第1章 03 专题强化练1 利用基本不等式求含条件的最值(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦“利用基本不等式求含条件的最值”专题，通过各地期中、月考真题构建学习支架，衔接预备知识与专项强化，帮助学生掌握凑项、齐次化等变形技巧及应用逻辑。 其亮点是以真实考题为载体，突出“数学思维”的推理与运算能力，如通过条件式构造均值不等式并验证取等条件。方法技巧总结形成解题模型，培养“数学语言”的表达与应用意识。学生能提升解题能力，教师可利用分层题目优化教学效果。

第一章 预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 专题专项练 专题强化练1　利用基本不等式求含条件的最值 第1讲　描述运动的基本概念 1.[2025四川成都期中]已知a+2b=1,且a>0,b>0,则 + 的最小值为 ( ) A.3　    B.4　     C.5　    D.6     C     解析　　因为a+2b=1,所以 + = + = + -4, 又 + = (a+2b)=1+ + +4≥2 +5=9,当且仅当 = ,a+2b=1,即a=b= 时取等号,所以  + 的最小值为9,所以 + 的最小值为5. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2025江苏南通第一中学月考]已知x>0,y>0,x+y=1,则 的最小值为 ( ) A.4　     B. 　     C. +2　    D.2 +1     D     解析　　因为x>0,y>0,x+y=1, 所以 =  = = + +1≥2 +1=2 +1,当且仅当 = 且x+y=1,即x= -1,y=2- 时取等号, 所以 的最小值为2 +1. 方法技巧　目标式是分母为单项式的分式,可利用条件配凑为齐次分式,再进行变形化为可用基本不等 式的形式,进而求出最值. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2025江西鹰潭余江一中期中]已知a>0,b>0,且ab-4b+1=0,则 +9b的最小值是( ) A.2　    B.4　     C.6　    D.8     B     解析　　因为ab-4b+1=0,所以a+ =4, 所以 +9b=   =  10+ +9ab , 又a>0,b>0,所以ab>0, 所以 +9ab≥2 =6,当且仅当 =9ab,a+ =4,即a=1,b= 时等号成立, 所以 +9b≥ ×(10+6)=4,故 +9b的最小值是4. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026湖南娄底部分学校月考]若x>y≥0,3x-y=4,则3- + 的最小值为 ( ) A. 　    B.2　    C. 　    D.9     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　由y=3x-4≥0得x≥ ,由x>y得x>3x-4,则x<2,故 ≤x<2,故2-x>0, 则3- + =3- +  = + = +  =  [x+(2-x)] =  4+ + +1  ≥  5+2  = , 当且仅当 = ,即x= 时等号成立,故3- + 的最小值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 5.[多选题][2026江西南昌第二中学期中]已知x,y均为正实数,则 ( ) A. 的最大值为  B.若x+y=4,则x2+y2的最大值为8 C.若 +y=1,则x+ 的最小值为3+2  D.若x2+y2=x-y,则 的最小值为      ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　    A中,因为x>0,y>0,所以x2+y2≥2xy,当且仅当x=y时等号成立, 所以 ≤ ,即 的最大值为 ,A正确; B中,由x+y=4,得x2+y2=(x+y)2-2xy≥16-2× =8, 当且仅当x=y时等号成立,所以x2+y2的最小值为8,B不正确; C中,若 +y=1,则x+ =  =3+xy+ ≥3+2 =3+2 , 当且仅当xy= ,即x=2+ ,y= -1时等号成立,C正确; D中,由x2+y2=x-y>0,可得 =1, 则 = = = , 第1讲　描述运动的基本概念 令t= ,t∈(0,1),则 = , 又-2t2+t+1=-2 + ,所以当t= 时, 取得最小值,为 ,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026江西赣州二十四校期中]若正数a,b满足a2+2ab=16b4,则 + 的最小值为_________. 解析　因为正数a,b满足a2+2ab=16b4,所以a(a+2b)=16b4,所以 = , 所以 + = + ≥2 = ,当且仅当 = ,即b= ,a= 时取等号,故  + 的最小值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026广东部分学校联考]已知a>0,b>0,且a+2b=2,若 + + > m3恒成立,则实数m的取值范围是 ______________.  (-∞,2)     解析　因为a+2b=2,a>0,b>0, 所以 = = = + , 则 + + = + + + = + , 又 + =  (a+2b)=  4+ +  ≥  4+2  =4, 当且仅当 = ,即a=1,b= 时等号成立,所以 + + 的最小值是4. 因为 + + > m3恒成立,所以 m3<4,解得m<2, 故m的取值范围是(-∞,2). 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026广东茂名高州中学月考]已知正实数a,b,c满足a>b>c. (1)若a+b+c=2,求证: + >2; (2)若 + > 对任意的正实数a,b,c恒成立,求正整数p的可能取值; (3)将(2)中的不等式进行推广,正整数m,n,p满足什么条件时,不等式 + > 对任意的a,b,c恒成 立? 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:由于a,b,c均为正实数, 所以 + =   +  [(a+b)+c]=  2+ +  ≥  2+2  =2,当且仅当 = , 即a+b=c时等号成立, 又a>b>c,所以a+b>c,等号取不到, 所以 + >2. (2)因为a>b>c,所以a-b>0,b-c>0,a-c>0,所以  +  (a-c)=  +  [(a-b)+(b-c)]=2+ +  ≥2+2 =4, 当且仅当 = ,即a-b=b-c,即a+c=2b时等号成立, 由 + > 可得p<  +  (a-c),所以p<4. 第1讲　描述运动的基本概念 又p为正整数,所以p=1或p=2或p=3. (3)结合(2)知不等式 + > 恒成立即p<  +  [(a-b)+(b-c)]恒成立, 而  +  [(a-b)+(b-c)]=m+n+ + ≥m+n+2 , 当且仅当 = ,即 (b-c)= (a-b)时等号成立, 所以p<m+n+2 ,即p< ,所以 < + , 所以当正整数m,n,p满足 < + 时,不等式 + > 对任意的a,b,c恒成立. 第1讲　描述运动的基本概念 $