第4章 §3 03 单元整合练3 幂函数、指数函数、对数函数的综合应用(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦对数运算与对数函数，整合幂函数、指数函数综合应用，通过恒过定点、反函数等典型例题导入，以专题练习为支架衔接函数性质与实际问题，帮助学生构建知识网络。 其亮点在于精选最新联考真题，通过不动点、类线性函数新定义等问题链设计，培养数学思维（推理、运算）与数学语言（模型观念）。如反函数不等式求解题，结合讲练与错题解析，学生提升综合应用能力，教师获得丰富教学资源，提高教学效率。

第四章 对数运算与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 专题专项练 单元整合练3　幂函数、指数函数、 对数函数的综合应用 第1讲　描述运动的基本概念 1.[2025湖南邵阳联考]若函数y=loga(3x-5)+ 的图象恒过定点P,点P在幂函数f(x)的图象上,则f(9)=  ( ) A. 　    B. 　    C.3　    D.9     C     解析　　令3x-5=1,得x=2,此时y=loga1+ = ,所以点P的坐标为(2, ), 设f(x)=xα,将点P的坐标代入,得f(2)=2α= ,则α= , 所以f(x)= = ,因此f(9)= =3. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026百师联盟联考]已知函数f(x)与g(x)= 互为反函数,则不等式 + f(x)+2>0的解集为  ( ) A.[2,3)　    B.(2,3]　    C.[2,4)　    D.(2,4]     C     解析　　由题知f(x)= x=-log2x, 则原不等式为 - log2x+2>0, 令 =t,t≥0,则log2x=t2+1, 则- t2+t+ = (-t+1)>0,得- <t<1, 又t≥0,所以0≤t<1,即0≤ <1,所以1≤log2x<2, 解得x∈[2,4). 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026湖北襄阳第四中学质量检测]已知幂函数f(x)=(m-1)2 (m∈R)在(0,+∞)上单调递减,设a= , b=log5 ,c=log54,则f(a),f(b),f(c)的大小关系为 ( ) A.f(a)<f(b)<f(c)　    B.f(c)<f(a)<f(b) C.f(a)<f(c)<f(b)　    D.f(b)<f(c)<f(a)     C     解析　　由题意得 解得m=2,则f(x)=x-4,显然该函数为偶函数, 由y=log5x在定义域上单调递增,得log5 =-log53<0<log53<log54<log55=1, 由y=3x在定义域上单调递增,得 >30=1, 故0< <log54< ,即0<|b|<c<a, 由f(x)在(0,+∞)上单调递减,得f(b)=f(|b|)>f(c)>f(a). 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026江西南昌外国语学校月考]已知函数f(x)=log3(9x+9)-x,若f(a+2)≥f(2a-1)成立,则实数a的取值范围 为 ( ) A.(-∞,3]　    B. ∪[3,+∞) C. 　    D.      D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　由题意知f(x)的定义域为R, f(x)=log3(9x+9)-x=log3(9x+9)-log33x=log3 =log3(3x+32-x), 因为f(2-x)=log3[32-x+32-(2-x)]=log3(32-x+3x)=f(x), 所以f(x)的图象关于直线x=1对称, 令g(x)=3x+32-x=3x+ ,x∈R, 任取x1,x2∈[1,+∞)且x1>x2,所以x1>x2≥1,故x1+x2>2,且 - >0, >9, 则g(x1)-g(x2)= - =( - )- =( - )- = >0,即g(x1)>g(x 2), 所以g(x)在[1,+∞)上单调递增, 又y=log3x为增函数,所以由复合函数的单调性知f(x)在[1,+∞)上单调递增, 第1讲　描述运动的基本概念 因为f(a+2)≥f(2a-1),所以|a+2-1|≥|2a-1-1|,即|a+1|≥|2a-2|,即(2a-2)2-(a+1)2≤0,整理得(a-3)(3a-1)≤0,解得  ≤a≤3, 因此实数a的取值范围是 . 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2025江西宜春樟树中学月考]已知函数y=f(x)的图象与函数y=ax(a>0且a≠1)的图象关于直线y=x对称, 记g(x)=f(x)[f(x)+f(2)-1].若y=g(x)在区间 上单调递增,则实数a的取值范围是 ( ) A.[2,+∞)　    B.(0,1)∪(1,2) C. 　     D.      D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　由题意知y=f(x)是y=ax的反函数,∴f(x)=logax, 则g(x)=f(x)[f(x)+f(2)-1]=(logax)2+(loga2-1)logax, 令t=logax,则原函数可等价为h(t)=t2+(loga2-1)t,其图象开口向上,对称轴为直线t= . 当a>1时,由x∈ 得t∈ ,此时f(x)=logax单调递增, 若y=g(x)在区间 上单调递增,则h(t)在 上单调递增, ∴ ≤loga ,即1-loga2≤-2loga2,故loga2≤-1,解得0≤a≤ ,不满足a>1,故舍去. 当0<a<1时,由x∈ 得t∈ ,此时f(x)=logax单调递减, 若y=g(x)在区间 上单调递增,则h(t)在 上单调递减, 第1讲　描述运动的基本概念 ∴ ≥loga ,即loga2≥-1,解得0<a≤ 或a>1,又0<a<1,∴0<a≤ . 综上,a的取值范围是 . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[多选题][2026江苏镇江扬中第二高级中学期末]已知函数f(x)= 下列结论正确的是  ( ) A.若f(a)=1,则a=3 B.f =2 024 C.若f(a)≥2,则a≤-1或a≥5 D.若方程f(x)=k有两个不同的实数根,则k≥      BCD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　由log2(x-1)=1得x=3,满足x>1,由 =1得x=0,满足x≤1, 所以f(a)=1有两个解a=3或a=0,故A错误; f =f =f(-log22 024)= = =2 024,故B正确; 由已知得 或 解得a≥5或a≤-1,故C正确; 作出f(x)的图象,如图,   由f(1)= ,结合图象可知,要使得方程f(x)=k有两个不同的实数根,则k≥ ,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2025江西上饶联考]已知函数f(x)= x-1+log3( +x).若不等式f(f(-4x+m·2x))+f(-32)<0对任意x∈R 恒成立,则m的取值范围是______________.     (-∞,4)     第1讲　描述运动的基本概念 解析　易知f(x)的定义域为R, 且f(-x)=- x-1+log3( -x)=- x-1+log3 =- x+1-log3( +x)=-f(x), 所以f(x)为奇函数. 因为y= x-1在[0,+∞)上单调递增,y=log3( +x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(x)在[0,+∞)上单调递增. 因为f(x)为R上的奇函数,所以f(x)在R上单调递增, 故f(f(-4x+m·2x))+f(-32)<0即为f(f(-4x+m·2x))<f(32),则f(-4x+m·2x)<32. 因为f(4)=31-1+log39=32,所以-4x+m·2x<4,即m< = +2x. 因为 +2x≥2 =4,当且仅当 =2x,即x=1时,等号成立,所以m<4,即m的取值范围是(-∞,4). 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026江西上饶弋阳第二中学阶段考试]已知幂函数f(x)=(m2-m-1)xm是R上的偶函数,将函数y=f(x)的图 象先向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度得到y=g(x)的图象. (1)求函数y=g(x)的解析式; (2)设a∈R,解关于x的不等式:g(x)≥ax-4a+3; (3)求函数y=2g(x)的值域. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为f(x)=(m2-m-1)xm是幂函数,所以m2-m-1=1,即m2-m-2=0,解得m=2或m=-1. 又f(x)是R上的偶函数,所以m=2,故f(x)=x2. y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象先向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度得到的, 所以g(x)=f(x-2)-1=(x-2)2-1,即g(x)=x2-4x+3. 所以y=g(x)的解析式为g(x)=x2-4x+3. (2)由g(x)≥ax-4a+3,得x2-4x+3≥ax-4a+3,即(x-4)(x-a)≥0. 当a>4时,不等式(x-4)(x-a)≥0的解集为{x|x≤4或x≥a}; 当a=4时,不等式(x-4)2≥0的解集为R; 当a<4时,不等式(x-4)(x-a)≥0的解集为{x|x≤a或x≥4}. 综上,当a>4时,不等式的解集为{x|x≤4或x≥a};当a=4时,不等式的解集为R;当a<4时,不等式的解集为{x| x≤a或x≥4}. 第1讲　描述运动的基本概念 (3)由(1)知g(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1≥-1, 由y=2x是R上的单调递增函数,所以2g(x)≥2-1= ,即y≥ . 所以函数y=2g(x)的值域为 . 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026河南南阳期中]对于函数y=f(x),x∈D,若存在x0∈D,使得f(x0)=x0,则称x0是f(x)的一个不动点.已知函 数f(x)=log2[a(4x+4-x)+2-x+1-2a],a≥0. (1)证明:f(x)的定义域为R; (2)若f(x)在R上仅有一个不动点,求实数a的取值范围; (3)若f(x)在区间[0,2]上有两个不动点,求实数a的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:由题意知a(4x+4-x)+2-x+1-2a>0,即a(4x-2+4-x)+2-x+1>0,整理得 +2-x+1>0, 又a≥0, ≥0,2-x+1>1, 所以 +2-x+1>0对于任意的x∈R恒成立, 故f(x)的定义域为R. (2)因为f(x)在R上仅有一个不动点,所以方程log2[a(4x+4-x)+2-x+1-2a]=x有且仅有一个解, 即a(4x+4-x)+2-x+1-2a=2x有且仅有一个解. 令t=2x(t>0),则a -t+ +1-2a=0在t∈(0,+∞)上有且仅有一个解, 整理,得 - +1=0. 令u=t- ,则au2-u+1=0. 第1讲　描述运动的基本概念 易知u(t)在(0,+∞)上单调递增,所以u∈R. 当a=0时,u=1,即t- =1,整理,得t2-t-1=0,又t>0,所以t= . 当a≠0时,方程au2-u+1=0有2个相等的解,则Δ=1-4a=0,解得a= ,此时 u2-u+1=0,所以u=2,即t- =2,整理, 得t2-2t-1=0,又t>0,所以t=1+ . 综上,a∈ . (3)由(2)知,当0≤x≤2时,1≤t≤4,则0≤u≤ , 所以方程au2-u+1=0在u∈ 上有两个不同的解. 设g(u)=au2-u+1, 第1讲　描述运动的基本概念 则 即  解得 ≤a< ,即实数a的取值范围为 . 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　利用新定义考查指数函数、对数函数的性质 10.[2025河南商丘重点中学联考]已知函数f(x)=loga(a2x-3t)(a>0且a≠1)的定义域为D. (1)当t=1时,求D; (2)将满足∀x,y∈R,总有g(x+y)+g(x-y)=2g(x)的函数g(x)称为“类线性函数”,若函数f(x)为“类线性函 数”,求实数t的值; (3)已知0<a<1,t>0,是否存在实数α,β(α<β),使得函数f(x)在区间[α,β]([α,β]⊆D)上的值域为[4α,4β]?若存在,请求出t的取值范围;若不存在,请说明理由. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)当t=1时,a2x-3t=a2x-3>0,即a2x>3= . 当0<a<1时,2x<loga3,解得x< loga3; 当a>1时,2x>loga3,解得x> loga3. 故当0<a<1时,f(x)的定义域D为 -∞, loga3 ; 当a>1时,f(x)的定义域D为  loga3,+∞ . (2)由题可知函数f(x)的定义域为R,则a2x-3t>0恒成立,可得t≤0. 根据“类线性函数”的概念可知,∀x,y∈R,总有f(x+y)+f(x-y)=2f(x), 即loga[a2(x+y)-3t]+loga[a2(x-y)-3t]=2loga(a2x-3t), 则loga{[a2(x+y)-3t][a2(x-y)-3t]}=loga(a2x-3t)2, 所以[a2(x+y)-3t][a2(x-y)-3t]= , 第1讲　描述运动的基本概念 即a4x-3t[a2(x+y)+a2(x-y)]+9t2=a4x-6ta2x+9t2, 所以t[2a2x-a2(x+y)-a2(x-y)]=0对于任意x,y∈R恒成立, 又2a2x-a2(x+y)-a2(x-y)不恒为0,所以t=0. (3)存在. 易知当0<a<1时,f(x)的定义域为 , 令m=a2x-3t,因为当0<a<1时,函数m=a2x-3t在R上单调递减,函数y=logam在(0,+∞)上单调递减, 所以f(x)在定义域 -∞, loga(3t) 上单调递增. 由题意可知  即  第1讲　描述运动的基本概念 所以α,β是方程loga(a2x-3t)=4x的两个不同的实数根, 即α,β是方程a2x-3t=a4x的两个不同的实数根. 设n=a2x,则由a2x-3t>0,t>0,知n=a2x>3t>0, 则方程n2-n+3t=0有两个不同的正实数根. 设h(n)=n2-n+3t,其图象开口向上,对称轴为直线n= , 则  解得0<t< , 故t的取值范围为 . 第1讲　描述运动的基本概念 $