂,则往往需通过化简、解方程等策略将其转化为较简 单的形式再求解;对于对数关系式中不同底的对数,一般可利用换底公式将其化为同底的对数,再利用 对数的运算性质求解. 第1讲　描述运动的基本概念 考点2　与对数有关的比较大小问题 5.[2022天津,5]设a=20.7,b= ,c=log2 ,则a,b,c的大小关系为 ( ) A.a<b<c　    B.c<a<b　    C.b<c<a　    D.c<b<a     D     解析　　因为a=20.7>20=1,b= < =1且b>0,c=log2 <log21=0,所以a>b>c. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2025全国一卷,8]已知2+log2x=3+log3y=5+log5z,则x,y,z的大小关系不可能为　     ( ) A.x>y>z　    B.x>z>y　    C.y>x>z　    D.y>z>x     B     　     思路点拨 思路一:设2+log2x=3+log3y=5+log5z=t,对t讨论赋值求出x,y,z,即可得出大小关系,利用排除法得出结果; 思路二:利用换底公式对原式变形→结合对数函数的单调性,数形结合得出结果. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    解法一:令2+log2x=3+log3y=5+log5z=t, 当t=3时,x=2,y=1,z= ,则x>y>z,A成立; 当t=5时,x=8,y=9,z=1,则y>x>z,C成立; 当t=8时,x=64,y=243,z=125,则y>z>x,D成立. 故B中关系不可能成立. 解法二:由题意可得,2+ =3+ =5+ ,则 -1= =2+ , 令t1=ln x,t2=ln y,t3=ln z,则 -1= =2+ , ∵  ≈1.4,  ≈1,  ≈0.6, ∴可令y1=1.4t-1,y2=t,y3=2+0.6t,如图. 第1讲　描述运动的基本概念   ①此时t1>t2>t3,即ln x>ln y>ln z,即x>y>z; ②此时t2>t1>t3,即ln y>ln x>ln z,即y>x>z; ③此时t2>t3>t1,即ln y>ln z>ln x,即y>z>x; ④此时t3>t2>t1,即ln z>ln y>ln x,即z>y>x. 故B中关系不可能成立. 第1讲　描述运动的基本概念 考点3　对数型函数的性质与图象 7.[2021天津,3]函数y= 的图象大致为( )  　       　          B     解析　　设f(x)= ,则f(x)的定义域为{x|x≠0}, 因为f(-x)= = =f(x),所以f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,故排除A,C;当x=2时,f(2)= >0, 排除D. 考场速决　本题可直接取特殊值验证,由f(2)>0,排除C,D,由f(-2)>0,排除A. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2023新课标Ⅱ,4]若f(x)=(x+a)·ln 为偶函数,则a= ( ) A.-1　    B.0　    C. 　    D.1     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　    解法一:由f(x)为偶函数,知f(x)=f(-x), 即(x+a)ln =(-x+a)ln , 即(x+a)ln =(-x+a)ln =(-x+a) ,∴x+a=-(-x+a)恒成立,∴a=0. 解法二(特殊值法):易知f(x)的定义域为 ∪ ,由已知得∀x∈ ∪ , f(-x)=f(x) 恒成立, ∴f(1)=f(-1),∴(1+a)ln =(-1+a)·ln 3,∴a=0. 经检验符合题意. 解法三:易知y=ln 为奇函数,又f(x)为偶函数,∴y=x+a为奇函数,∴a=0. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2024新课标Ⅰ,6]已知函数f(x)= 在R上单调递增,则a的取值范围是 ( ) A.(-∞,0]　    B.[-1,0]　    C.[-1,1]　    D.[0,+∞)     B     解析　　当x≥0时,函数f(x)=ex+ln(x+1),显然单调递增;当x<0时,f(x)=-x2-2ax-a=-(x+a)2+a2-a,而f(x)在R上 单调递增,所以 则-1≤a≤0,即a的取值范围是[-1,0]. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2024新课标Ⅱ,8]设函数f(x)=(x+a)·ln(x+b).若f(x)≥0①,则a2+b2的最小值为( ) A. 　    B. 　    C. 　    D.1 ①关键点拨　明确分类标准:以方程的根和函数定义域的关系分类.     C     第1讲　描述运动的基本概念 真题降维 关键信息 信息处理 考查类型 思想方法 f(x)=(x+a)·ln(x+b) 确定f(x)的定义域为(-b,+∞) 对数函数的定义域 研究函数时先确定其定义域 f(x)≥0恒成立 分别求方程x+a=0,ln(x+b)=0的根,以根和函数定义域的关系进行分类讨论,结合符号分析判断 不等式恒成立问题 分类讨论法 求a2+b2 的最小值 由已知推得b=a+1,从而将a2+b2转化为关于a的二次函数,用配方法求最值 求二次函数的最值 配方法 第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意可知f(x)的定义域为(-b,+∞), 令x+a=0,得x=-a,令ln(x+b)=0,得x=1-b. (思维创新:不等式恒成立问题的最常见的解法是分离参数法,但本题中无法分离参数,故考虑用分类讨 论法,由f(x)≥0联想到可研究边界情况,即求出方程f(x)=0的两根,再针对这两根的大小及其与定义域的 关系进行分类讨论求解) 若-a≤-b,当x∈(-b,1-b)时,可知x+a>0,ln(x+b)<0,此时f(x)<0,不合题意; 若-b<-a<1-b,当x∈(-a,1-b)时,可知x+a>0,ln(x+b)<0,此时f(x)<0,不合题意; 若-a=1-b,当x∈(-b,1-b)时,可知x+a<0,ln(x+b)<0,此时f(x)>0,(针对方程f(x)=0的根与定义域间的关系继续 分类讨论) 当x∈[1-b,+∞)时,可知x+a≥0,ln(x+b)≥0,此时f(x)≥0, 可知-a=1-b时符合题意; 第1讲　描述运动的基本概念 若-a>1-b,当x∈(1-b,-a)时,可知x+a<0,ln(x+b)>0,此时f(x)<0,不合题意. 综上所述,-a=1-b,即b=a+1, (解题关键:得到a,b的关系式,从而可将a2+b2转化为关于a的二次函数,可利用函数思想求其最值) 则a2+b2=a2+(a+1)2=2 + ≥ ,当且仅当a=- ,b= 时,等号成立,所以a2+b2的最小值为 . 解后反思　对于不等式f(x)≥0(或f(x)>0,f(x)<0,f(x)≤0)恒成立问题,若能分离参数,则优先考虑分离参数 法,若参数不易分离,则往往利用分类讨论法求解,此时先求出方程f(x)=0的实根,再结合各实根与函数定 义域区间的端点值的大小关系进行分类讨论. 第1讲　描述运动的基本概念 一题多解    令φ(x)=x+a,Q(x)=ln(x+b), 因为f(x)≥0,所以必有φ(x)与Q(x)在公共定义域的相同区间上的函数值同号. 如图,令φ(x)与Q(x)的图象交于x轴上同一点A,   易知Q(1-b)=0,则点A(1-b,0),将点A的坐标代入φ(x)的解析式,得0=1-b+a,即a=b-1, 所以a2+b2=(b-1)2+b2=2 + ,当且仅当b= ,a=- 时,a2+b2取得最小值,为 . 第1讲　描述运动的基本概念 11.[全国Ⅱ理高考,9]设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x) ( ) A.是偶函数,且在 单调递增　     B.是奇函数,且在 单调递减 C.是偶函数,且在 单调递增　     D.是奇函数,且在 单调递减     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　     ⇒x∈ x x≠± ,x∈R ,∴函数f(x)的定义域关于原点对称,又∵f(-x)=ln|-2x+1|-ln|-2 x-1|=ln|2x-1|-ln|2x+1|=-f(x),∴f(x)是奇函数,排除A,C; 当x∈ 时,f(x)=ln(2x+1)-ln(1-2x),∵y=ln(2x+1)在 - ,  上单调递增,y=ln(1-2x)在 上单调递 减,∴f(x)在 上单调递增,排除B; 当x∈ 时,f(x)=ln(-2x-1)-ln(1-2x)=ln =ln ,∵y=1+ 在 上单调递减,y=ln x 在定义域上单调递增,∴f(x)在 上单调递减,∴D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2022全国乙文,16]若f(x)=ln +b是奇函数,则a=_______,b=____________.     ln 2     　-      解析　∵f(x)=ln +b=ln +b,∴x≠1, 又f(x)为奇函数,∴x=-1是关于x的方程a+1-ax=0的根,∴a=- , ∴f(x)=ln +b, ∴f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞), ∴f(0)=ln  +b=0,∴b=ln 2. 第1讲　描述运动的基本概念 强基计划 13.[多选题][2024清华大学强基计划]已知ea+a=ln b+b=4,则下列选项中正确的有 ( ) A.aln b+bln a>1　    B.aln b+bln a=1 C.ab<4　     D.ab>e     ACD     解析　　由题意得x=a为方程ex=4-x的解,x=b为方程ln x=4-x的解,其中y=ex与y=ln x互为反函数,其图象 关于直线y=x对称,又函数y=4-x的图象也关于直线y=x对称,∴点(a,ea),(b,ln b)关于直线y=x对称, ∴ea=b=4-a,∴a+b=4,∴ab≤ =4,易知a≠b,则等号取不到,∴ab<4,C正确; ∵ea+a=4>e+1,∴a>1,∴aln b+bln a>aln b=a2>1,ab=aea>e,A正确,B错误,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 14.[2026山东大学强基计划]已知a,b,c,d∈N+,若logab= ,logcd= ,a-c=9,则b-d的值为__________.     93     解析　由已知得b= ,d= ,设a=m2,c=n4(m,n∈N+),得m2-n4=9,即(m+n2)(m-n2)=9, 因为a,b,c,d∈N+,所以有以下两种可能: ①m+n2=3,m-n2=3,得m=3,n=0(舍去); ②m+n2=9,m-n2=1,得m=5,n=2, 则b=125,d=32,即b-d=93. 第1讲　描述运动的基本概念 学科竞赛 15.[2024全国高中数学联赛四川预赛]已知a>b>1,若logab+logba= ,则 的最大值为_________. 解析　因为logab+logba= ,所以logab+ = , 所以2(logab)2-5logab+2=0,即(logab-2)(2logab-1)=0,解得logab=2或logab= , 因为a>b>1,所以0<logab<1,所以logab= ,故a=b2, 则 = = ≤ = ,当且仅当b= ,即b=2时取等号, 所以 的最大值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 16.[2025重庆高中数学联赛初赛]已知函数f(x)= 设a,b,c是三个不同的实数,满足f(f(a))=f(f (b))=f(f(c)),则a+b+c的取值范围为_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　设f(f(a))=f(f(b))=f(f(c))=t,即方程f(f(x))=t有三个不同的实根a,b,c, 当x≤0时,f(x)=2x,此时f(x)单调递增,且值域为(0,1], 当x>0时,f(x)=log2x+1,此时f(x)单调递增,值域为R,且f =0,f(1)=1,如图,   结合图象可知,方程f(f(x))=t有三个不同的实根,即方程f(x)=t有两个不同的实根x1,x2,设x1<x2,则t∈(0,1],且  =t,得x1=log2t∈(-∞,0],log2x2+1=t,得x2=2t-1∈ , 再考虑方程f(x)=x1和f(x)=x2,f(x)=x1⇔log2x+1=x1⇔x= = ,f(x)=x2⇔2x=x2或log2x+1=x2⇔x=log2x2=t-1或x=  = , 第1讲　描述运动的基本概念 故a+b+c= +t-1+ = + -1, 由于t∈(0,1],且y= + -1为关于t的增函数,所以a+b+c∈  -1,  . 第1讲　描述运动的基本概念 $