第1章 05-思想方法练1(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦转化与化归、数形结合、分类讨论思想在集合与不等式中的应用，从预备知识导入，通过例题解析搭建学习支架，帮助学生衔接集合运算、不等式求解与数学思想方法的脉络。 其亮点在于以专题形式整合数学思想，借助Venn图、数轴等直观工具（数学眼光的几何直观），通过逻辑推理转化问题（数学思维的推理能力），用符号语言精准表达（数学语言的模型意识）。例如用Venn图分析集合关系，分类讨论含参不等式，助力学生提升思想应用能力，为教师提供系统的思想方法教学素材。

第一章 预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 专题专项练 思想方法练1 第1讲　描述运动的基本概念 一、转化与化归思想在集合与不等式中的应用 1.[2026山东泰安一中月考]命题:“∃x∈[2,3],x2-2a<0”为假命题的一个必要不充分条件是 ( ) A.a≤0　    B.a≤1 C.a≤2　    D.a≤3     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　命题:“∃x∈[2,3],x2-2a<0”为假命题,则“∀x∈[2,3],x2-2a≥0”为真命题, 将存在量词命题为假转化为其否定为真求解. 即∀x∈[2,3],x2≥2a, 分离参数,将全称量词命题为真转化为对应的函数的最值问题. 所以4≥2a,解得a≤2, 结合选项可知{a|a≤2}⫋{a|a≤3}, 将必要不充分条件的判断转化为集合间关系的判断. 所以a≤3是a≤2的一个必要不充分条件,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026陕西西安西工大附中月考]已知集合A={x|(x-m)(x+m-1)=0},B={x|x≥0},若A∩∁RB≠⌀,则实数m 的取值范围为___________________.     {m|m<0或m>1}     解析　因为A={x|(x-m)(x+m-1)=0},所以当m= 时,A= ;当m≠ 时,A={m,1-m}. 因为B={x|x≥0},所以∁RB={x|x<0}. A∩(∁RB)≠⌀的反面为A∩(∁RB)=⌀, 正面求A∩(∁RB)≠⌀比较复杂,可先求其反面A∩(∁RB)=⌀时m的范围. 显然当m= 时符合A∩(∁RB)=⌀;当m≠ 时,需满足m≥0且1-m≥0,所以0≤m≤1且m≠ . 故0≤m≤1. 由补集思想得当A∩(∁RB)≠⌀时,m<0或m>1,所以实数m的取值范围为{m|m<0或m>1}. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026江苏南京金陵中学期中]已知集合A= x  <0,x∈R ,集合B={x|m≤x≤m+1,m∈R}. (1)若m=3,求(∁RA)∩B; (2)对于任意集合P,Q,定义P\Q={x|x∈P且x∉Q}.若(A\B)∪B=A,求m的取值范围. 解析    (1)不等式 <0等价于(x-1)(x-3)(x-5)<0, 将分式不等式转化为整式不等式. 利用穿针引线法解此不等式,画图如下:   故x<1或3<x<5,即A={x|x<1或3<x<5},所以∁RA={x|1≤x≤3或x≥5}, 当m=3时,B={x|3≤x≤4},故(∁RA)∩B={3}. 第1讲　描述运动的基本概念 (2)因为(A\B)∪B=A,所以结合题意可知B⊆A, 将新定义转化为集合之间的包含关系求解. 所以m+1<1或  解得m<0或3<m<4, 因此实数m的取值范围是{m|m<0或3<m<4}. 思想方法　转化与化归思想在本章中的应用主要体现在集合的运算性质和集合与集合之间包含关系 的转化(如A∩B=A⇔A⊆B,A∪B=A⇔B⊆A,A∩(∁RB)=⌀⇔A⊆B等),充分条件、必要条件和集合与集 合之间关系的转化,恒成立问题与函数最值问题之间的转化,三个“二次”之间的转化等多个方面. 第1讲　描述运动的基本概念 二、数形结合思想在集合与不等式中的应用 4.[2026四川成都石室中学月考]对于任意集合M,N,定义集合U=M∪N,则下列关系正确的是 ( ) A.M∪(∁UN)=M∪N B.∁U(M∩N)=(∁UM)∪(∁UN) C.M∩(∁UN)=M∩N D.∁U(M∩N)=(∁UM)∩(∁UN)     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　    如图,若M,N如图所示,则M∪(∁UN)=M≠M∪N,M∩(∁UN)≠M∩N,A,C错误.   