第3章 01 §1 指数幂的拓展 §2 指数幂的运算性质(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦指数幂的拓展与运算性质，从整数指数幂复习导入，逐步过渡到分数指数幂、根式及运算性质，构建“概念理解—性质应用—条件求值”的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于结合实际问题（如食品保鲜时长）和创新题型（双曲函数新定义），通过数学眼光抽象数量关系，用数学思维进行运算推理，以数学语言表达模型。例如用指数函数解决保鲜温度问题，培养模型意识，教师可借分层练习提升教学效率，学生能增强知识应用能力。

第三章 指数运算与指数函数 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 §1　指数幂的拓展　§2　指数幂的运算性质 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　根式与分数指数幂 1.[2026湖南长沙一中期中]式子 + 的化简结果是 ( ) A.-2　    B.2　    C.-2 　    D.2      D     解析　     + =1+ +|1- |=1+ + -1=2 . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2025福建泉州四校期中]若a<0, = ,则m,n满足的条件不能为 ( ) A.m,n均为奇数　     B.m为偶数,n为奇数 C.m为奇数,n为偶数　     D.m,n均为偶数     C     解析　　对于A,当m,n均为奇数时,由a<0,得am<0,此时 = ,故A不符合题意; 对于B,当m为偶数,n为奇数时,由a<0,得am>0,此时 = ,故B不符合题意; 对于C,当m为奇数,n为偶数时,由a<0,得am<0,此时 无意义,故C符合题意; 对于D,当m,n均为偶数时,由a<0,得am>0,此时 = ,故D不符合题意. 易错警示　在分数指数幂化为根式时,要特别注意偶次方根的被开方数(式)必须非负. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026江西多校联考]下列等式成立的是 ( ) A. =-5　    B. =53 C. = 　    D. =      C     解析　　对于A, =|-5|=5,故A错误; 对于B, =56-2=54,故B错误; 对于C, = = ,故C正确; 对于D, = =52=25,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[多选题][2026河南名校联考]下列等式中正确的是( ) A.- = 　    B. =x C. = (x>0)　    D.[  = (x>0)     ACD     解析　　对于A,- =- = ,A正确; 对于B,当x=-1时, =1≠-1,B不正确; 对于C,当x>0时, = = ,C正确; 对于D,当x>0时,[  = = ,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　指数幂的运算性质及其应用 5.[2026辽宁重点中学协作校期末]若a>0,则下列运算中正确的是 ( ) A.  =a　    B.a÷ =  C.  =0　    D.( )4=a     D     解析　      = = ≠a,故A错误; 对于B,a÷ = = ≠ ,故B错误; 对于C,  = =a0=1,故C错误; 对于D, = =a,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026江苏常州期中联考]化简: · = ( ) A. 　    B. 　    C. 　    D.      C     解析　     · = · = · = · = · = = . 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026江西多校期中]某食品的保鲜时长y(单位:h)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系式y=eax+b(e为常 数),当x=0时,y=128,当x=30时,y=8.要保证该食品的保鲜时长不低于32 h,则储藏温度不高于 ( ) A.20 ℃　    B.15 ℃　    C.10 ℃　    D.6 ℃     B     解析　　由题可知 则 故a<0, 设储藏温度为t ℃时,该食品的保鲜时长为32 h, 则eat+b=eat·eb=32,则eat= =(e30a =e15a,则t=15,故要保证该食品的保鲜时长不低于32 h,则储藏温度不高于15 ℃. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026江西南昌第一中学期中] (1)化简: + + (0<a<b)=_____; (2)计算: +0.1-2+ -3π0=_____. (1)      (2)100 解析    (1)原式= +(b-a)+(a-b)= =(ab =(ab =  . (2)原式= +100+ -3= +100+ -3=100. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　指数幂的条件求值问题 9.[2026江西南昌新民外语学校月考]已知2a=15,8b=3,则2a-3b= ( ) A.25　    B.5　    C. 　    D.      B     解析　　由8b=23b=3,得2a-3b= = =5. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2025河南驻马店期中]已知a,b∈R,2a-b=3,则 = ( ) A.27　    B.9　    C.3　    D.      A     解析　　因为2a-b=3,所以 = = =32a-b=33=27. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026福建三校联考]已知x2+x-2=9,则 的值是 ( ) A. 　    B.- 　    C.± 　    D.±      C     解析　　由x2+x-2=9,得x2-2+x-2=7,即(x-x-1)2=7,因此x-x-1=± , 所以 = =x-x-1=± . 第1讲　描述运动的基本概念 12.[教材习题改编](1)计算: - - + +0.02 - ; (2)已知 + =3,a>0,求下列各式的值: ①a+a-1;② + . 解析    (1)原式=(23 -(-7)2-1+|3-π|+ -(44 =4-49-1+π-3+ -4=- +π. (2)①因为 + =3,所以( + )2=9,即a+a-1+2=9,所以a+a-1=7. ② = + +2=3+2=5, 又 + >0,所以 + = . 解题模板　在条件求值问题中,可将待求式根据条件进行适当变形,然后整体代入求值. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 §1　指数幂的拓展　§2　指数幂的运算性质 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　指数幂的运算性质及其应用 1.[2026重庆八中月考]我国某电子企业通过技术创新,于某月成功推出了首款5纳米芯片,并且随着技术 的进步,以后每个月都会对其改进型号.