高中数学单元测试——第四章对数运算与对数函数（适中版02）

**基本信息** 高中数学第四章对数运算与对数函数单元复习卷，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，结合科技情境（如智能机器人训练），考查对数运算、函数性质及应用，适配单元复习需求，体现数学思维与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/30|对数运算、定义域、值域、比较大小|基础概念辨析，如第3题定义域考查抽象能力| |多选题|2/12|单调性、对称性、函数图象交点|多角度性质判断，如第7题综合考查定义域与对称性| |填空题|2/10|定点坐标、恒成立问题|简洁考查核心技能，如第10题不等式恒成立体现推理意识| |解答题|3/48|对数式化简、函数解析式、方程无解与最值|分层综合应用，如第13题三问递进，结合对称性与最值，培养数学语言表达|

高中数学单元测试 —— 第四章 对数运算与对数函数（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若，则有（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）设，则的大小关系满足（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）某科技企业采用大模型训练一款智能协作机器人，该机器人完成单次精密装配任务所需时间（单位：秒）与训练迭代次数的关系式为.定义“边际时间缩短量”为，当时，继续训练节省的工时收益将低于算力成本，应停止训练.已知，则达到停止训练条件的迭代次数至少为（    ） A．22 B．24 C．26 D．28 6．（本题5分）若函数的值域为，且在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（本题6分）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．在定义域内单调递减 C．的最大值为 D．的图象关于直线对称 8．（本题6分）已知直线分别与函数和的图象交于，，则下列说法正确的是(    ) A． B． C． D． 三、填空题 9．（本题5分）函数且的图象所过定点的坐标为__________. 10．（本题5分）若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是____________ 四、解答题 11．（本题14分）（1）已知，，用a，b表示． （2）求值． 12．（本题16分）已知函数的图象过原点，且． (1)求实数、的值； (2)求不等式的解集； 13．（本题18分）已知函数的图象关于轴对称． (1)求的值． (2)若关于的方程无实数解，求实数的取值范围． (3)若函数，，则是否存在实数，使得的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第四章 对数运算与对数函数（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数式与对数式的互化直接判断即可. 【详解】当时，由及对数定义得. 故选：A 2．（本题5分）函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断函数的单调性，求出端点处的函数值，即可求出函数的值域. 【详解】函数在定义域上单调递减， 当时，，即，且当时， 所以函数，的值域是. 故选：A 3．（本题5分）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据真数大于零求解定义域即可． 【详解】对于函数，需满足， 即，解得或， 所以函数的定义域为． 故选：C． 4．（本题5分）设，则的大小关系满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性确定的范围，由此比较的大小即可. 【详解】因为函数为增函数，且， 所以，故， 因为函数为减函数，且， 所以，故， 因为函数为增函数，且， 所以，故，故. 故选：D. 5．（本题5分）某科技企业采用大模型训练一款智能协作机器人，该机器人完成单次精密装配任务所需时间（单位：秒）与训练迭代次数的关系式为.定义“边际时间缩短量”为，当时，继续训练节省的工时收益将低于算力成本，应停止训练.已知，则达到停止训练条件的迭代次数至少为（    ） A．22 B．24 C．26 D．28 【答案】B 【详解】由题意得， ， 则，则，得， 故达到停止训练条件的迭代次数至少为. 6．（本题5分）若函数的值域为，且在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根的分布以及复合函数单调性法则可得答案. 【详解】由函数的值域为， 得函数的值域包含， 则函数的图象与轴有交点， 即方程有实根， 所以，解得或； 由函数在上单调递增， 而函数在定义域上单调递增， 则函数在上单调递增且恒为正， ，解得； 综上，实数的取值范围是. 故选：A． 二、多选题 7．（本题6分）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．在定义域内单调递减 C．的最大值为 D．的图象关于直线对称 【答案】ACD 【分析】根据对数函数的定义域、单调性、最值、对称性定知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由解得，所以的定义域是，所以A选项正确. ， 函数在上单调递增， 函数的开口向下，对称轴为， 所以关于直线对称，D选项正确. 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，B选项错误. 当时，取得最大值为，所以C选项正确. 故选：ACD 8．（本题6分）已知直线分别与函数和的图象交于，，则下列说法正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据互为反函数的性质可得，，从而可判断A；利用基本不等式可判断B； 依题意可得，，则，即可判断C；根据，由A知，，和整理替换可判断D. 【详解】函数与互为反函数，则与的图象关于对称， 因为与垂直，由直线分别与函数和的图象交于点，也与对称，所以，， 又因为在直线 上，所以，即，故A正确； 对于B，， 因为，即等号不成立，所以，故B正确； 对于C：因为，， 所以， 所以，故C错误； 对于D，，因为，所以， 由A可知，所以， 两边同时减，得， 又因为，所以， 由题可知，所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 9．（本题5分）函数且的图象所过定点的坐标为__________. 【答案】 【分析】利用对数函数的性质可得答案. 【详解】当时，，即时，，所以函数图象所过定点的坐标为. 故答案为： 10．（本题5分）若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是____________ 【答案】 【分析】由的取值范围求出的范围，依题意利用换底公式及参变分离可得对于任意恒成立，根据对勾函数的性质求出，即可得到，再根据对数函数的性质计算可得. 【详解】解：因为不等式对于任意恒成立， 即不等式对于任意恒成立， 因为，所以， 所以不等式对于任意恒成立， 令，， 因为在上单调递减，在上单调递增，所以， 即， 所以， 所以或， 解得或，即； 故答案为： 四、解答题 11．（本题14分）（1）已知，，用a，b表示． （2）求值． 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）指对互化，带入化简；（2）利用指数对数的运算性质求解. 【详解】解：（1），，得， ； （2）原式. 【点睛】本题考查指数与对数运算性质，是基础题. 12．（本题16分）已知函数的图象过原点，且． (1)求实数、的值； (2)求不等式的解集； 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意可得出关于、的方程组，即可解出这两个未知数的值； （2）所求不等式等价于，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】（1）函数的图象过原点，①， 又②，联立①②解得. （2）由（1）可知，， 所以不等式为，即， ，解得，故原不等式的解集为. 13．（本题18分）已知函数的图象关于轴对称． (1)求的值． (2)若关于的方程无实数解，求实数的取值范围． (3)若函数，，则是否存在实数，使得的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）由题意得到，即对任意恒成立，结合对数的运算法则，即可求解； （2）由（1）根据题意转化为方程无实数解，令得到函数的图象与直线无交点，利用单调性的定义求得在上是减函数，得到，即可求解； （3）令，则，，分、和，三种情况讨论，结合函数的最小值列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：由函数的图象关于轴对称， 所以， 即对任意恒成立， 所以， 所以． （2）解：由（1），可知关于的方程无实数解， 即方程无实数解． 令则函数的图象与直线无交点． ， 任取，，且，则， 所以，所以，所以在上是减函数． 因为，所以， 所以实数的取值范围是． （3）解：由题意知，， 令，则，， 当，即时，，令，解得； 当，即时，， 令，解得（舍去）， 当，即时，， 令，解得舍去． 综上，存在，使得的最小值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $