专题06 抽象函数的常考题型归纳（高效培优期末专项训练）高一数学上学期北师大版

专题06 抽象函数的常考题型归纳 考点01 求抽象函数的定义域 1 考点02 求抽象函数的解析式 5 考点03 求抽象函数的值域 7 考点04 求抽象函数的奇偶性单调性与解抽象不等式（常考点） 9 考点05 由函数的奇偶性对称性周期性求抽象函数的值（常考点） 12 考点06 正比例函数的抽象函数模型（重点） 17 考点07 幂函数的抽象函数模型 20 考点08 指数函数的抽象函数模型（重点） 21 考点09 对数函数的抽象函数模型（重点） 25 考点10 一次函数的抽象函数模型（重点） 27 考点11 对数函数衍生模型一次齐次对数型函数（高频） 29 考点12 二次函数的抽象函数模型 31 考点13 对数函数平移模型 33 考点01 求抽象函数的定义域 1．（25-26高一上·重庆九龙坡·月考）若函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意结合复合函数定义域相关知识可得答案. 【详解】因定义域为：，则的定义域满足：， 解得：，即定义域为：. 故选：D 2．（25-26高一上·广东深圳·月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解出的取值范围，然后根据括号内的整体范围相同可求的定义域. 【详解】因为的定义域为，所以中， 所以， 在中令，解得， 所以的定义域为. 故选：B. 3．（25-26高一上·河北邢台·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意令，运算求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 令，解得， 所以的定义域为． 故选：D. 4．（25-26高三上·河南南阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数定义域的概念，以及抽象函数定义域的求法，根据换元法，求出结果即可. 【详解】因为的定义域为，所以，所以. 则的定义域为，故对于，令，解得. 故的定义域为， 故答案为：B. 5．（25-26高一上·全国·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复合函数定义域和具体函数的定义域的求法，即可列式求解. 【详解】函数的定义域需满足不等式，解得：且， 所以函数的定义域是. 故选：C. 考点02 求抽象函数的解析式 6．（25-26高一上·江西鹰潭·月考）函数满足：对任意x、，都有，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】赋值法，先令，得到，然后令，求出 ，即可得出函数的解析式，代入求解即可. 【详解】令，可得， 再令，可得， 解得（舍）或， 可得，解得， 所以，解得， 故答案为：. 7．（25-26高一上·湖北孝感·期中）设是定义在上的单调函数，若，则函数在区间上的值域为 . 【答案】 【分析】根据题意可知存在唯一的满足，则有， 由即可求得，进而求得，利用函数的单调性即可求得函数的值域. 【详解】因是定义在上的单调函数，根据题意可知存在唯一的满足，则有， 取可得，则，整理得， 解得或（负值舍去），故， 易知该函数在上单调递减，故，即. 故答案为：. 8．（25-26高一上·辽宁·期中）已知函数的定义域为，且，则 ， . 【答案】 【分析】令，可求得的值；通过令以及令可求得的解析式，由此可求的解析式，则可求. 【详解】令，得，则； 令，得，得， 令，得， 即，所以， 所以， 故答案为：；. 9．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数满足，，且，则的最大值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】交换可得，进而可得再令可得，最后根据基本不等式可得答案. 【详解】，①． 则交换可得，, 化为② 由①②可得③， ③中令可得， 化简可得，当时等号成立， 所以的最大值等于． 故选：A 10．（25-26高一上·广东佛山·月考）已知定义在上的函数满足（其中，），请写出满足条件的一个函数表达式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据给定条件，取代入给定等式，再令并验证即可. 【详解】由，取，得， 令，此时， 且，，符合题意， 所以满足条件的一个函数表达式为. 故答案为： 考点03 求抽象函数的值域 11．（25-26高一上·广东·月考）已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】应用抽象函数定义域性质计算求解，应用函数值域计算判断. 【详解】函数的定义域为，即，所以， 因此函数的定义域为； 由函数的值域为，得函数的值域为， 即，则，故函数的值域为． 故选：C． 12．（25-26高一上·辽宁·期中）若函数的定义域､值域分别为，函数，则（    ） A．的定义域为 B．的定义域为 C．的值域为 D．的值域为 【答案】BD 【分析】根据的范围可求的范围，则的定义域可知；根据的范围可知的值域. 【详解】由，得，则的定义域为， 由，得，则的值域为， 故选：BD. 13．（25-26高二上·江西宜春·期中）若函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】结合函数平移及抽象函数的定义域和值域求解即可. 【详解】函数的图象可以由函数的图象向左平移2个单位得到， 由于函数的定义域和值域都是， 所以函数的定义域为，值域为. 故选：D 14．（24-25高二下·浙江丽水·期末）已知定义在上的函数的值域是，则函数的值域是 . 【答案】 【分析】根据函数图象的关系，结合值域的定义分析即可 【详解】函数的图象向左平移3个单位得到的图象， 因此函数的值域为， 则函数的值域是. 故答案为：. 15．