借助Venn图,可直观得到各集合间的关系. ∁U(M∩N)={x|x∉M∩N且x∈M∪N},而(∁UM)∪(∁UN)={x|x∉M且x∈M∪N}∪{x|x∉N且x∈M∪N}={x |x∉M∩N且x∈M∪N}, 故∁U(M∩N)=(∁UM)∪(∁UN),B正确. (∁UM)∩(∁UN)=⌀,而∁U(M∩N)={x|x∉M∩N且x∈M∪N}≠⌀,D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026河北唐山迁安期中联考]已知函数y1=-x2+4x,y2=x+ ,x∈R,用min{y1,y2}表示y1,y2中的最小者,若M= min{y1,y2},则M的最大值为_________. 解析　令y1≥y2,即-x2+4x≥x+ ,即x2-3x+ ≤0,解得 ≤x≤ , 令y1<y2,即-x2+4x<x+ ,即x2-3x+ >0,解得x< 或x> . 故当 ≤x≤ 时,min{y1,y2}=y2=x+ ;当x< 或x> 时,min{y1,y2}=y1=-x2+4x, 作出M=min{y1,y2}的图象,如图中的实线, 结合一元二次函数的图象和一次函数的图象确定M的最大值. 由图可知当x= 时M取得最大值,即Mmax= + = . 第1讲　描述运动的基本概念 6.记全集U=R,集合A={x|a-2≤x≤2a+1,a∈R},B={x|-x2+10x≤21}. (1)若A∪B=R,求a的取值范围; (2)若A∩B=A,求a的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题得B={x|x≤3或x≥7}, 将A,B表示在数轴上,如图,   根据集合间的关系,将集合表示在数轴上,借助数轴可直观得出结果,体现了数形结合思想. 由A∪B=R,得 解得3≤a≤5, 所以a的取值范围为{a|3≤a≤5}. (2)由A∩B=A,得A⊆B,由(1)知B={x|x≤3或x≥7}. 当a-2>2a+1,即a<-3时,A=⌀,满足A⊆B; 当a-2≤2a+1,即a≥-3时,A≠⌀, 第1讲　描述运动的基本概念 将A,B表示在数轴上,如图,   或   分不同情况将集合表示在数轴上,借助数轴可直观得出结果,体现了数形结合思想. 由图可知,当A⊆B时,2a+1≤3或a-2≥7,解得a≤1或a≥9, 因此-3≤a≤1或a≥9. 综上可知,a的取值范围为{a|a≤1或a≥9}. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2025上海实验学校月考]关于x的不等式组 的整数解组成的集合为A. (1)当k=3时,求集合A; (2)若集合A={-2},求实数k的取值范围; (3)若集合A中有2 019个元素,求实数k的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)当k=3时,原不等式组可化为 解得-3<x<- ,满足条件的整数x不存在,故A=⌀. (2)由x2-x-2>0得x<-1或x>2. 因为 有唯一整数解x=-2, 且方程2x2+(2k+5)x+5k=(2x+5)(x+k)=0的两个根为-k和- ,所以结合数轴可得-2<-k≤3,(借助数轴得到此 不等式,要注意等号能否取到)   第1讲　描述运动的基本概念 所以-3≤k<2. (3)当-k<- 时,由A中有2 019个元素可得A={-3,-4,…,-2 021},(借助数轴找到这2 019个整数) 所以-2 022≤-k<-2 021,解得2 021<k≤2 022. 当-k>- 时,由A中有2 019个元素可得A={-2,3,4,…,2 020},(借助数轴找到这2 019个整数,注意-2是A中的 元素) 所以2 020<-k≤2 021,解得-2 021≤k<-2 020. 所以实数k的取值范围为{k|2 021<k≤2 022或-2 021≤k<-2 020}. 第1讲　描述运动的基本概念 思想方法　数形结合思想在本章中的应用主要体现在集合与一元二次函数中: (1)在集合中,主要是集合间的关系与Venn图或数轴的结合,通过Venn图或数轴可使问题更直观; (2)在一元二次函数中,主要是通过函数图象研究一元二次函数的一些性质及解一元二次不等式等. 第1讲　描述运动的基本概念 三、分类讨论思想在集合与不等式中的应用 8.[2025湖南长沙南雅中学月考]已知集合A={0,2},B={x|(ax-1)(x-1)(x2-ax+1)=0,x∈R},|A|表示非空集合A 中元素的个数,A※B= 若A※B=1,则实数a的所有可能的取值构成的集合为____________ ____.     {0,1,-2} 第1讲　描述运动的基本概念 解析　由已知得|A|=2,A※B=1,所以|B|=1或|B|=3.(对||A|-|B||=1进行分类讨论) 当|B|=1时,a=0或a=1(方程(ax-1)·(x-1)(x2-ax+1)=0有明确的解x=1,所以ax-1=0和x2-ax+1=0的解为1或不存 在). 当|B|=3时,关于x的方程(ax-1)(x-1)(x2-ax+1)=0有3个不相等的实数解, 所以关于x的方程x2-ax+1=0有两个相等的解,且这两个相等的解不为1和  由于a≠0且a≠1,方程(ax-1) (x-1)·(x2-ax+1)=0有明确的解x=1和x=  , 则Δ=a2-4=0,解得a=±2 要验证x2-ax+1=0的解是不是1,  . 当a=2时,x2-2x+1=0的两个解均为1,不符合题意; 当a=-2时,x2+2x+1=0的两个解均为-1,符合题意. 综上,a的所有可能的取值构成的集合为{0,1,-2}. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026山西临汾平阳中学月考]已知a,b,c∈R,集合A={x|ax2+bx+c=0},B={x|cx2+bx+a=0},C={x|x3-2x2-x+2 =0}. (1)证明:-1∈A的充要条件是a-b+c=0; (2)若集合A={3,5},求集合B; (3)若a=1,b=-3,(A∪C)⊆C,求实数c的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:若-1∈A,则a-b+c=0, 若a-b+c=0,则a×(-1)2+b×(-1)+c=0,则-1∈A, 所以-1∈A的充要条件是a-b+c=0. (2)因为A={3,5},所以a≠0且3+5=- ,3×5= ,所以b=-8a,c=15a, 所以B={x|15ax2-8ax+a=0}={x|15x2-8x+1=0}={x|(3x-1)(5x-1)=0}=  ,  . (3)因为a=1,b=-3,所以A={x|x2-3x+c=0}, 易得C={x|(x2-1)(x-2)=0}={-1,1,2}, 因为(A∪C)⊆C,所以A⊆C. 当A=⌀时,Δ=9-4c<0,解得c> ; 第1讲　描述运动的基本概念 当A={1}时, 无解; 当A={-1}时, 无解; 当A={2}时, 无解; 当A={-1,1}时, 无解; 当A={-1,2}时, 无解; 当A={1,2}时, 所以c=2. 所以实数c的取值范围为 c c> 或c=2 . 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026江西赣州赣南师范附中月考]已知二次函数y=x2+2ax+2. (1)当1≤x≤5时,不等式y>3ax恒成立,求实数a的取值范围; (2)解关于x的不等式(a+1)x2+x>y. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)不等式y>3ax即为x2-ax+2>0, 当x∈[1,5]时,可得a< =x+ 恒成立,即a< , 又x+ ≥2 =2 ,当且仅当x= ,即x= 时,等号成立, 所以 =2 ,所以a<2 . 所以实数a的取值范围是(-∞,2 ). (2)由题意得(a+1)x2+x>x2+2ax+2, 即ax2+(1-2a)x-2>0,即(x-2)(ax+1)>0. 当a=0时,不等式为x-2>0,解得x>2; a与0的大小关系不确定,结果会影响不等式的解集,故需要分类讨论. 第1讲　描述运动的基本概念 当a≠0时,方程(x-2)(ax+1)=0的两根为- ,2. 当a>0时,可得- <0<2,解不等式(x-2)(ax+1)>0,得x<- 或x>2. 当a<0时, - 与2的大小关系不确定,结果会影响不等式的解集,故继续分类讨论. (i)当- <a<0时,- >2,解不等式(x-2)(ax+1)>0,得2<x<- ; (ii)当a=- 时,- =2,不等式(x-2)(ax+1)>0的解集为⌀; (iii)当a<- 时,- <2,解不等式(x-2)(ax+1)>0,得- <x<2. 综上所述,当a=0时,不等式的解集为(2,+∞);当a>0时,不等式的解集为 ∪(2,+∞);当- <a<0时,不 等式的解集为 ;当a=- 时,不等式的解集为⌀;当a<- 时,不等式的解集为 . 第1讲　描述运动的基本概念 思想方法　分类讨论思想是本章很重要也很常见的一种解题思想,明确分类标准很关键,分类时要做到 不重不漏.在集合问题中,通常对集合是不是空集、元素与集合之间的关系进行分类讨论.在不等式问 题中,若不等式含有参数,则可从以下几方面确定分类标准:①二次项系数含参,则要根据二次项系数大 于0,小于0,等于0进行分类讨论;②对应方程的根无法确定大小时,要对根的大小进行分类讨论;③若对 应方程的判别式含参,则在确定解的情况时需分Δ>0,Δ=0,Δ<0三种情况讨论并求解. 第1讲　描述运动的基本概念 $