第1章 06-高考真题练(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦集合及其运算、常用逻辑用语、基本不等式等核心考点，通过高考真题与教材习题衔接，构建从基础预备知识到高考应用的学习支架，帮助学生梳理知识脉络。 其亮点在于结合“考教衔接”“解题技法”模块，以数学思维引导推理分析，如基本不等式用反例法培养批判性思维，集合运算通过教材与高考题对比强化数学眼光。学生能提升解题能力，教师可高效开展分层教学。

第一章 预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 高考真题练 第1讲　描述运动的基本概念 考点1　集合及其运算 1.[2025全国一卷,2]已知集合U={x|x是小于9的正整数},A={1,3,5},则∁UA中元素的个数为 ( ) A.0　    B.3　    C.5　    D.8     C     解析　　由题意得U={1,2,3,4,5,6,7,8},则∁UA={2,4,6,7,8},故∁UA中有5个元素. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2025全国二卷,3]已知集合A={-4,0,1,2,8},B={x|x3=x},则A∩B= (　    ) A.{0,1,2}　    B.{1,2,8}　     C.{2,8}　     D.{0,1} D 解析　    B={x|x(x-1)(x+1)=0}={0,-1,1}(此方程有3个不等实根,注意不要漏解), 又A={-4,0,1,2,8},故A∩B={0,1}. 考场速决    A∩B,即元素既在A中,又在B中.观察选项,可将x=0代入B,满足x3=x,排除B,D;将x=2代入x3=x, 等式不成立,排除A,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2024新课标Ⅰ,1]已知集合A={x|-5<x3<5}①,B={-3,-1,0,2,3},则A∩B②= ( ) A.{-1,0}　     B.{2,3} C.{-3,-1,0}　    D.{-1,0,2} ①关键点拨　解不等式,估算范围. ②对点突破    P283疑难1     A     第1讲　描述运动的基本概念 　     考教衔接 本题以开立方根为载体考查不等式的求解和集合间的基本运算,属于基础题.本题来源于教材P9练习T 1,两题均涉及开立方根和求两集合的交集运算,但教材习题中A,B均为方程的解构成的集合,为有限集, 而高考题中集合A为无限集,需要解不等式并且对范围进行估算,加强了对学生运算求解能力的考查. 解析　集合A={x|-5<x3<5}={x|- <x< }.因为1= < < =2(估算范围时,从13=1,23=8等立方的形式 着手),所以A中包含的整数有-1,0,1. 故A∩B={-1,0}. 考场速决    因为(A∩B)⊆B,所以可以将集合B中的5个元素分别代入不等式-5<x3<5来检验,只有-1,0成 立,A正确. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2023新课标Ⅰ,1]已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0},则M∩N=( ) A.{-2,-1,0,1}　    B.{0,1,2}　     C.{-2}　     D.{2}     C     解析　　因为M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0}={x|x≤-2或x≥3},所以M∩N={-2}. 考场速决    取x=0,x=2,不满足x2-x-6≥0,排除A,B,D;再取x=-2,可知-2∈N,故C正确. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2024全国甲理,2]已知集合A={1,2,3,4,5,9},B={x| ∈A}①,则∁A(A∩B)= ( ) A.{1,4,9}　    B.{3,4,9}　     C.{1,2,3}　    D.{2,3,5} ①关键点拨　集合A中的元素平方可得集合B;对点突破    P288疑难4     D     第1讲　描述运动的基本概念  真题降维 关键信息 信息处理 B={x| ∈A} 代表元素为x,其共同特征为 ∈A,则 都是A中 的元素,将A中的各个元素均平方后可得B ∁A(A∩B) 全集为A,求A∩B在A下的补集 解析　因为A={1,2,3,4,5,9},B={x| ∈A},所以B={1,4,9,16,25,81},则A∩B={1,4,9}.故∁A(A∩B)={2,3, 5}. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2023全国甲文,1]设全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,4},N={2,5},则N∪∁UM=( ) A.{2,3,5}　     B.{1,3,4} C.{1,2,4,5}　    D.{2,3,4,5}     A     解析　　因为U={1,2,3,4,5},M={1,4},所以∁UM={2,3,5},又因为N={2,5},所以N∪(∁UM)={2,3,5}. 考场速决    N∪(∁UM)中肯定含有N的全部元素,且不含有M中的任何一个元素,可知A正确. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2023全国乙理,2]设全集U=R,集合M={x|x<1},N={x|-1<x<2},则{x|x≥2}= ( ) A.∁U(M∪N)　    B.N∪∁UM C.∁U(M∩N)　    D.M∪∁UN     A     解析　    由题意得M∪N={x|x<2},M∩N={x|-1<x<1},∁UM={x|x≥1},∁UN={x|x≤-1或x≥2},则∁U(M ∪N)={x|x≥2},A正确;∁U(M∩N)={x|x≤-1或x≥1},C错误;N∪(∁UM)={x|x>-1},B错误;M∪(∁UN)={x|x< 1或x≥2},D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 考点2　常用逻辑用语 8.[2024新课标Ⅱ,2]已知命题 p:∀x∈R,|x+1|>1;命题q:∃x>0,x3=x.则 ( ) A.p和q都是真命题　     B.¬p和q都是真命题 C.p和¬q都是真命题　    D.¬p和¬q都是真命题① ①心中有“数”　原命题与其否定的真假性相反;对点突破    P283疑难1     B     第1讲　描述运动的基本概念 考教衔接 本题考查全称量词命题、存在量词命题及其否定的真假性判断,属于基础题.本题来源于教材P23习题1 -2A组第3题,均考查了含有一个量词的命题的否定,教材习题不要求判断命题的真假,而高考题要求判 断原命题及其否定的真假,难度略大,正确掌握命题真假判断的方法是关键. 解析　由题意得¬p:∃x∈R,|x+1|≤1;¬q:∀x>0,x3≠x(命题的否定是先改变量词,再否定结论). 对于p,取x=-1,则|x+1|=0<1,故p是假命题(判断全称量词命题为假命题,只需举出一个反例), 则¬p是真命题(命题与命题的否定的真假性相反); 对于q,取x=1,则有x3=13=1=x,故q是真命题(判断存在量词命题是真命题,只需找一个例子满足条件即可), 则¬q是假命题. 综上可知,¬p和q都是真命题. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2023北京,8]若xy≠0,则“x+y=0”是“ + =-2”的 ( ) A.充分不必要条件　    B.必要不充分条件 C.充要条件　     D.既不充分也不必要条件     C     解析　　充分性:由x+y=0,得 + = + =-2,即充分性成立; 必要性:由 + = =-2,得x2+y2+2xy=(x+y)2=0,即有x+y=0,故必要性成立.故“x+y=0”是“ + =- 2”的充要条件. 第1讲　描述运动的基本概念 考点3　基本不等式 10.[2025北京,6]已知a>0,b>0,则 ( ) A.a2+b2>2ab　    B. + ≥ 　     C.a+b> 　    D. + ≤      C     解析　　对于A,取a=1,b=1,则a2+b2=2ab,故A错误; 对于B,取a= ,b= ,则 + < ,故B错误; 对于C,因为a>0,b>0,所以a+b≥2 (当且仅当a=b时等号成立)且 >0,所以2 > ,故a+b> ,故 C正确; 对于D,取a=2,b=1,则 + > ,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[多选题][2022新高考Ⅱ,12]若x,y满足x2+y2-xy=1①,则( ) A.x+y≤1　    B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2　    D.x2+y2≥1 ①心中有“数”　用基本不等式进行变形求解;对点突破    P283疑难1     BC     第1讲　描述运动的基本概念  真题降维 关键信息 信息判断 信息处理 已知x2+y2-xy=1, 求x+y的范围 xy与x+y的转换 得到(x+y)2=1+3xy,①放缩可得x+ y>1;②将xy利用不等式xy≤  转化为x+y的关系式,可 得x+y的范围 已知x2+y2-xy=1, 求x2+y2的范围 x2+y2与xy的转换 得到x2+y2=1+xy,①当xy<0时,可 得x2+y2<1;②将xy利用不等式x2+ y2≥2xy转化为关于x2+y2的式子, 可得x2+y2的最大值 第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意知x2+y2=1+xy,∴(x+y)2=1+3xy(利用转化与化归的思想,借助配方法将已知等式转化为x+y 与xy间的关系式,再借助放缩法及基本不等式确定x+y的取值范围). 当x>0,y>0时,x+y>1,∴A错误; 易知xy≤ (当且仅当x=y时等号成立),结合题意知(x+y)2=1+3xy≤1+ ,∴(x+y)2≤4, ∴-2≤x+y≤2,∴B正确; ∵x2+y2=1+xy≤1+ (当且仅当x=y时等号成立),∴x2+y2≤2(利用转化与化归的思想,通过移项分离 出x2+y2,再借助基本不等式确定x2+y2的取值范围),∴C正确; ∵x2+y2=1+xy,∴当xy<0时,x2+y2<1,∴D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 解题技法　已知xy,x+y,x2+y2这三个式子中的两个代数式的关系,求另外一个代数式的取值范围时,常利 用基本不等式“留一化一”,即通过放缩法将两个代数式间的相等关系转化为关于其中一个代数式的 不等式,再通过解不等式求得其范围,有时也可利用x2+y2的非负性列出不等式求解. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2022全国乙文,23]已知a,b,c都是正数,且 + + =1,证明: (1)abc≤ ; (2) + + ≤ . 第1讲　描述运动的基本概念 证明    (1)∵a,b,c都是正数,且 + + =1, ∴ + + ≥3 =3  · ,当且仅当a=b=c= 时,等号成立, ∴3(abc ≤1,∴(abc ≤ ,即abc≤ . (2)要证 + + ≤ , 只需证 + + ≤ , 即证 + + ≤ + + = + + , 易知b+c≥2 ,当且仅当b=c时,等号成立, ∴ ≤ ,同理, ≤ , ≤ , 第1讲　描述运动的基本概念 ∴ + + ≤ + + , 当且仅当a=b=c= 时,等号成立,故得证. 第1讲　描述运动的基本概念 考点4　一元二次不等式及应用 13.[2025全国二卷,4]不等式 ≥2的解集是(　    ) A.{x|-2≤x≤1}　    B.{x|x≤-2}　     C.{x|-2≤x<1}　    D.{x|x>1} C 解析　　由 ≥2,得 ≥0,即 ≤0,所以 解得-2≤x<1,所以原不等式的解集为 {x|-2≤x<1}. 第1讲　描述运动的基本概念 14.[北京高考,14]李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价 格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水 果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%. ①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付_____元; ②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为_____. 　 130 15 第1讲　描述运动的基本概念 解析　①x=10时,一次购买草莓和西瓜各1盒,共140元,由题可知顾客需支付140-10=130(元). ②设每笔订单的金额为m元,则由题意可知只需考虑m≥120时的情况. 根据题意得(m-x)80%≥m×70%, 所以x≤ ,而m≥120, 为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x≤ ,而 =15,所以x≤15. 所以x的最大值为15. 第1讲　描述运动的基本概念 强基计划 15.[2025北京清华大学强基计划]已知正数x,y,z满足3x2+y2+z2=1,则 的最小值为__________.     8      解析     = · ≥ · = · = ≥ =8 , 当且仅当y= , x=z= 时等号成立,所以 的最小值为8 . 第1讲　描述运动的基本概念 16.[2025北京清华大学强基计划]已知x2+y2+z2+xy+yz+xz≤1,则x2+y2+z2的最大值为_________.     2     解析　因为(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+xz+yz)≥0, 所以xy+xz+yz≥- ,即- +x2+y2+z2≤x2+y2+z2+xy+yz+xz≤1, 故x2+y2+z2≤2,当x=1,y=-1,z=0时等号成立, 所以x2+y2+z2的最大值为2. 第1讲　描述运动的基本概念 学科竞赛 17.[2025重庆高中数学联赛初赛]设集合A={1,2,3,…,2 025},B={3x|x∈A},C={x|3x∈A},则B∩C的元素个 数为___________.     225     解析　由题意知B={3,6,9,…,6 075},C=  , ,1,…,675 , 故B∩C={3,6,9,…,675}, 所以B∩C的元素个数为 =225. 第1讲　描述运动的基本概念 18.[2024全国高中数学联赛北京预赛]设整数集A={a1,a2,a3,a4,a5},若A的所有三元子集中的三个元素之 积组成的集合为B={-30,-15,-10,-6,-5,-3,2,6,10,15},则集合A=_____________________.     {-2,-1,1,3,5}     第1讲　描述运动的基本概念 解析　易知A的所有三元子集共有10个,且A中的每个元素在这些三元子集中均出现了 =6(次), 故(a1a2a3a4a5)6=(-30)×(-15)×(-10)×(-6)×(-5)×(-3)×2×6×10×15,即|a1a2a3a4a5|=30, 因为集合B的元素中有6个负数,4个正数, 所以集合A的元素中有2个负数、3个正数,或有1个负数、4个正数,所以a1a2a3a4a5=±30, 不妨设|a1|≤|a2|≤|a3|≤|a4|≤|a5|, 则当三个元素之积的绝对值最大时,a3a4a5=-30,a1a2=-1或a1a2=1,而当a1a2=1时,a1=a2=1或a1=a2=-1,均不满 足集合中元素的互异性,故舍去, 又A为整数集,所以a1=1,a2=-1或a1=-1,a2=1; 当三个元素之积的绝对值最小时,a1a2a3=2,又a1a2=-1,所以a3=-2,a4a5=15, 因为集合A的元素中有2个负数,3个正数,所以a4,a5均为正整数,所以a4=3,a5=5, 故A={-2,-1,1,3,5}. 第1讲　描述运动的基本概念 $