（24-25高三下·重庆·月考）已知满足，且，则的值域为 【答案】 【分析】根据题意，令，求得，再令，求得，令，可得，即，再令，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由函数满足，且， 令，可得，因为，可得， 再令，可得，所以， 令，可得，即， 再令，可得，所以， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的值域为. 故答案为：. 考点04 求抽象函数的奇偶性单调性与解抽象不等式 16．【多选题】（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知函数的定义域为，且，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】AD 【分析】利用赋值法可判断AB；结合偶函数定义，举反例判断C；令，可推出，判断的奇偶性，即可判断D. 【详解】由题意知，， 令，则，A正确； 令，则，即得，B错误； 令，则， 令，取，则，取，则， 即，故不是偶函数，C错误； 由于，故， 令，则， 令，则， 令，则，即， 故为奇函数，即为奇函数，D正确， 故选：AD 17．【多选题】（25-26高三上·河南·月考）已知函数的定义域为，满足，当时，，且，则（　　） A． B． C．是奇函数 D．是增函数 【答案】BCD 【分析】即可判断A；令即可判断B；令，结合奇函数的定义即可判断C；令，令，利用作差法判断的大小，即可得出函数的单调性，即可判断D. 【详解】对于A，令，则， 所以，故A错误； 对于B，令，则， 所以，故B正确； 对于C，令，则， 所以 所以为奇函数，故C正确； 对于D，令，则为奇函数， 令， 则， 因为，所以， 所以，， 所以， 又因为当时，， 所以当时，， 所以，即， 所以函数在上单调递增， 又是奇函数，且， 所以函数为增函数，即函数是增函数，故D正确. 故选：BCD. 18．（25-26高一上·辽宁·月考）定义在上的函数满足，且当时，，求证： (1)是奇函数； (2)在上是增函数； (3)，其中 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，令，求得，令，得到，进而得到，即可得证； （2）设，则，根据，得到，结合题意，求得，即可证； （3）化简得到，得到原式，结合（1），得到，得到，即可得证. 【详解】（1）证明：由函数的定义域为，关于原点对称， 因为函数满足， 令，可得，所以， 令，可得，即， 所以函数是的奇函数. （2）证明：设，则， 因为， 所以，所以， 当时，，所以， 即，所以函数在上是增函数. （3）证明：由， 所以 ， 因为时，，且函数在上的奇函数， 所以当时，，， 又因为，所以， 所以，故. 19．（25-26高一上·浙江·期中）定义在上的函数满足，当时，，且满足，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】结合题干所给的信息赋值证明函数的单调性和奇偶性，再利用奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】令，得， 令，得， 函数是定义在上的奇函数， ，令，得， 任取，则， 当时，，当 时，，即， 函数是定义在上的单调递增函数， . 故答案为：. 20．（25-26高一上·福建漳州·月考）已知函数的定义域是，若对任意的，都有成立，且当时，，则的解集为 . 【答案】 【分析】根据题意，求得，得到为奇函数，由函数单调性的定义和判定方法，证得为单调递减函数，把不等式转化为，即可求得不等式的解集，得到答案. 【详解】因为对任意的，都有成立， 当时，有，必有， 令，有，即，所以为奇函数， 设且，可得，则， 由， 可得，即，所以为上的单调递减函数， 又由，可得， 因为在上单调递减，可得，即， 解得，所以不等式的解集为. 故答案为：. 考点05 由函数的奇偶性对称性周期性求抽象函数的值 21．（25-26高三上·安徽·月考）已知是定义在上的奇函数，是偶函数，且当时，，则（    ） A． B． C．1 D．7 【答案】A 【分析】由是偶函数，可得关于对称，由此结合函数的奇偶性将转化到区间内，结合解析式即可求值，即可得答案. 【详解】由是偶函数，可得，则关于对称， 由奇函数可得， 所以可得，即得， 所以函数的周期为12，所以， 又因为函数是奇函数得， 又因为函数关于对称，所以， 综上，， 因为当时，，则. 故选：A． 22．（重庆市部分学校2025-2026学年高一上学期12月份联考数学试卷）已知的定义域为，满足，若，则 . 【答案】2028 【分析】推导函数的奇偶性、对称性与周期性，利用进行转换求解即可. 【详解】由，得是奇函数，即，且， 由，令，则， 所以的图象关于直线对称， ， ，因此的周期为8， 因为，所以， ， ， ， 综上 故答案为：2028 23．（25-26高一上·广东深圳·月考）已知函数的图象关于原点对称，且周期为4，若，则（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】利用奇函数性质得出，再利用周期性质得出. 【详解】因为函数的图象关于原点对称， 所以是奇函数， 已知，则 函数的周期为4，即(为整数)， ，因此 综上. 故选：C 24．（25-26高一上·辽宁·月考）已知函数的定义域为，且，，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用赋值法先判断为奇函数，结合对数的运算法则与条件计算即可. 【详解】令，代入，可得，所以， 故函数为奇函数，且， 所以， 因为，所以. 故选：B. 25．（25-26高一上·新疆·月考）已知定义在上的函数满足，，则（   ） A．0 B．4 C．2 D．8 【答案】B 【分析】先推导出周期性，再赋值求值即可. 【详解】由①，以替换，得， 因为②，所以， 则. 在①中，令，得，解得；令，得. 在②中，令，得，所以， 所以， 所以. 故选：B. 考点06 正比例函数的抽象函数模型 1.具体函数：（，特殊形式：，） 2.抽象函数关系式：（定义域为） 3.衍生性质： 令，得； 令，得，故为奇函数； 若，则在上单调递增；若，则单调递减. 26．