第2章 01 §3 函数的单调性和最值(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦函数的单调性和最值，从函数图像辨析入手，通过实例衔接函数概念，构建从单调性概念理解到判断证明、再到应用及最值求解的学习支架。 其亮点在于以例题解析为核心，结合图像分析、定义证明和分类讨论，培养数学思维与推理意识。易错警示和方法总结助学生深化理解，教师可利用丰富题型提升教学效率，学生能在实践中发展逻辑推理与问题解决能力。

第二章 函数 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 §3　函数的单调性和最值 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　函数单调性的概念 1.已知四个函数的图象如图所示,其中在定义域内单调的函数是 ( )       B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　对于A,函数分别在(-∞,1)及[1,+∞)上单调递增,但存在x1∈(0,1),使f(x1)>f(1),故A不符合 题意; 对于C,函数分别在(-∞,1)及(1,+∞)上单调递增,但存在x1>1,使f(x1)<f(1),故C不符合题意; 对于D,函数分别在(-∞,0)及(0,+∞)上单调递减,但存在x1=-1,x2=1,使f(x1)<f(x2),故D不符合题意; 只有B符合增函数的定义,具有单调性. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026北京房山月考]已知f(x)是定义在[0,2]上的函数,则“∀x∈(0,2],f(x)>f(0)都成立”是“f(x)在 [0,2]上单调递增”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件     B     解析　　若f(x)在[0,2]上单调递增,则∀x∈(0,2],f(x)>f(0),必要性成立; 若∀x∈(0,2],f(x)>f(0)都成立,则f(x)不一定在[0,2]上单调递增,例如f(x)= 满足∀x∈(0,2],f(x)>f (0),但f(x)不单调递增,充分性不成立. 因此“∀x∈(0,2],f(x)>f(0)都成立”是“f(x)在[0,2]上单调递增”的必要不充分条件. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[多选题][2025广东佛山H7联盟联考]已知函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线,f(x)的定义域为 [a,b],∀x1,x2∈[a,b],且x1<x2,下列可判断f(x)为单调函数的是 ( ) A. f(x1)>f(x2) B.x1 f(x2)+x2 f(x1)<x1 f(x1)+x2 f(x2) C.  >1 D. f(x)=min{f(a),f(b)}     ABC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　对于A,∀x1,x2∈[a,b],且x1<x2,由f(x1)>f(x2),知f(x)为减函数,A正确; 对于B,由x1 f(x2)+x2 f(x1)<x1 f(x1)+x2 f(x2),得(x1-x2)·[f(x2)-f(x1)]<0, 因为x1<x2,所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),所以f(x)为增函数,B正确; 对于C,由x1<x2得x2-x1>0,又 >1>0,故f(x1)<f(x2),所以f(x)为增函数,C正确; 对于D,易得f(x)=f(a)或f(x)=f(b),故f(x)不是单调函数,D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　函数单调性的判断与证明 4.[2026广东潮州阶段检测]已知函数y=f(x)的定义域为[-1,5],其图象如图所示,则下列说法中错误的是  ( )   A.f(x)的单调递减区间为(0,2) B.f(x)的最大值为3 C.f(x)的最小值为-1 D.f(x)的单调递增区间为(-1,0)∪(2,5)     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　    f(x)的单调递减区间为(0,2),A中说法正确;f(x)max=f(0)=3,B中说法正确;f(x)min=f(2)=-1,C中说法正 确;f(x)的单调递增区间为(-1,0)和(2,5),不能用“∪”连接,D中说法错误. 易错警示　若函数的单调递增区间(或单调递减区间)有多个,不能用“∪”连接,应用“和”“与” “、”连接. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2025山东淄博期中]下列四个函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是 ( ) A. f(x)=3-x　    B. f(x)=x2-3x C. f(x)=-|x|　    D. f(x)=-      D     解析　　对于A,f(x)=3-x为R上的减函数,A错误; 对于B,f(x)=x2-3x的图象开口向上,对称轴为直线x= ,所以f(x)在 上单调递减,在 上单调递增, B错误; 对于C,当x∈(0,+∞)时,f(x)=-|x|=-x,此时f(x)单调递减,C错误; 对于D, f(x)=- 的单调递增区间为(-1,+∞)和(-∞,-1),所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026江西南昌第二中学期中]已知函数f(x)=|-x2+2x+3|,下列结论正确的是 ( ) A.f(x)的单调递减区间为(-∞,-1)∪(1,3) B.f(x)在(-1,1)上单调递减 C.f(x)在(0,1)上单调递增 D.f(x)的单调递增区间是(-1,3)     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　    f(x)=|-x2+2x+3|=|-(x-1)2+4|,利用图象变换作出f(x)的图象(将y=-(x-1)2+4的图象在x轴下方的部分 翻折到x轴上方),如图所示,   故f(x)在(-∞,-1)和(1,3)上单调递减,在(-1,1)和(3,+∞)上单调递增,故A,B,D错误,C正确. 方法技巧　对于含绝对值的函数的单调性问题,一般先去掉绝对值符号,化为分段函数,再画出函数图 象,最后利用图象讨论其单调性. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026安徽师范大学附属中学期中]函数f(x)= 的单调递减区间为 ( ) A.[1,2]　     B.[2,3] C.(-∞,2]　    D.[2,+∞)     B     解析　　由-x2+4x-3≥0得1≤x≤3, 所以f(x)的定义域为[1,3], 函数y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1的图象开口向下,对称轴为直线x=2,所以f(x)在[1,2]上单调递增,在[2,3]上单调 递减, 由y= 在[1,3]上单调递增,结合复合函数单调性“同增异减”的原则知f(x)的单调递减区间为[2,3]. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026湖南长沙期中]已知函数f(x)= 的图象经过(-1,-2), 两点. (1)求函数f(x)的解析式; (2)判断函数f(x)在(0,1)上的单调性并用定义进行证明; (3)若f(x)≤m对任意x∈ 恒成立,求实数m的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)∵f(-1)=-2,f  = , ∴ 解得  ∴f(x)=x+ (x≠0). (2)f(x)在(0,1)上单调递减,证明如下: 任取x1,x2∈(0,1),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)= - =(x1-x2)· , ∵x1,x2∈(0,1),且x1<x2,∴x1-x2<0,0<x1x2<1,∴x1x2-1<0,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 第1讲　描述运动的基本概念 ∴函数f(x)在(0,1)上单调递减. (3)由题意得m≥f(x)max在 上恒成立, 由(2)知f(x)在(0,1)上单调递减, ∴函数f(x)在 上的最大值为f = , ∴m≥ , 故实数m的取值范围为 m m≥  . 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　函数单调性的应用 9.[2026江西赣州石城中学期中]已知函数f(x)是定义在(0,1)上的减函数,则满足f(2x-1)<f 的x的取 值范围是 ( ) A. 　    B.  C. 　    D.      A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　因为函数f(x)是定义在(0,1)上的减函数,且f(2x-1)<f , 所以 解得 <x<1,即x的取值范围为 . 易错警示　由函数的单调性解不等式时,要注意考虑定义域以及单调区间为定义域的子区间这两点. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026重庆渝东九校联盟期中]已知函数f(x)的定义域为R,对任意的x1,x2且x1≠x2,都有[f(x1)-f(x2)] (x1-x2)>0成立.若不等式f(x2-2x)≥f(a)在[0,3]上恒成立,则实数a的最大值是 ( ) A.-1　    B.0　    C.1　    D.3     A     解析　　不妨设x1<x2,则x1-x2<0, ∵[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), ∴f(x)在R上单调递增, 则x2-2x≥a在[0,3]上恒成立, x2-2x=(x-1)2-1≥-1,当x=1时等号成立,所以a≤-1. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[教材习题改编][易错题]已知函数f(x)= 满足:对任意的x1,x2∈R,当x1≠x2时,都有  >0成立,则实数a的取值范围是 ( ) A. 　    B. -2,  　     C.[-2,+∞)　    D. -∞,       A     解析　　由题意可知,对任意的x1,x2∈R,当x2>x1时, f(x1)>f(x2),所以f(x)在R上单调递减. 当x<1时,由y=(2a-1)x+4a单调递减,知2a-1<0,得a< ; 当x≥1时,由y=-x2-ax+1单调递减,知- ≤1,得a≥-2. 在分界点x=1处,需满足2a-1+4a≥-1-a+1(易错点),得a≥ ,故a的取值范围为 ≤a< . 第1讲　描述运动的基本概念 易错警示　由分段函数的单调性确定参数的值时,不仅要利用每段函数的单调性列出不等式,还要根据 在分界点处的函数值的大小关系列出不等式. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2026江西宜春樟树中学第一次诊断测试]已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x),且∀x1,x2∈(- ∞,2](x1≠x2),都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,则f(0),f(3),f(π)的大小关系是( ) A.f(0)<f(3)<f(π) B.f(3)<f(π)<f(0) C.f(0)<f(π)<f(3) D.f(π)<f(3)<f(0)     B     解析　    f(x)满足f(x+2)=f(2-x),则f(x)的图象关于直线x=2对称(关键点), 由∀x1,x2∈(-∞,2](x1≠x2),都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,得f(x)在(-∞,2]上单调递减,结合f(x)图象的对称性 知f(x)在(2,+∞)上单调递增, 因为2<3<π<4,所以f(3)<f(π)<f(4), 又f(4)=f(0),所以f(3)<f(π)<f(0). 二级结论　若f(a+x)=f(a-x),则f(x)的图象关于直线x=a对称. 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2025江西南昌部分中学期中]已知函数f(x)是定义在[0,+∞)上的单调函数,且对于任意的x∈[0,+∞), 都有f(f(x)- )=2,则f(16)=_________.     5     解析　设t=f(x)- ,则f(x)=t+ , f(t)=2, 又函数f(x)是定义在[0,+∞)上的单调函数,所以t+ =2,所以t=1, 所以f(x)=1+ ,则f(16)=1+4=5. 第1讲　描述运动的基本概念 题组四　函数的最值及其应用 14.[教材习题改编]已知函数f(x)= ,则f(x)在区间[1,3]上的最大值、最小值分别为 ( ) A.1, 　    B. , 　    C.1, 　    D. ,      B     解析　    f(x)= = =x+1+ -2, 令t=x+1(1≤x≤3),则t∈[2,4],令g(t)=t+ -2, 由对勾函数的性质得,g(t)在[2,4]上单调递增, 故当t=2,即x=1时,f(x)取得最小值,为 ,当t=4,即x=3时,f(x)取得最大值,为 . 第1讲　描述运动的基本概念 15.[2026北京第八中学期中]已知函数f(x)= 若函数f(x)存在最小值,则实数k的取值范围 为 ( ) A.(-2,1)　     B.[-2,1] C.(-∞,-2)∪(1,+∞)　    D.(-∞,-2]∪[1,+∞)     B     解析　　当x<0时,f(x)=-x-k2+1,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,则f(x)>-k2+1; 当x≥0时,f(x)=x2-2x+k=(x-1)2+k-1,所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以f(x)≥f(1)=k-1. 要使函数f(x)存在最小值,则k-1≤-k2+1,解得-2≤k≤1, 即实数k的取值范围为[-2,1]. 第1讲　描述运动的基本概念 16.[2026河南安阳第一中学阶段考试]设f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且∀x>0,f =1, 则函数f(x)在区间[2,3]上的值域为 ( ) A.[-2,-1]　    B.[-2,1]　     C.[-1,2]　    D.[-1,3]     B     解析　　依题意知存在唯一的常数t>0,使得f(t)=1,且∀x>0,f(x)+2x- =t恒成立. 令x=t,则1+2t- =t,即t2+t-6=0,结合t>0,得t=2, 故f(x)=2-2x+ (x>0), 因为y=2-2x,y= 均在(0,+∞)上单调递减,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减, 又f(2)=1,f(3)=-2,所以f(x)在区间[2,3]上的值域为[-2,1]. 第1讲　描述运动的基本概念 17.[2025江西南昌进贤二中期中]已知函数f(x)=ax2-2ax+1+b(a>0). (1)若a=b=1,求f(x)在[t,t+2]上的最小值; (2)若函数f(x)在区间[2,4]上的最大值为27,最小值为3,求实数a,b的值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)当a=b=1时, f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[t,t+2], 当t+2≤1,即t≤-1时,f(x)在[t,t+2]上单调递减,f(x)min=f(t+2)=t2+2t+2; 当t≥1时,f(x)在[t,t+2]上单调递增,f(x)min=f(t)=t2-2t+2; 当-1<t<1时,f(x)在[t,1)上单调递减,在(1,t+2]上单调递增,f(x)min=f(1)=1. 设f(x)在[t,t+2]上的最小值为g(t), 则g(t)=  (2)由a>0知f(x)的图象开口向上,易知其对称轴为直线x=1∉[2,4],故f(x)在[2,4]上单调递增, 当x=2时,f(x)取得最小值,为b+1,当x=4时,f(x)取得最大值,为8a+1+b, 则 解得  第1讲　描述运动的基本概念 方法总结　对于含参二次函数的最值问题,若轴定区间动,则对区间分类讨论;若轴动区间定,则对轴分 类讨论,即谁动对谁讨论. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 §3　函数的单调性和最值 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　函数单调性的判断与证明 1. [多选题][2025江西多校阶段测试]下列说法中正确的是 ( ) A.y=9+12x-4x2在(3,+∞)上单调递减 B.y= 在(-∞,1)∪(1,+∞)上是增函数 C.y= 在(-∞,1]上单调递增 D.已知f(x)是定义在R上的减函数,若a>b,则f(a)+f(-b)<f(-a)+f(b)     AD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　函数y=9+12x-4x2的图象开口向下,对称轴为直线x= ,故该函数在(3,+∞)上单调递减,故A正确; 函数y= =- 在(-∞,1),(1,+∞)上均单调递增,但在(-∞,1)∪(1,+∞)上不单调递增,例如,取x=0和x=2, 0<2,但当x=0时,y=1,当x=2时,y=-1,且1>-1,故B错误; 要使y= 有意义,则-x2+2x+8≥0,解得-2≤x≤4,即函数的定义域为[-2,4],而(-∞,1]⊈[-2,4], 故C错误; 因为f(x)是定义在R上的减函数,a>b,所以f(a)<f(b),且-b>-a,所以f(-b)<f(-a),所以f(a)+f(-b)<f(b)+f(-a),故D 正确. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2026河北保定调研测试]若定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足:∀x1,x2∈(0,+∞),当x1≠x2时,恒有  >0,则称f(x)为“理想函数”.下列函数中是“理想函数”的是( ) A. f(x)=1　    B. f(x)=x2+2　     C. f(x)=x3-x　    D. f(x)=x4     CD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　不妨设x1>x2>0,由 >0,可得x2 f(x1)-x1 f(x2)>0,∴ > ,∵此不等式对任意的 x1>x2>0都成立,∴函数y= 在(0,+∞)上单调递增. 对于A,y= = ,易知函数y= 在(0,+∞)上单调递减,所以A不符合题意; 对于B,y= =x+ ,易知函数y=x+ 在(0, )上单调递减,在( ,+∞)上单调递增,所以B不符合题意; 对于C,y= =x2-1,易知函数y=x2-1在(0,+∞)上单调递增,所以C符合题意; 对于D,y= =x3,易知函数y=x3在(0,+∞)上单调递增,所以D符合题意. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[易错题][2026湖南娄底期中]已知函数f(3x-2)在R上单调递减,则f( )的单调递增区间是( ) A. 　    B.(-∞,0) C.(0,+∞)　    D.      A 第1讲　描述运动的基本概念 解析　　令u=3x-2,则y=u在R上单调递增,f(u)在R上单调递减, 对于f( ),令2x2-1≥0,解得x∈ ∪ (易错点), 令t= ,当x∈ 时,t= 单调递减; 当x∈ 时,t= 单调递增, 因为f(u)在R上单调递减, 所以f( )的单调递增区间对应t= 的单调递减区间, 所以f( )的单调递增区间是 . 易错警示　求复合函数的单调区间时,应先求出函数的定义域,再在定义域内讨论其单调性,避免因忽 视定义域而解题错误. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　函数单调性的应用 4.[2026安徽六安阶段检测]已知定义在R上的函数f(x)满足f(5+x)=f(5-x),且∀x1,x2∈(5,+∞),x1≠x2,(x1-x2)[f (x1)-f(x2)]<0恒成立,则 ( ) A. f(5.5)>f(4.5)　    B. f(2.7)>f(3.2) C. f(7.3)>f(7.9)　    D. f(2.7)>f(5.2)     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　因为f(5+x)=f(5-x),所以f(x)的图象关于直线x=5对称, 由题意可知f(x)在(5,+∞)上单调递减,所以f(x)在(-∞,5)上单调递增, 所以f(5.5)=f(5+0.5)=f(5-0.5)=f(4.5),故A错误; 因为2.7<3.2<5,所以f(2.7)<f(3.2),故B错误; 因为5<7.3<7.9,所以f(7.3)>f(7.9),故C正确; 因为f(2.7)=f(5-2.3)=f(5+2.3)=f(7.3),且5<5.2<7.3,所以f(2.7)=f(7.3)<f(5.2),故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026江西南昌科技学院附属中学期中]已知函数y=f(x)(x∈N+,y∈N+)是增函数,且满足f(1)=2,f(f(x))= 3x,则f(4)的值为 ( ) A.7　    B.8　    C.9　    D.12     A     解析　　因为f(1)=2,f(f(x))=3x, 所以f(f(1))=3,故f(2)=3, 则f(f(2))=6,故f(3)=6,则f(f(3))=9,故f(6)=9, 因为y=f(x)(x∈N+,y∈N+)是增函数,所以f(3)=6<f(4)<f(5)<f(6)=9, 所以f(4)=7,f(5)=8. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026河南九师联盟期中]已知定义在R上的函数f(x)满足∀x1,x2∈R,x1≠x2,都有 >2,若f(1)=2 026,则不等式f(x-2 025)>2(x-1 013)的解集为 ( ) A.(2 024,+∞)　    B.(2 013,+∞) C.(2 026,+∞)　    D.(2 012,+∞)     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　由 >2,得  >0, 令g(x)=f(x)-2x(关键点), 则 >0, 因此函数g(x)在R上单调递增, 由f(1)=2 026,得g(1)=2 024, 由f(x-2 025)>2(x-1 013),得f(x-2 025)-2(x-2 025)>2 024, 即g(x-2 025)>g(1),则x-2 025>1,解得x>2 026, 所以原不等式的解集为(2 026,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 方法技巧　本题所用方法为同构法,若已知条件中出现x1,x2,f(x1),f(x2)的关系式,往往适当变形,将x1与f(x1) 配凑在一起,x2与f(x2)配凑在一起,从而构造新的函数g(x),将该关系式转化为g(x1)与g(x2)的关系式,再借助 g(x)的单调性求解. 第1讲　描述运动的基本概念 7. [多选题][2025江西多校阶段测试]已知f(x)是定义域为(0,+∞)的单调函数,且对于任意x>0,均有 f  =2,则 ( ) A. f(x)=f  　    B. f(x)>1 C. f(x)≥3-x　     D. f(x2+1)≥f(2x)     BC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　因为f(x)是单调函数,且对于任意x>0,均有f =2,所以f -x是一个常数,设该常数为n, 用t替换 ,得f(t)- =n,则f(n)=2,f(t)= +n,故f(n)= +n=2,所以n=1,所以f(x)=1+ . f =1+x,故A错误; 因为x∈(0,+∞),所以 >0,即1+ >1⇒f(x)>1,故B正确; 易知x>0时,x+ ≥2,当且仅当x=1时取等号,则1+ ≥3-x(x>0),即f(x)≥3-x,故C正确; 当x∈(0,+∞)时,x2+1≥2x,易知f(x)=1+ 在(0,+∞)上单调递减,所以f(x2+1)≤f(2x),故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026江西部分学校期中联考]已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),对任意的正数x1,x2,都有f(x1x2)=f(x1)+f(x 2),且当0<x<1时,f(x)>0. (1)求f(2)+f 的值; (2)判断f(x)的单调性并用定义证明; (3)求不等式f(2x-1)+f(x)>0的解集. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),得f(1)=0, 所以f(2)+f =f =f(1)=0. (2)f(x)在(0,+∞)上单调递减,证明如下: 任取x3,x4∈(0,+∞),且x3>x4,则f(x4)-f(x3)=f  ·x3 -f(x3)=f +f(x3)-f(x3)=f , 关键点:将x4拆分成x3·   因为0< <1,所以f >0,故f(x4)-f(x3)>0,所以f(x4)>f(x3), 所以f(x)在(0,+∞)上单调递减. (3)因为f(x1x2)=f(x1)+f(x2),且f(1)=0, 所以f(2x-1)+f(x)>0可化为f(2x2-x)>f(1), 由(2)知f(x)在(0,+∞)上单调递减, 第1讲　描述运动的基本概念 则 解得 即 <x<1. 故不等式的解集为 . 第1讲　描述运动的基本概念 规律总结    (1)对于形如f(x)+f(y)=f(xy)的抽象函数,判断其单调性时,往往这样拆分:f(x1)=f 或f(x2)= f  . (2)对于形如f(x)+f(y)=f(x+y)+k的抽象函数,判断其单调性时,往往这样拆分:f(x1)=f(x1-x2+x2)或f(x2)=f(x2-x1+ x1). 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　函数的最值及其应用 9.[2025江西抚州南城一中月考]已知函数f(x)= (a∈R),若对于任意的x∈N+,f(x)≥3恒成立,则a 的取值范围是 ( ) A. 　     B.  C.[3-4 ,+∞)　    D.[-3,+∞)     A     解析　　对于任意的x∈N+,f(x)≥3即 ≥3,即a≥- +3,设g(x)=x+ ,x∈N+,而当x>0时,结合 基本不等式可知函数g(x)在(0,2 )上单调递减,在(2 ,+∞)上单调递增,又g(2)=6,g(3)= ,g(2)>g(3),所 以g(x)min= ,则- +3≤- ,则a≥- ,所以a的取值范围是 . 第1讲　描述运动的基本概念 10.[多选题][2026山东省实验中学模拟]已知函数f(x)= ,下列判断正确的是 ( ) A.若f(x)=2,则x=14 B. f(x)在定义域内是减函数 C.若x∈[2,8],则f(x)的值域是[-1,5] D.若x∈N,则f(x)既有最小值又有最大值     AD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　对于A,令 =2,解得x=14,故A正确; 对于B,f(x)= =1+ ,其定义域为(-∞,6)∪(6,+∞), 当x∈(-∞,6)时,f(x)单调递减,且f(x)<1,当x∈(6,+∞)时,f(x)单调递减,且f(x)>1,故f(x)在(-∞,6)∪(6,+∞)上 不是单调函数,故B错误; 对于C,由B知当x∈[2,6)时,f(x)单调递减,且f(x)≤f(2)=-1,当x∈(6,8]时,f(x)单调递减,且f(x)≥f(8)=5, 所以当x∈[2,6)∪(6,8]时,f(x)的值域是(-∞,-1]∪[5,+∞),当x=6时,f(x)无意义,故C错误; 由B知,当x∈N且x∈[0,6)时,f(x)单调递减,且-7=f(5)≤f(x)≤f(0)=- ,当x∈N且x∈(6,+∞)时,f(x)单调递减, 且1<f(x)≤f(7)=9, 所以若x∈N,则函数f(x)既有最小值又有最大值,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026黑龙江大庆期中]已知函数f(x)= 若f(x)在(a,b)上既有最大值,又有最小值,则b-a 的最大值为 ( ) A.1　    B.2　    C.3　    D.4     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　当x≤0时, f(x)= x2- x+1= (x-1)2+ , 则f(x)在(-∞,0]上单调递减,此时f(x)≥f(0)=1, 当x>0时, f(x)=-x2+2x+1=-(x-1)2+2, 则f(x)在(0,1)上单调递增,在[1,+∞)上单调递减,此时f(x)≤f(1)=2, 当x≤0时,由f(x)=2,得 x2- x+1=2,故x=-1, 当x>0时,由f(x)=1,得-x2+2x+1=1,故x=2, 画出函数f(x)的图象,如图,   第1讲　描述运动的基本概念 由f(x)在区间(a,b)上既有最大值,又有最小值, 得-1≤a<0,1<b≤2,因此1<b-a≤3, 则b-a的最大值为3. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2026江西吉安四所重点中学联考]设函数f(x)= 若a=0,则f(x)的值域是_______________; 若f(x)的值域是[-1,3],则实数a的取值范围是_________.     [-1,+∞)     第1讲　描述运动的基本概念 解析　当a=0时,f(x) =  当-3≤x≤0时,f(x)=x2+2x=(x+1)2-1, 此时f(x)在[-3,-1]上单调递减,在[-1,0]上单调递增, 且f(-3)=3,f(-1)=-1,f(0)=0,所以f(x)的值域为[-1,3]; 当x>0时,f(x)= 单调递减,其值域为(0,+∞). 综上,当a=0时,f(x)的值域为[-1,+∞). 作出函数y=x2+2x与y= 的图象,如图, 第1讲　描述运动的基本概念 由题知f(x)的值域是[-1,3], 当x>a时,f(x)= , 若a<0,则由图象可知f(x)= 可取得无穷小,不满足题意, 由第一空可知a=0不满足题意,故a>0,所以f(x)= ∈ ,得 ≤3,则a≥ , 当-3≤x≤a时,f(x)=x2+2x=(x+1)2-1,此时f(x)min=f(-1)=-1, 且当x2+2x=3时,解得x=-3或x=1,即f(-3)=3,f(1)=3,结合图象可知a≤1. 综上,实数a的取值范围是 . 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2025江西宜春丰城中学期中]已知函数f(x)= +a,g(x)= - ,若∀x1∈(-4,+∞),∃x2,x3 ∈(-4,+∞),使得g(x2)< f(x1)<g(x3),则a的取值范围是_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为x∈(-4,+∞),所以x+4>0, 所以f(x)= +a= +a≤ +a= +a,当且仅当x+4= ,即x=-1时,等号成立, 故∀x∈(-4,+∞),a<f(x)≤ +a. g(x)= - =- , 易知y= + 在(-4,+∞)上单调递增,则 + >2,所以-2<g(x)<0. 若∀x1∈(-4,+∞),∃x2,x3∈(-4,+∞),使得g(x2)<f(x1)<g(x3),则 解得-2≤a<- , 所以a的取值范围是 . 第1讲　描述运动的基本概念 方法总结　当f(x),g(x)存在最值时,若∀x1∈I1,∃x2∈I2,使得g(x2)<f(x1),则g(x)在I2上的最小值小于f(x)在I1 上的最小值. 第1讲　描述运动的基本概念 14.[2026江西南昌外国语学校期中]已知函数f(x)= ,且f(0)=0,f(1)= . (1)求函数f(x)的解析式; (2)若∃x∈[1,3],使得不等式|f(x)-m|≤1成立,求实数m的取值范围; (3)若∀n∈[0,1],t∈(0,+∞),不等式f(t)+nf -s≤0恒成立,求实数s的最小值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意得  解得  所以f(x)= . (2)当x∈[1,3]时,f(x)= = >0,y=x+ 在[1, )上单调递减,在( ,3]上单调递增, 当x= 时,y=2 ,当x=1或x=3时,y=4, 所以x+ ∈[2 ,4],则f(x)= ∈ . 不等式|f(x)-m|≤1,即-1≤f(x)-m≤1,则m-1≤f(x)≤m+1在[1,3]上有解, 第1讲　描述运动的基本概念 所以m-1≤ 且m+1≥ ,即 ≤m≤1+ , 故实数m的取值范围为 . (3)因为t∈(0,+∞),所以f = >0, 因为∀n∈[0,1], f(t)+nf -s≤0恒成立,所以f(t)+f -s≤0,则s≥f(t)+f , f(t)+f = + = + = = = , 设λ=t+ ,t>0,则λ≥2 =6,当且仅当t= ,即t=3时等号成立, 第1讲　描述运动的基本概念 因为 =t2+ +18,所以t2+ =λ2-18, 则f(t)+f = = = ,令φ(λ)= ,λ≥6, 因为y=λ+ 在[6,+∞)上单调递增,所以φ(λ)≤φ(6)=3,所以s≥3, 故实数s的最小值为3. 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　新定义“美好函数”,考查二次函数的最值 15.[2026江西宜春奉新第四中学月考]若函数G在m≤x≤n(m<n)上的最大值为ymax,最小值为ymin,且满足 ymax-ymin=1,则称函数G是在m≤x≤n上的“美好函数”. (1)已知函数G:y=ax2-2ax-3a(a≠0). ①若函数G是在1≤x≤2上的“美好函数”,求a的值; ②若当a=1时,函数G是在t≤x≤t+1上的“美好函数”,请直接写出t的值; (2)已知函数G:y=ax2-2ax-3a(a>0),若函数G是在m+2≤x≤2m+1(m为整数)上的“美好函数”,且存在整 数k,使得k= ,求a的值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)①函数G的图象的对称轴为直线x=- =1, 当x=1时,y=-4a,当x=2时,y=-3a. 当a>0时,若1≤x≤2,则函数G单调递增,由ymax-ymin=-3a-(-4a)=1,解得a=1; 当a<0时,若1≤x≤2,则函数G单调递减,由ymax-ymin=-4a-(-3a)=1,解得a=-1. 综上,a=1或a=-1. ②当a=1时,函数G=x2-2x-3,其图象的对称轴为直线x=1, 当x=t时,y=t2-2t-3,当x=t+1时,y=(t+1)2-2(t+1)-3=t2-4,当x=1时,y=-4. 若t>1,则由ymax-ymin=(t2-4)-(t2-2t-3)=1,解得t=1(舍去); 若 ≤t≤1,则由ymax-ymin=(t2-4)-(-4)=1,解得t=1或t=-1(舍去); 若0≤t< ,则由ymax-ymin=(t2-2t-3)-(-4)=1,解得t=0或t=2(舍去); 第1讲　描述运动的基本概念 若t<0,则由ymax-ymin=(t2-2t-3)-(t2-4)=1,解得t=0(舍去). 综上,t的值为0或1. (2)由(1)知函数G的图象的对称轴为直线x=1, 因为函数G是在m+2≤x≤2m+1上的“美好函数”,所以2m+1>m+2,所以m>1,则3<m+2≤x≤2m+1, 故当m+2≤x≤2m+1时,函数G单调递增, 即当x=2m+1时,函数G取得最大值,当x=m+2时,函数G取得最小值, 于是k= =  = =4- , 因为m,k为整数,且m>1,所以m+3=8,解得m=5, 又ymax-ymin=1,所以(121a-22a-3a)-(49a-14a-3a)=1,解得a= . 第1讲　描述运动的基本概念 $