第1章 01-3.1 不等式的性质(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦不等式的性质及应用，通过行程问题、矩形菜园面积等实际情境导入，从具体现象抽象不等关系，衔接预备知识，为比较大小、性质应用等内容搭建学习支架。 其亮点在于情境化问题设计培养数学眼光，如行程时间不等关系引导观察现实；多样化比较方法（作差、放缩）提升数学思维中的推理能力；创新题型（糖水不等式证明）强化数学语言表达。学生能深化理解，教师可高效教学。

第一章 预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 §3　不等式 3.1　不等式的性质 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　不等关系的建立 1.[2026安徽皖中名校联盟期中]某人元旦回家的路程为225 km,准备先坐火车再转汽车,从火车转汽车 耗时10 min,转汽车时离家还有30 km,已知火车的平均速度为300 km/h,汽车的平均速度为x km/h,若从 坐火车开始能在1小时内到家,则x应该满足的不等式为 ( ) A. + <1　    B. +10<60 C. + +10<60　    D. + + <1     D     解析　　由题意知坐火车所用时间加坐汽车所用时间加中转的时间应小于1小时, 则 + + <1,即 + + <1. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026吉林白城实验高级中学月考]用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18 m, 要求菜园的面积不小于96 m2,靠墙的一边的长为x m.用不等式(组)表示其中的不等关系是__________ ____________________________________________. . 解析　因为矩形菜园靠墙的一边的长为x m,墙长为18 m,所以0<x≤18, 矩形菜园的长为x m的边的邻边的长为 = m, 因此菜园的面积S=x m2,且S≥96 m2,即x ≥96,故所求不等关系可表示为  第1讲　描述运动的基本概念 题组二　比较大小 3.[2026江西多校联考]设a=x2+x+1,b=3x-1,则 ( ) A.a<b　    B.a>b　     C.a=b　    D.a,b的大小与x值有关     B     解析　    a-b=x2+x+1-(3x-1)=x2-2x+2=(x-1)2+1>0,所以a>b. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2025江西南昌进贤二中月考]设P= ,Q= - ,R= - ,则( ) A.P>Q>R　    B.P>R>Q　     C.Q>P>R　    D.Q>R>P     B     解析　    P-R= -( - )=2 - = - >0,∴P>R. R-Q= - -( - )=( + )-( + ), 又 =9+2 , =9+2 ,∴ + > + ,即R>Q. 综上,P>R>Q. 解题模板　比较两数(式)的大小时,若两数(式)不好直接比较,可对两数(式)进行相同的变形,如比较含 有根式的两数(式)的大小,可先对其平方,再比较不同部分的大小. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026重庆南开中学月考] (1)比较2x2+5x+3与x2+4x+2的大小; (2)设a>b>0,比较 与 的大小. 解析    (1)2x2+5x+3-(x2+4x+2)=x2+x+1= + >0, 所以2x2+5x+3>x2+4x+2. (2)由a>b>0,得a-b>0,则 = >0, >0, 因此 = = =1+ >1,所以 > . 第1讲　描述运动的基本概念 方法技巧　作差法适用于比较作差后可化为积或商的形式的两数(式)的大小比较,作商法适用于同号 两数(式)的大小比较. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　不等式的性质及其应用 6.[2026河南重点中学联考]已知a,b,c∈R,则下列命题正确的是 ( ) A.若a>b,则ac2>bc2 B.若a>b,则a2>b2 C.若 > ,则a>b D.若 < ,则a>b     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　对于A,若a>b,c=0,则ac2=bc2,故A错误; 对于B,当a=0,b=-1时,满足a>b,此时a2<b2,故B错误; 对于C,若 > ,则c2>0,两边同乘c2得a>b,故C正确; 对于D,当a=-1,b=1,c=1时,满足 < ,此时a<b,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[多选题][2026江西宜春中学期中]下列结论中正确的是 ( ) A.若a>b,c>d,则ac>bd B.若ab≠0且a<b,则 >  C.命题“任意x<1,x2<1”的否定是“存在x<1,x2≥1” D.“a>b”是“a>b+1”的必要不充分条件     CD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　对于A,取a=1,b=0,c=-1,d=-2,此时ac<bd,(可由不等式的可乘性知当a>b>0,且c>d>0时ac>bd才 成立)故A错误; 对于B,取a=-1,b=1,此时 < ,故B错误; 对于C,先改变量词,再否定结论,故C正确; 对于D,若a>b,则a>b+1不一定成立,例如a=2,b=1,充分性不成立, 若a>b+1,则a>b一定成立,必要性成立,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[多选题][2026湖南常德临澧第一中学阶段检测]下列说法正确的是 ( ) A.若a>b,则 <  B.若a>b>0>c,则 <  C.若a>b>c>d,则a-c>d-b D.若a<b<0,则 >      BCD     解析　　对于A,当a=1,b=-2时, =1>- = ,故A错误; 对于B,因为a>b>0>c,所以a-b>0,a-c>0,则 - = = <0,所以 < ,故B正确; 对于C,因为a>b>c>d,所以a-c>0,d-b<0,所以a-c>d-b,故C正确; 对于D,由a<b<0,得ab>0,所以a<b两边同除以ab得 > ,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 题组四　利用不等式的性质求代数式的范围 9.[多选题][2025浙江温州期中]已知1≤x≤2,3≤y≤4,则 ( ) A.2x+y的最小值是4　    B.y-x的最小值是1 C.xy的最大值是8　    D. 的最大值是      BCD     解析　　对于A,由1≤x≤2得2≤2x≤4,又3≤y≤4,所以5≤2x+y≤8,所以2x+y的最小值是5,A错误; 对于B,由1≤x≤2得-2≤-x≤-1,又3≤y≤4,所以1≤y-x≤3,所以y-x的最小值是1,B正确; 对于C,因为1≤x≤2,3≤y≤4,所以1×3≤xy≤2×4,即3≤xy≤8,所以xy的最大值是8,C正确; 对于D,由3≤y≤4得 ≤ ≤ ,又1≤x≤2,所以 ×1≤ ≤ ×2,即 ≤ ≤ ,所以 的最大值是 ,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[易错题][2026江西师大附中月考]已知-1≤x+y≤2,-2≤x-y≤1,则x-2y的取值范围为______________.     [-4,2]     解析　设x-2y=m(x+y)+n(x-y)=(m+n)x+(m-n)y, 令 解得  故x-2y=- (x+y)+ (x-y), 因为-1≤x+y≤2,-2≤x-y≤1,所以-1≤- (x+y)≤ ,-3≤ (x-y)≤ , 所以-4≤- (x+y)+ (x-y)≤2, 即-4≤x-2y≤2,故x-2y的取值范围为[-4,2]. 第1讲　描述运动的基本概念 易错警示　求解本题时千万不要直接由两式相加、减得到x,y的范围,再由不等式的性质得结果,这是因 为x,y是由已知的两个式子相互制约的两个变量,由这两个式子推出x,y的范围后,x,y不再具有彼此制约 的关系,其取值分别取各自区间,从而导致范围扩大. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 §3　不等式 3.1　不等式的性质 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　实数的不等关系 1.[多选题][2025河北石家庄精英中学调研]火车站有某公司待运的甲种货物306吨,乙种货物230吨.现计 划用A,B两种型号的货厢共50节运送这批货物.已知7吨甲种货物和3吨乙种货物可装满一节A型货厢,5 吨甲种货物和7吨乙种货物可装满一节B型货厢,据此安排A,B两种货厢的节数.下列能够满足要求的方 案是( ) A.A型货厢28节,B型货厢22节　     B.A型货厢29节,B型货厢21节 C.A型货厢31节,B型货厢19节　     D.A型货厢30节,B型货厢20节     ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　设安排A型货厢x节,B型货厢y节,则  解得28≤x≤30,且x∈N,则 或 或 共3种方案可以满足. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江西吉安永丰第二中学期中]A,B,C,D四名学生的年龄关系如下:A,C的年龄之和与B,D的年龄之 和相同,C,D的年龄之和大于A,B的年龄之和,B的年龄大于A,D的年龄之和,则A,B,C,D的年龄关系是  ( ) A.B>C>A>D　    B.B>C>D>A C.C>B>A>D　    D.C>B>D>A     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　    设A,B,C,D四名学生的年龄分别为a岁,b岁,c岁,d岁,则a>0,b>0,c>0,d>0. 由题意得a+c=b+d①,c+d>a+b②,b>a+d③. ①+②得c>b,①+③得c>2d,②+③得c>2a, 由③,结合a>0,d>0得b>a,b>d, 由①得c-b=d-a,∵c>b,∴c-b>0, ∴d-a>0,∴d>a,∴c>b>d>a. 综上,C>B>D>A. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[多选题][2026广东东莞联考]已知a>b>0,则下列结论中正确的有 ( ) A.a3-b3>2(a2b-ab2)　    B. + < +  C.a- >b- 　    D. - < -      AD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　对于A,因为a>b>0,所以a-b>0,所以a3-b3-2(a2b-ab2)=(a-b)(a2+ab+b2)-2ab(a-b)=(a-b)(a2-ab+b2)=(a -b)[a(a-b)+b2]>0,即a3-b3>2(a2b-ab2),故A正确. 对于B,解法一:因为a>b>0,所以 + - - = >0,所以 + > + ,故B错误. 解法二:因为a>b>0,所以 = = = = =1+  >1,且 + >0, + >0, 所以 + > + ,故B错误. 对于C,因为a>b>0,所以a- - =a-b+  -  =a-b+ = ,且a-b>0,ab>0, 因为不能确定ab-1的正负,所以无法确定a- 与b- 的大小关系,故C错误. 第1讲　描述运动的基本概念 对于D,因为a>b>0,所以 - -( - )= -  =(a-b)  -   =(a-b)   <0, 所以 - < - ,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026河南焦作期中]设a,b,c,d均为正实数,且a+b=c+d,证明: (1)若ab>cd,则 + > + ; (2)|a-b|<|c-d|是 + > + 的充要条件. 证明    (1)( + )2=a+b+2 ,( + )2=c+d+2 , 因为a+b=c+d,ab>cd,所以( + )2>( + )2,所以 + > + . (2)充分性:若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,(通过平方去掉绝对值) 即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd. 又因为a+b=c+d,所以ab>cd,故由(1)知 + > + . 必要性:若 + > + ,则 > ,即a+b+2 >c+d+2 . 因为a+b=c+d,所以ab>cd,所以(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2, 因此|a-b|<|c-d|.所以|a-b|<|c-d|是 + > + 的充要条件. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　不等式的性质及应用 5.[多选题][2026陕西西安铁一中学月考]已知实数x,y满足-1≤x+y≤3,4≤2x-y≤9,则 ( ) A.1≤x≤4　    B.- ≤y≤  C.4x+y的最大值为15　    D.x-y的最小值为      ABC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　对于A,因为-1≤x+y≤3,4≤2x-y≤9,所以3≤3x≤12,即1≤x≤4,故A正确; 对于B,由-1≤x+y≤3得-6≤-2x-2y≤2,又4≤2x-y≤9,所以-2≤-3y≤11,解得- ≤y≤ ,故B正确; 对于C,因为4x+y=2(x+y)+(2x-y),-2≤2(x+y)≤6,4≤2x-y≤9, 所以2≤4x+y≤15,即4x+y的最大值为15,故C正确; 对于D,因为x-y=- (x+y)+ (2x-y),-1≤- (x+y)≤ , ≤ (2x-y)≤6,所以 ≤x-y≤ ,即x-y的最小值为 ,故 D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026江西上饶余干中学月考]已知实数a,b,c满足a>b>c,且abc=1.给出以下不等式:①ac>bc;② >  ;③(a+c)2< ;④(a2b-1)(ab2-1)>0.其中正确不等式的个数为 ( ) A.0　    B.1　    C.2　    D.3     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　对于①,当a= ,b=-1,c=-2时,满足a>b>c且abc=1, 但ac=-1,bc=2,即ac<bc,①错误; 对于②,由a>b>c,得a-c>b-c>0,故 < ,②错误; 对于③,因为abc=1,所以ac= ,c≠0, 故(a+c)2- =(a+c)2-ac=a2+ac+c2= + >0,所以(a+c)2> ,③错误; 对于④,因为abc=1,所以(a2b-1)(ab2-1)=(a2b-abc)(ab2-abc)=ab(a-c)ab(b-c)=a2b2(a-c)(b-c), 由题意知a>b>c,a,b≠0,所以a-c>0,b-c>0,a2b2>0, 故(a2b-1)(ab2-1)=a2b2(a-c)(b-c)>0,④正确. 故正确不等式的个数为1. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2025江西上饶鄱阳扬帆中学月考]已知实数x,y满足y= x- ,且-2≤x≤3,则 的取值范围是___ _______________________________________.  ∪[4,+∞)     第1讲　描述运动的基本概念 解析　令t=x+1,则x=t-1,-1≤t≤4,且t≠0, 所以 = = = = - . 当-1≤t<0时, ≤-1,则- ≥ , 所以 = - ≥ + =4; 当0<t≤4时, ≥ ,则- ≤- , 所以 = - ≤ - =- . 综上, ≥4或 ≤- ,即 的取值范围是 ∪[4,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　不等式性质的迁移应用 8.[2026辽宁辽西重点中学期中]假设a克糖水中含有b克糖,若再添加m克糖(其中a>b>0,m>0,添加的m克 糖可完全溶解),生活常识告诉我们:添加的糖完全溶解后,糖水会更甜. (1)根据这个生活常识,提炼出一个不等式,并证明; (2)利用(1)中提炼的不等式证明:若a,b,c为三角形的三条边的长,则 + + <2; (3)求证: × × ×…× < ,n∈N+且n≥2. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)提炼出的不等式为 > .(此不等式为糖水不等式) 证明如下: - = = .(作差后通分,并将分子、分母因式分解,从而确定分子与 分母的正负) 因为a,b,m都是正数,且a>b, 所以a+m>0,a-b>0,可得 >0, 所以 > . (2)证明:由a,b,c是三角形的三边,得0<a<b+c,(三角形两边之和大于第三边) 由(1)得 < ,(利用糖水不等式放缩) 同理, < , < , 第1讲　描述运动的基本概念 所以 + + < + + =2.(不等式的同向可加性) (3)证明:由(1)可知 > , 则 < < < <…< < < <…,(放缩法)n∈N+且n≥2, 因为 × × ×…× < × × ×…× , 所以 <  × × ×…×  ×  × × ×…×  = × × × ×…× × =  ,(不等式的可乘性) 故 × × ×…× < ,n∈N+且n≥2. 第1讲　描述运动的基本概念 $