【多选题】（25-26高一上·四川阿坝·期中）已知函数满足，，且当时，，则（    ） A． B．是奇函数 C． D．在R上单调递减 【答案】ABD 【分析】取及进行赋值可以判断A、B、C，再由单调性的定义可判定D． 【详解】对于A，取得，，，故A正确； 对于B，取得，，即，则是奇函数，故B正确； 对于C，由B知，所以，故C错误. 对于D，，则，所以， ，所以单调递减，故D正确. 故选：ABD. 27．【多选题】（25-26高一上·安徽芜湖·期中）已知定义在上的函数满足以下条件：①对任意，，都有；②当时，；③.则下列说法正确的是（   ） A．且函数是奇函数 B．函数是上的单调递增函数 C．当时， D．若对任意恒成立，则实数的取值范围是 【答案】AD 【分析】A：令可求，令可证明奇偶性；B：根据结合条件构造出，然后判断出正负即可知的单调性；C：根据条件将变形，结合可求；D：根据单调性和奇偶性先将问题转化为“”，构造新函数并求出，则的取值范围可求. 【详解】对于A：令，则，所以， 令，则，所以， 且定义域为关于原点对称，所以函数是奇函数，故A正确； 对于B：对任意且， 因为，所以， 因为当时，，且，所以， 所以，所以， 所以函数是上的单调递减函数，故B错误； 对于C：由条件可知，， 所以，故C错误； 对于D：因为，且函数是上的单调递减函数， 所以对任意恒成立， 所以对任意恒成立，所以， 令，因为均在上单调递增， 所以在上单调递增，所以，所以，故D正确； 故选：AD. 28．【多选题】（25-26高一上·广东东莞·月考）定义域为的函数满足，，且时，，则（    ） A． B．在单调递增 C． D．不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】对于A，令，求出，然后令结合函数奇偶性的定义判断；对于B，设且，则由题意可得，利用单调性的定义判断，对于C，令求出，再利用奇函数的定义可求得判断，对于D，由题意可得，将不等式转化为，再利用其单调性求解即可判断. 【详解】对于A，由题意，令，可得，于是， 令，则，即，所以为奇函数，故A正确； 对于B，设且，则， 则，所以， 即，所以在单调递增，故 B正确； 对于C，由，得，所以， 又为奇函数，则，故C错误； 对于D，由题意得， 则等价于，则有，即，故D正确． 故选：ABD. 29．【多选题】（24-25高一下·安徽·开学考试）设是定义域为的单调函数，若，则（    ） A． B． C．是增函数 D．当时， 【答案】ABD 【分析】赋值法可判断A和B，根据函数的大小关系可判断选项C，根据单调性可判断D. 【详解】对于A，令，得，所以，A正确； 对于B，令，得，所以， 因为函数的定义域为，令，得， 所以，B正确； 对于C，是奇函数，且为单调函数，又， 所以是上的减函数，C错误； 对于D，由C可知是上的减函数，当时，， 所以，所以，故D正确. 故选：ABD. 考点07 幂函数的抽象函数模型 1.具体函数：（为常数，定义域依而定） 2.抽象函数关系式：（特殊：时，，） 3.衍生性质： 若，则在上单调递增；若，则单调递减； 当为偶数时，，为偶函数；当为奇数时，，为奇函数. 30．【多选题】（2025·江西南昌·模拟预测）已知定义在R上的单调函数，满足，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．可能是单调递减函数 C．为奇函数 D．若，则 【答案】ACD 【分析】由单调函数性质，奇函数定义结合赋值法可判断各选项正误. 【详解】因为定义在R上的单调函数，则，. 对于A，令，则或， 若，则对，取，都有，不满足单调函数性质， 故，故A正确； 对于B，令，则或（舍），则， 因，结合为定义在R上的单调函数，则只能是单调递增函数； 对于C，令，则 （舍）， 则，取，取， 则，又定义为R，则为奇函数，故C正确； 对于D，令，则，令， 则， 则，故D正确. 故选：ACD 31．【多选题】（24-25高三上·辽宁沈阳·月考）定义在R上的连续函数满足，，，则（    ） A． B．当时， C．若，则为偶函数 D．当时， 【答案】BC 【分析】举反例判断AD；利用赋值法推出判断B；利用赋值法结合偶函数定义判断C. 【详解】对于A，令，函数符合题意，此时，A错误； 对于B，当时，，即， 因此，B正确； 对于C，函数的定义域为R，且，，取， 则，因此为偶函数，C正确； 对于D，令，函数符合题意，当时，，D错误． 故选：BC 【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解. 32．【多选题】（24-25高一上·浙江·期中）已知函数的定义域为，满足：①对于任意的，，都有，②存在，，使得，则（   ） A． B． C．当时，为奇函数 D．当时，为偶函数 【答案】ACD 【分析】通过赋值，函数奇偶性的概念逐个判断即可. 【详解】对于A：令，可得：，解得：或， 当时，令，可得：，得，不满足存在，，使得，舍去，故；正确； 对于B：令，满足，且存在，，使得，此时，故错误； 对于C：令，可得：，奇函数，正确； 对于D：令，可得：，偶函数，正确； 故选：ACD 33．【多选题】（23-24高三上·辽宁·开学考试）定义在R上的连续函数满足，，，，则（    ） A． B．当x，时， C．若，则为偶函数 D．当时， 【答案】BC 【分析】举反例即可判断A，D；利用赋值法推出，从而可判断B；利用赋值法结合偶函数定义判断C. 【详解】对于A项，令，则满足题中所给条件，但此时有，A项错误； 对于B项，当x，时，取，则，所以， 所以，B项正确； 对于C项，由题意得定义域关于原点中心对称，且， 则，所以为偶函数，C项正确； 对于D项，令，则满足题中所给条件， 但当时，，故不成立，D项错误． 故选：BC 考点08 指数函数的抽象函数模型 1.具体函数：（且） 2.抽象函数关系式：（定义域为，恒成立） 3.衍生性质： 令，得，故（）； 令，得，故； 若，则在上单调递增；若，则单调递减. 34．【多选题】（24-25高一上·河南焦作·期末）已知定义域为的函数满足对于，则下列说法正确的是（   ） A． B．若对于，则函数是奇函数 C． D．若当时，，则在区间上单调递增 【答案】BD 【分析】A选项，令得到或0；B选项，根据得到，令得到，然后利用奇函数的定义判断；C选项，时不成立；D选项，根据时，利用作商的思路得到对任意的，都有，然后结合单调性的定义判断. 【详解】对于A项，令，则，则或0，故A错误； 对于B项，因为，所以， 由，且，所以， 令，则，所以， 所以，故是奇函数，故B正确； 对于C项，若，令可得，故C错误； 对于D项，若当时，，则不满足，所以， 设0，则，所以， 所以，即对任意的，都有， 所以在上单调递增．又，所以在，上单调递增，故D正确． 故选：BD． 35．【多选题】（24-25高一上·安徽·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且满足下列条件： ①对任意的，都有； ②对任意的实数，都有； ③. 则下列说法正确的有（    ） A． B．，使得 C．在上单调递减 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】对于A，令，代入求值即可；对于B，设，则总存在正整数，使得，此时，与②矛盾；对于C，根据单调性的定义证明函数在上单调递减，再结合奇函数的性质可得函数在上的单调性；对于D，根据函数的单调性和奇函数的性质，以及，可解不等式. 【详解】对于A，令，则，故正确； 对于B，假设，，， 则一定存在正整数，使得，此时与条件②矛盾，故错误； 对于C，假设，使得， 由，得，， 则一定存在正整数，使得，此时，与条件②矛盾， 故，有； 设，且， 由，得， 由任意的实数，都有，得，， 故，即，有； 综上，，有； 又， 所以在上单调递减，由于函数是定义在上的奇函数， 所以函数在上单调递减，故正确； 对于D，，则. 又，. ，， 所以，， 因为函数在上单调递减，又，所以由，得； 因为函数在上单调递减，又，所以由，得； 又函数是定义在上的奇函数，所以； 故解集为，故正确. 故选：ACD. 36．【多选题】（23-24高一上·湖南郴州·期末）已知函数满足当时，，且对任意实数满足，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．函数在上单调递增 B．或1 C．函数为非奇非偶函数 D．对任意实数满足 【答案】ACD 【分析】对于A，由函数单调性定义可判断正误； 对于B，令，可判断正误； 对于C，由A，B选项分析可判断正误； 对于D，利用做差法及可判断正误. 【详解】对于B，令，，得， 由题意知，所以，故B错误； 对于A，当时，，则， 又，则当时，，即对任意，. 取任意且，则，得， 则 即，所以是上的增函数，故A正确； 对于C，由是上的增函数且，可知为非奇非偶函数，故C正确； 对于D，注意到， 同理，则， 又，且，则 ，即， 故D正确. 故选：ACD. 37．【多选题】（2023·浙江台州·模拟预测）已知定义在上的函数，满足：，，，则（    ） A．函数一定为非奇非偶函数 B．函数可能为奇函数又是偶函数 C．当时，，则在上单调递增 D．当时，，则在上单调递减 【答案】BC 【分析】对于AB：令，结合奇偶性的定义即可求解；对于CD：利用单调性的定义结合已知条件求解即可 【详解】对于AB：令，则， 所以或， 当时， 令，则 ， 则， 所以此时既是奇函数又是偶函数； 故A错误，B正确； 对于C：当时，，则， 又， 所以，则， 设，则，则， 所以， 由于， 取，得， 所以， 则当时，，则， 所以， 则在上单调递增，故C正确； 对于D： 设，则，则， 所以， 则在上单调递增，故D错误； 故选：BC 考点09 对数函数的抽象函数模型 1.具体函数：（且，定义域为） 2.抽象函数关系式：（，） 3.衍生性质： 令，得，故； 令，得，故； 若，则在上单调递增；若，则单调递减. 38．【多选题】（23-24高一上·陕西西安·期中）已知对任意的，都有，且当时，．则（    ） A． B．的图象关于轴对称 C．， D．不等式的解集是 【答案】ABD 【分析】令即可得到进而判断A；通过令，用代替得到是偶函数进而判断B；通过对函数单调性求解可判断C；通过解不等式即可判断D. 【详解】对于A，令，得，即，则A正确． 对于B，令，得．用代替，得， 则，即是偶函数，从而的图象关于轴对称，故B正确． 对于C，令，则．因为当时，，所以， 则，即，故在上单调递增． 因为是偶函数，所以在上单调递减． 因为，所以，所以，，则C错误． 对于D，由，得或， 解得或或，则D正确． 故选：ABD 39．【多选题】（25-26高一上·全国·期中）已知定义在的函数满足，且，当时，，则（ ） A． B．在上单调递增 C．是偶函数 D．不等式的解集是 【答案】ABD 【分析】令可求出判断A；由单调性定义判断B；根据定义域可判断函数的奇偶性，即可判断C；由条件可得等价于，利用函数的单调性求解可判断D． 【详解】令，得，即，则A正确； 设，，则，，故在上单调递增，B正确， 由题意可知的定义域是，则为非奇非偶函数，故C错误； 令，得，因为．所以． 因为，所以， 所以， 所以等价于， 因为在上单调递增，所以，解得， 所以不等式的解集是，故D正确． 故选：ABD． 40．【多选题】（24-25高一上·河南驻马店·期末）设函数，对任意的非零实数x，y，恒有 ，且对任意的，有，则（   ） A． B．为偶函数 C．单调递减 D．的解集为 【答案】ABD 【分析】令 可判断；令 可判断；由结合单调性的定义判断C；利用函数的单调性与奇偶性转化原不等式即可判断D. 【详解】项，令 ，则 ，所以 ，故正确； 项，令，则 ，所以 令 ，则 ，所以，所以为偶函数，故正确； C项，令 ，则，所以 ， ，即， 所以在上单调递减， 又因为为偶函数，所以在 上单调递增， 故在上单调递增，在上单调递减，故C不正确； 项， ，即， 所以 ，所以或，解得或， 所以的解集为，故正确； 故选：ABD 【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解，抽象函数问题往往利用赋值法求解. 41．【多选题】（23-24高一下·广东广州·开学考试）若定义在上的函数满足：，且，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据所给抽象函数的性质，利用赋值法求解即可判断各选项. 