已知三年内该芯片的晶体管数目N与以后第t个月的关系满足N= n0·at,单个晶体管的价格Y与t的关系为Y=m0·bt(t=0对应首款该芯片的晶体管数目与单个晶体管的初始价 格),每18个月芯片的晶体管数目会变为之前的2倍,每12个月单个晶体管的价格会变成原来的一半,若芯 片的价格为晶体管数目与单个晶体管价格之积,则第6个月推出的改进型号芯片的价格与首款芯片价 格的比值为 ( ) A. 　    B. 　    C. 　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　首款芯片的晶体管数目N0=n0·a0,由题意得2N0=n0·a18,所以a18=2,即a= , 单个晶体管的初始价格Y0=m0·b0,由题意得 Y0=m0·b12,所以b12= ,即b= . 设首款芯片的价格为W0,则W0=N0·Y0=n0·a0·m0·b0=n0m0, 则第6个月推出的改进型号芯片的价格W=N6·Y6=n0·a6·m0·b6, 则 = = × = = = . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江苏苏州联考]已知函数f(x)= ,则f +f +f +…+f = ( ) A.1 012　    B. 　    C.1 013　    D.2 025     B     解析　　由f(x)= ,得f(x)+f(1-x)= + = + =1(解题关键), 所以f +f +f +…+f = f +f  + f +f  +…+ f  +f  +f =1×1 012+f =1 012+ = . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026河南安阳一中月考]化简 ÷ ÷ (a>0)的结果为_________.     1     解析　原式= ÷ ÷ = ÷ ÷ = ÷ ÷ = ÷ ÷ = =a0=1. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　指数幂的条件求值问题 4.[2025江苏连云港灌南期中]设a>0,a≠1,已知m=ax,n=ay,mynx= (z≠0),则xyz的值为 ( ) A.0　    B.1　    C.2　    D.4     C     解析　　∵m=ax,n=ay,∴my= =axy,nx= =axy,故mynx=axy·axy=a2xy= ,∴2xy= ,解得xyz=2. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[多选题][2026百师联盟阶段检测]已知 + =3,下列各式正确的是 ( ) A. - =± 　    B. + =7 C. + = 　    D. + =24     ABC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　设t= (t>0),则 = , 由题意得t+ =3. 对于A,因为 - = -t,且 = -4=9-4=5,所以 -t=± ,即 - =± ,故A正确; 对于B, + =t2+ = -2=7,故B正确; 对于C,易知 + = + >0,由 =t+ +2=5,得 + = + = ,故C正确; 对于D, + =t3+ =  =   -3 =3×6=18,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[多选题][2026安徽多校联考]已知m,n是关于x的方程16x-2b·4x+b2-9=0的两个不相等的根,若m+n=2,则  ( ) A.b=5或b=-5　    B.4mn=3 C.|m-n|= 　    D.2m+2n=3      BD     思路点拨 设t=4x→将关于x的指数方程转化为关于t的一元二次方程→利用根与系数的关系求解. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　令t=4x,则t>0,由题意得关于t的方程t2-2bt+b2-9=0有两个不相等的正根,设为t1,t2, 所以 解得b>3. 因为m+n=2,所以4m·4n=4m+n=16,则t1t2=4m·4n=b2-9=16,解得b=5或b=-5(舍去),故A错误; 由A知b=5,则t1+t2=4m+4n=2b=10, 又m+n=2,所以4m+42-m=10,解得4m=2或4m=8,即m= 或m= ,当m= 时,n= ,当m= 时,n= ,故mn= ,则4mn= 3,故B正确; 由B知|m-n|=1,故C错误; 由B知2m+2n= + = +2 =3 ,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026湖北百强名校联考]已知 = (a>0,且a≠1),则a2x=___________.      或2     解析　因为a3x+a-3x=(ax+a-x)(a2x-ax·a-x+a-2x)=(ax+a-x)(a2x-1+a-2x), 所以 = = ,所以a2x-1+a-2x= , 设t=a2x(t>0),则a2x-1+a-2x= 可化为t-1+ = ,即2t2-5t+2=0,解得t= 或t=2,所以a2x= 或a2x=2. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026山东青岛期中] (1)已知x+x-1=6,求 的值; (2)对于正整数a,b,c(a≤b≤c)和非零实数x,y,z,w,若ax=by=cz=70w≠1, = + + ,求a-b+c的值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)易知 + >0,且 =x+2+x-1=8,所以 + =2 , 由x+x-1=6,得 =x2+2+x-2=36,所以x2+x-2=34,则 = = . (2)因为ax=70w,x≠0,w≠0, 所以 =7 . 同理可得 = , = , 所以 · · = · · , 即(abc =7 . 又 + + = , 所以abc=70=2×5×7, 第1讲　描述运动的基本概念 又a,b,c为正整数,且ax=by=cz≠1,x,y,z≠0, 所以a,b,c均不为1, 又因为a≤b≤c,所以a=2,b=5,c=7, 所以a-b+c=4. 解题技法    对于较为复杂的条件求值问题,需要认真分析已知式和所求式的结构特征,通过变形并结合 指数幂的运算性质把它们联系起来,然后用“整体代入”或“先求值后代换”的方法求值. 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　从新定义的角度考查指数运算 9.[多选题]双曲函数在数学、物理中都有广泛的应用,定义双曲正弦函数为sinh x= ,双曲余弦函 数为cosh x= (其中e为常数,且e=2.718…),则 ( ) A.cosh2x+sinh2x=1 B.cosh2x-sinh2x=1 C.sinh(2x)=2sinh xcosh x D.cosh(2x)=sinh2x+cosh2x     BCD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　因为sinh x= ,cosh x= ,所以cosh2x+sinh2x= + = +  = =cosh(2x),不恒为1,故A错误,D正确; cosh2x-sinh2x= - = - =1,故B正确; sinh(2x)= = =2sinh xcosh x,故C正确. 第1讲　描述运动的基本概念 $