【详解】由已知可得函数的定义域为，满足①，且， 对于选项A，可令，代入①式，得，得，所以A选项是正确的； 对于选项B，可令，代入①式，得，得，所以B选项是正确的； 令，代入①式，得，而得， 可令代入①式，得，整理得， 所以C选项是错误的，D选项是正确的. 故选：ABD. 考点10 一次函数的抽象函数模型 1.具体函数：（，当时退化为正比例函数模型） 2.抽象函数关系式：（或，递推形式） 3.衍生性质： 令，得，故. 42．【多选题】（25-26高一上·江西·期末）已知函数的定义域是，对任意的实数满足，且，当时，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．函数为上的增函数 D．函数为奇函数 【答案】ACD 【分析】令，求出的值，可判断A正确；令，求得的值，再令，求得的值，可判断B错误；根据题意，得到时，，结合函数单调性的定义，可判断C正确；令，由，令，结合函数奇偶性的定义，可判断D选项. 【详解】对于A，对任意的实数满足， 令可得，解得，所以A正确； 对于B，令可得， 即，解得， 再令，可得，所以B错误； 对于C，由题意知：当时，， 当时，则时，， 故当时，， 任取且， 则， 所以函数在上为增函数，所以C正确； 对于D，令，因为， 可得， 即，且， 令，则，即， 所以，函数为奇函数，D对； 故选：ACD. 43．【多选题】（24-25高一上·河北张家口·月考）已知函数的定义域为，对任意实数，有且，当时，．则下列选项正确的是（   ） A． B． C．为奇函数 D．为上的减函数 【答案】ACD 【分析】代入特殊数值，即可判断AB，令，以及奇函数的定义，即可判断C，根据减函数的定义，即可判断D. 【详解】A.令，得，即，故A正确； B.令，所以，故B错误； C.令，则，即，所以函数为奇函数，故C正确； D.设，，即， 即， 因为，所以，则，所以， 即，所以为上的减函数，故D正确. 故选：ACD 44．【多选题】（24-25高一上·江苏常州·月考）已知函数的定义域为，对任意的实数，满足，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．为上的减函数 D．为奇函数 【答案】ABD 【分析】由，利用赋值法求解. 【详解】解：依题意，且， 令，得，故A选项正确. 令，则，， 即，故B选项正确 由于，故C选项错误. 令，得， 即，即， 所以为奇函数，故D选项正确. 故选：ABD 考点11 对数函数衍生模型一次齐次对数型函数（高频） 抽象函数关系式 对数函数的衍生模型——一次齐次对数型函数，具体函数形式为（为非零常数） 验证匹配： 对，计算： 这类函数是一次齐次函数（满足），且结合了对数函数的运算性质，是高中抽象函数中相对特殊的模型，常通过“赋值法”（如令、）推导其性质（例如、，且为奇函数）. 45．【多选题】（24-25高一上·四川泸州·期中）不恒为的函数的定义域为，，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】令，求出的值，可判断A选项；令，求出的值，可判断B选项；令，结合函数奇偶性的定义可判断C选项；利用奇函数的性质可判断D选项. 【详解】因为不恒为的函数的定义域为，， 对于A选项，令，可得，解得，A对； 对于B选项，令，可得，得，B对； 对于C选项，令可得， 故函数为奇函数，C对； 对于D选项，由题意，存在非零实数，使得， 则， 不妨设，则，D错. 故选：ABC. 46．【多选题】（25-26高一上·广东东莞·期中）已知f（x）是定义在R上的函数；对于任意实数a，b满足，当x＞1时，f（x）＞0，则（   ） A．f（1）＝0 B．f（|x|）＝f（x） C．f（x）在上单调递增 D．方程f（x）＝0有3个实数根 【答案】ACD 【分析】对于：令，，可得； 对于：令，可得；令，可得为奇函数；根据，分类讨论即可； 对于：利用单调性定义证明即可； 对于：结合函数的奇偶性和单调性即可判断实数根的个数； 【详解】对于：将，代入可得， 即，可得，正确； 对于：将，代入可得， 即，因为，所以； 将，代入可得，即，所以为奇函数； 当时，，所以，当时，，所以；故选项错误； 对于：设，，得， 当时，，所以，，即， 所以在上单调递增，选项正确； 对于：令，为任意不等于的实数，代入可得，整理得， 因为，所以；当时，；当时，，， 因为，所以，故；当时，，所以， 所以；当时，，，所以； 所以的根为，共3个，所以选项正确； 故选：. 47．【多选题】（23-24高一上·河北邢台·月考）已知定义在上的函数，对任意实数，都有，则（    ） A． B． C． D．为奇函数 【答案】ABD 【分析】根据题意，令，可判定A正确；令，可判定B正确；令，求得，再令，可判定C错误；令，求得， 再令，得到，可判定D正确. 【详解】由题意知，定义在上的函数对任意实数，都有， 对于A中，令，得，所以A正确； 对于B中，令，得，则，所以B正确； 对于C中，令，得， 再令，得， 可得，所以C错误. 对于D中，令，得，则， 再令，得，则为奇函数，所以D正确. 故选：ABD. 48．【多选题】（23-24高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意都满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．是奇函数 C．若，则 D．若当时，，则在单调递减 【答案】ABD 【分析】对于A选项，令即可； 对于B选项，令，令即可； 对于C选项， 令，即可； 对于D选项，由得，根据函数单调性定义即可. 【详解】因为， 所以令，得，故A正确； 令，得，所以， 令，得， 所以，令，得，又， 所以，又因为定义域为，所以函数是奇函数，故正确； 令，得， 又，所以，故C错误； 当时，由， 可得，又， ，在上任取，不妨设， ， ， 故，在单调递减，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于对和准确的赋值以及对单调性定义计算的精简. 49．【多选题】（23-24高一上·江西景德镇·期中）已知定义在R上且不恒为零的函数，若对于，，有，则下列说法正确的有（    ） A．函数为奇函数 B．对 C．若，则 D．若当时，，则函数在区间上单调递增 【答案】ACD 【分析】对于A，令，得出，令，得出，再令得出结果；对于B，令进行归纳得出结论；对于C，令，再结合得出结果；对于D，当时，由于，则，再结合单调性的定义考虑时，，与零的大小关系得出结果. 【详解】对于A，令，则，解得；令，则，解得. 令，则，即，则函数为奇函数，故A正确； 对于B，令，则， 令，则，归纳可知，故B错误； 对于C，令，则，求出，由于， 则， 则，故C正确； 对于D，当时，由于，则， 考虑，则，由于，则函数在上单调递增，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】抽象函数奇偶性的判断，一般先通过赋值法找到如，的值，再一次利用赋值法得到与的关系即可. 考点12 二次函数的抽象函数模型 具体函数是二次函数模型，形式为（其中，为常数，通常结合条件取时为） 验证匹配（以为例）： 计算： 若要匹配题目中的“”，只需调整系数为，此时： 完全符合题目关系式（通常题目隐含，即） 这类函数属于二次齐次函数，核心特征是抽象式中含项，对应具体函数的二次项结构，常通过赋值求、赋值推导递推关系. 50．【多选题】（24-25高一上·河北沧州·月考）已知函数的定义域为，，，则（   ） A． B． C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】ABC 【分析】运用赋值法，结合奇偶函数的定义判断即可. 【详解】令，则，即，故A正确； 令，则，可得， 令，则，则，B正确； 将代替得，即， 则，所以是奇函数，故C正确D不正确. 故选：ABC 51．【多选题】（24-25高一上·湖南·期中）已知函数的定义域为，且，则下列选项正确的是（   ） A． B． C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】ABC 【分析】运用赋值法，结合奇偶函数得定义判断即可. 【详解】对于A选项，令，则，即，A正确； 对于B选项，令，则，令，则，则，故.B正确； 对于C选项，是奇函数，C正确； 对于D选项，是非奇非偶函数，D不正确. 故选：ABC. 52．【多选题】（24-25高三上·甘肃白银·月考）已知函数的定义域为，则（    ） A． B． C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】ABD 【分析】通过赋值可判断AB，构造函数，通过奇偶性的定义可判断CD. 【详解】令，可得，故A项正确； 令，可得，令， 可得，则，故B项正确； 由， 可得， 令，则， 令，可得， 令，则， 所以是奇函数，即是奇函数，故C项错误，D项正确. 故选：ABD 考点13 对数函数平移模型 抽象函数关系式对应的具体函数是对数函数的平移模型，形式为（其中且，为非零常数；常见特殊形式为） 以为例，计算： 该函数是对数函数（定义域为对应对数函数的定义域特征）经过纵向平移得到的，核心是将对数函数的基本关系式进行了平移调整（加2） 53．【多选题】（2024·山东·模拟预测）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则（    ） A． B．为偶函数 C． D．若，则x的取值范围为 【答案】BC 【分析】用赋值法先令求得，再令即可求得判断A；然后令可判断奇偶性判断B；任取，则，由可得单调性判断C；利用奇偶性与单调性解不等式判断D. 【详解】对于A，在中， 令得，因此， 再令得，则，故A错； 对于B，令得， 所以，是偶函数，故B正确； 对于C，设，则，， 所以，在上是增函数， 从而，故C正确； 对于D，是偶函数，则，又在上是增函数，所以，解得且，故D错误. 故选：BC. 54．【多选题】（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数是上的奇函数，且过点，对于一切正实数，都有． 当时，恒成立，则（    ） A． B．在上是单调函数 C．有三个零点 D．当时， 【答案】ACD 【分析】对于A，赋值即可判断；对于B，分别赋值、和求出和即可判断；对于C，探究在上的单调性，结合、和函数奇偶性即可判断；对于D，由函数单调性以及研究特殊值，，即可得解. 【详解】由题， 对于A：令，，所以A正确； 对于B：令， ，得； 令，，得， 令，，得，所以B不正确； 对于C：当时， ，得， 故，即 又即， 所以，设， 则， 因为，所以， ， 因为当时，恒成立， 所以，即， 故在上单调递增， 又，，且函数是上的奇函数， 所以，故有三个零点． 所以C正确； 对于D：当时， 因为在上单调递增，，，所以 ； 当时，因为，， ， ， ， 由奇函数在上单调递增，所以； 所以当时，.所以D正确. 故选：ACD． 【点睛】关键点睛：探究函数零点个数和根据函数值，求解变量的关键是巧妙赋值实现，从而结合奇偶性探究得出函数在R上的单调性. 33 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 抽象函数的常考题型归纳 考点01 求抽象函数的定义域 1 考点02 求抽象函数的解析式 5 考点03 求抽象函数的值域 7 考点04 求抽象函数的奇偶性单调性与解抽象不等式（常考点） 9 考点05 由函数的奇偶性对称性周期性求抽象函数的值（常考点） 12 考点06 正比例函数的抽象函数模型（重点） 17 考点07 幂函数的抽象函数模型 20 考点08 指数函数的抽象函数模型（重点） 21 考点09 对数函数的抽象函数模型（重点） 25 考点10 一次函数的抽象函数模型（重点） 27 考点11 对数函数衍生模型一次齐次对数型函数（高频） 29 考点12 二次函数的抽象函数模型 31 考点13 对数函数平移模型 33 考点01 求抽象函数的定义域 1．（25-26高一上·重庆九龙坡·月考）若函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·广东深圳·月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·河北邢台·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·河南南阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·全国·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 考点02 求抽象函数的解析式 6．（25-26高一上·江西鹰潭·月考）函数满足：对任意x、，都有，则不等式的解集为 ． 7．（25-26高一上·湖北孝感·期中）设是定义在上的单调函数，若，则函数在区间上的值域为 . 8．（25-26高一上·辽宁·期中）已知函数的定义域为，且，则 ， . 9．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数满足，，且，则的最大值是（    ） A． B． C．1 D．2 10．（25-26高一上·广东佛山·月考）已知定义在上的函数满足（其中，），请写出满足条件的一个函数表达式 ． 考点03 求抽象函数的值域 11．（25-26高一上·广东·月考）已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 12．【多选题】（25-26高一上·辽宁·期中）若函数的定义域､值域分别为，函数，则（    ） A．的定义域为 B．的定义域为 C．的值域为 D．的值域为 13．（25-26高二上·江西宜春·期中）若函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 14．（24-25高二下·浙江丽水·期末）已知定义在上的函数的值域是，则函数的值域是 . 15．（24-25高三下·重庆·月考）已知满足，且，则的值域为 考点04 求抽象函数的奇偶性单调性与解抽象不等式 16．【多选题】（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知函数的定义域为，且，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．是偶函数 D．是奇函数 17．【多选题】（25-26高三上·河南·月考）已知函数的定义域为，满足，当时，，且，则（　　） A． B． C．是奇函数 D．是增函数 18．（25-26高一上·辽宁·月考）定义在上的函数满足，且当时，，求证： (1)是奇函数； (2)在上是增函数； (3)，其中 19．（25-26高一上·浙江·期中）定义在上的函数满足，当时，，且满足，则不等式的解集为 . 20．（25-26高一上·福建漳州·月考）已知函数的定义域是，若对任意的，都有成立，且当时，，则的解集为 . 考点05 由函数的奇偶性对称性周期性求抽象函数的值 21．（25-26高三上·安徽·月考）已知是定义在上的奇函数，是偶函数，且当时，，则（    ） A． B． C．1 D．7 22．（重庆市部分学校2025-2026学年高一上学期12月份联考数学试卷）已知的定义域为，满足，若，则 . 23．（25-26高一上·广东深圳·月考）已知函数的图象关于原点对称，且周期为4，若，则（   ） A．2 B．0 C． D． 24．（25-26高一上·辽宁·月考）已知函数的定义域为，且，，当时，，则（   ） A． B． C． D． 25．（25-26高一上·新疆·月考）已知定义在上的函数满足，，则（   ） A．0 B．4 C．2 D．8 考点06 正比例函数的抽象函数模型 1.具体函数：（，特殊形式：，） 2.抽象函数关系式：（定义域为） 3.衍生性质： 令，得； 令，得，故为奇函数； 若，则在上单调递增；若，则单调递减. 26．【多选题】（25-26高一上·四川阿坝·期中）已知函数满足，，且当时，，则（    ） A． B．是奇函数 C． D．在R上单调递减 27．【多选题】（25-26高一上·安徽芜湖·期中）已知定义在上的函数满足以下条件：①对任意，，都有；②当时，；③.则下列说法正确的是（   ） A．且函数是奇函数 B．函数是上的单调递增函数 C．当时， D．若对任意恒成立，则实数的取值范围是 28．【多选题】（25-26高一上·广东东莞·月考）定义域为的函数满足，，且时，，则（    ） A． B．在单调递增 C． D．不等式的解集为 29．【多选题】（24-25高一下·安徽·开学考试）设是定义域为的单调函数，若，则（    ） A． B． C．是增函数 D．当时， 考点07 幂函数的抽象函数模型 1.具体函数：（为常数，定义域依而定） 2.抽象函数关系式：（特殊：时，，） 3.衍生性质： 若，则在上单调递增；若，则单调递减； 当为偶数时，，为偶函数；当为奇数时，，为奇函数. 30．【多选题】（2025·江西南昌·模拟预测）已知定义在R上的单调函数，满足，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．可能是单调递减函数 C．为奇函数 D．若，则 31．【多选题】（24-25高三上·辽宁沈阳·月考）定义在R上的连续函数满足，，，则（    ） A． B．当时， C．若，则为偶函数 D．当时， 32．【多选题】（24-25高一上·浙江·期中）已知函数的定义域为，满足：①对于任意的，，都有，②存在，，使得，则（   ） A． B． C．当时，为奇函数 D．当时，为偶函数 33．【多选题】（23-24高三上·辽宁·开学考试）定义在R上的连续函数满足，，，，则（    ） A． B．当x，时， C．若，则为偶函数 D．当时， 考点08 指数函数的抽象函数模型 1.具体函数：（且） 2.抽象函数关系式：（定义域为，恒成立） 3.衍生性质： 令，得，故（）； 令，得，故； 若，则在上单调递增；若，则单调递减. 34．【多选题】（24-25高一上·河南焦作·期末）已知定义域为的函数满足对于，则下列说法正确的是（   ） A． B．若对于，则函数是奇函数 C． D．若当时，，则在区间上单调递增 35．【多选题】（24-25高一上·安徽·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且满足下列条件： ①对任意的，都有； ②对任意的实数，都有； ③. 则下列说法正确的有（    ） A． B．，使得 C．在上单调递减 D．不等式的解集为 36．【多选题】（23-24高一上·湖南郴州·期末）已知函数满足当时，，且对任意实数满足，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．函数在上单调递增 B．或1 C．函数为非奇非偶函数 D．对任意实数满足 37．【多选题】（2023·浙江台州·模拟预测）已知定义在上的函数，满足：，，，则（    ） A．函数一定为非奇非偶函数 B．函数可能为奇函数又是偶函数 C．当时，，则在上单调递增 D．当时，，则在上单调递减 考点09 对数函数的抽象函数模型 1.具体函数：（且，定义域为） 2.抽象函数关系式：（，） 3.衍生性质： 令，得，故； 令，得，故； 若，则在上单调递增；若，则单调递减. 38．【多选题】（23-24高一上·陕西西安·期中）已知对任意的，都有，且当时，．则（    ） A． B．的图象关于轴对称 C．， D．不等式的解集是 39．【多选题】（25-26高一上·全国·期中）已知定义在的函数满足，且，当时，，则（ ） A． B．在上单调递增 C．是偶函数 D．不等式的解集是 40．【多选题】（24-25高一上·河南驻马店·期末）设函数，对任意的非零实数x，y，恒有 ，且对任意的，有，则（   ） A． B．为偶函数 C．单调递减 D．的解集为 41．【多选题】（23-24高一下·广东广州·开学考试）若定义在上的函数满足：，且，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 考点10 一次函数的抽象函数模型 1.具体函数：（，当时退化为正比例函数模型） 2.抽象函数关系式：（或，递推形式） 3.衍生性质： 令，得，故. 42．【多选题】（25-26高一上·江西·期末）已知函数的定义域是，对任意的实数满足，且，当时，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．函数为上的增函数 D．函数为奇函数 43．【多选题】（24-25高一上·河北张家口·月考）已知函数的定义域为，对任意实数，有且，当时，．则下列选项正确的是（   ） A． B． C．为奇函数 D．为上的减函数 44．【多选题】（24-25高一上·江苏常州·月考）已知函数的定义域为，对任意的实数，满足，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．为上的减函数 D．为奇函数 考点11 对数函数衍生模型一次齐次对数型函数（高频） 抽象函数关系式 对数函数的衍生模型——一次齐次对数型函数，具体函数形式为（为非零常数） 验证匹配： 对，计算： 这类函数是一次齐次函数（满足），且结合了对数函数的运算性质，是高中抽象函数中相对特殊的模型，常通过“赋值法”（如令、）推导其性质（例如、，且为奇函数）. 45．【多选题】（24-25高一上·四川泸州·期中）不恒为的函数的定义域为，，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．的最小值为 46．【多选题】（25-26高一上·广东东莞·期中）已知f（x）是定义在R上的函数；对于任意实数a，b满足，当x＞1时，f（x）＞0，则（   ） A．f（1）＝0 B．f（|x|）＝f（x） C．f（x）在上单调递增 D．方程f（x）＝0有3个实数根 47．【多选题】（23-24高一上·河北邢台·月考）已知定义在上的函数，对任意实数，都有，则（    ） A． B． C． D．为奇函数 48．【多选题】（23-24高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意都满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．是奇函数 C．若，则 D．若当时，，则在单调递减 49．【多选题】（23-24高一上·江西景德镇·期中）已知定义在R上且不恒为零的函数，若对于，，有，则下列说法正确的有（    ） A．函数为奇函数 B．对 C．若，则 D．若当时，，则函数在区间上单调递增 考点12 二次函数的抽象函数模型 具体函数是二次函数模型，形式为（其中，为常数，通常结合条件取时为） 验证匹配（以为例）： 计算： 若要匹配题目中的“”，只需调整系数为，此时： 完全符合题目关系式（通常题目隐含，即） 这类函数属于二次齐次函数，核心特征是抽象式中含项，对应具体函数的二次项结构，常通过赋值求、赋值推导递推关系. 50．【多选题】（24-25高一上·河北沧州·月考）已知函数的定义域为，，，则（   ） A． B． C．是奇函数 D．是偶函数 51．【多选题】（24-25高一上·湖南·期中）已知函数的定义域为，且，则下列选项正确的是（   ） A． B． C．是奇函数 D．是偶函数 52．【多选题】（24-25高三上·甘肃白银·月考）已知函数的定义域为，则（    ） A． B． C．是偶函数 D．是奇函数 考点13 对数函数平移模型 抽象函数关系式对应的具体函数是对数函数的平移模型，形式为（其中且，为非零常数；常见特殊形式为） 以为例，计算： 该函数是对数函数（定义域为对应对数函数的定义域特征）经过纵向平移得到的，核心是将对数函数的基本关系式进行了平移调整（加2） 53．【多选题】（2024·山东·模拟预测）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则（    ） A． B．为偶函数 C． D．若，则x的取值范围为 54．【多选题】（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数是上的奇函数，且过点，对于一切正实数，都有． 当时，恒成立，则（    ） A． B．在上是单调函数 C．有三个零点 D．当时， 33 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $