第1章 01-2.1 必要条件与充分条件(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦“必要条件与充分条件”，衔接预备知识，通过题组训练（判断、证明、求参数）构建学习支架，融合集合、方程、几何等知识，帮助学生逐步掌握逻辑用语核心内容。 其亮点在于结合诗句、电路图等现实情境，运用集合关系转化和逻辑推理，培养数学眼光与思维。如通过“不破楼兰终不还”辨析条件关系，提升学生抽象与推理能力，教师可借助多样化题型优化教学，提升课堂效率。

第一章 预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 §2　常用逻辑用语 2.1　必要条件与充分条件 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　必要条件与充分条件的判断 1.[2026江西多校期中联考]“m为奇数”是“x2-my与2xmy是同类项”的 ( ) A.充要条件　     B.充分不必要条件 C.必要不充分条件　    D.既不充分也不必要条件     C     解析　　若x2-my与2xmy是同类项,则2-m=m,解得m=1,故“m为奇数”是“x2-my与2xmy是同类项”的必要 不充分条件. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江西九江瑞昌一中等校联考]若四边形ABCD是平行四边形,则“△ABC是等边三角形”是“AC ⊥BD”的 ( ) A.充分不必要条件　    B.必要不充分条件 C.充要条件　     D.既不充分也不必要条件     A     解析　　若△ABC是等边三角形,则四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD,充分性成立; 若AC⊥BD,则四边形ABCD是菱形,只能推出△ABC是等腰三角形,无法得到△ABC是等边三角形,必要 性不成立. 故“△ABC是等边三角形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2025广东广州期中]已知集合A={x∈N+|x是4与10的公倍数},B={x|x=40t,t∈N+},则“x∈A”是“x ∈B”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件     B     解析　　∵4与10的最小公倍数为20,∴A={x∈N+|x是4与10的公倍数}={x|x=20t,t∈N+}, ∵B={x|x=40t,t∈N+},∴B⫋A,故“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026江西景德镇一中期中]王昌龄是盛唐时期著名的边塞诗人,被誉为“七绝圣手”,其《从军行》 中的诗句“青海长云暗雪山,孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还”传诵至今,由此推断, “攻破楼兰”是“返回家乡”的 ( ) A.充分不必要条件　    B.必要不充分条件 C.充要条件　     D.既不充分也不必要条件     B     解析　　根据诗意,作者想表达的思想感情是“返回家乡”就一定要“攻破楼兰”,但是并没有表明 “攻破楼兰”后就一定会“返回家乡”, ∴“返回家乡”⇒“攻破楼兰”,必要性成立,“攻破楼兰” “返回家乡”,充分性不成立, ∴“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[教材习题改编]设R为全集,A,B为其子集,则“存在集合C使得A⊆C,B⊆(∁RC)”是“A⊆(∁RB)”的  ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件     C     解析　　若存在集合C使得A⊆C,B⊆(∁RC),则(∁RC)⊆(∁RA),所以B⊆(∁RA),所以A⊆(∁RB),充分性成 立; 若A⊆(∁RB),不妨取C=A,则A⊆C,B⊆(∁RC),必要性成立. 故为充要条件. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[多选题][2025江西宜春丰城九中段考]已知p是r的充分不必要条件,q是r的充分条件,s是r的必要条件, q是s的必要条件,则下列结论正确的是 ( ) A.r是q的充要条件　     B.p是q的充分条件 C.r是q的必要不充分条件　     D.r是s的充分不必要条件     A     解析　　由题意可得如下关系图:   则q⇒r,且r⇒s⇒q,即r⇔q,所以r是q的充要条件,故A正确,C错误; p⇒r⇒q,即p⇒q,所以p是q的充分条件,故B正确; r⇒s,s⇒q⇒r,即s⇔r,所以r是s的充要条件,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　必要条件与充分条件的探究与证明 7.[2026湖南长沙长郡梅溪湖中学月考]“方程x2-2x+m=0至多有一个实数解”的一个充分不必要条件 是 ( ) A.m≥1　    B.m<1　    C.m≥0　    D.m≥2     D     解析　　若方程x2-2x+m=0至多有一个实数解,则Δ=(-2)2-4m≤0,解得m≥1,故充要条件为{m|m≥1}, 结合选项知{m|m≥2}⫋{m|m≥1},故一个充分不必要条件为m≥2. 解题模板　一般将充分、必要条件的探求问题转化为集合间的关系问题,根据“小充分、大必要”求 解. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2025江西抚州临川二中月考]“⌀是集合M={x|ax2+2x+1=0,a∈R}的真子集”的一个必要不充分条件 是 ( ) A.a∈(-∞,0)　    B.a∈(-∞,0] C.a∈(-∞,1]　    D.a∈(-∞,2)     D     解析　　若⌀是集合M={x|ax2+2x+1=0,a∈R}的真子集,则集合M≠⌀,即方程ax2+2x+1=0有实数解. 当a=0时,方程ax2+2x+1=0即2x+1=0,可得x=- ,符合题意; 当a≠0时,由Δ=4-4a≥0可得a≤1,所以a≤1且a≠0. 故“⌀是集合M={x|ax2+2x+1=0,a∈R}的真子集”的充要条件为“a≤1”, 若要找它的必要不充分条件,则{a|a≤1}应是对应集合的真子集,结合选项知D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 9.已知ab≠0,求证:a3+b3+ab-a2-b2>0的充要条件是a+b>1. 证明　充分性(条件⇒结论): 因为ab≠0,所以a2-ab+b2= + b2>0, 又a+b>1,所以a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)>a2-ab+b2,即a3+b3+ab-a2-b2>0,所以充分性成立; 必要性(结论⇒条件): 因为a3+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)+ab-a2-b2=(a+b-1)(a2-ab+b2)>0, 且a2-ab+b2= + b2>0,所以a+b-1>0, 所以a+b>1,所以必要性成立. 综上,a3+b3+ab-a2-b2>0的充要条件是a+b>1. 第1讲　描述运动的基本概念 导师点睛　对于充要条件的证明问题,可分别证明充分性与必要性,此时应明确谁是条件,谁是结论.充 分性是由条件成立来证明结论成立,而必要性是由结论成立来证明条件成立. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　利用必要条件与充分条件求参数 10.[多选题][2026山东潍坊中学月考]设集合A={x|x2-x-6=0},B={x|ax-1=0且a≠0}.若x∈B是x∈A的充分 不必要条件,则实数a的值可以为 ( ) A.- 　    B.- 　    C. 　    D.      AD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　由题可得A={x|x2-x-6=0}={-2,3},B={x|ax-1=0且a≠0}= , 因为x∈B是x∈A的充分不必要条件,所以B⫋A, 所以B={3}或B={-2}. 当B={3}时, =3,所以a= ; 当B={-2}时, =-2,所以a=- . 所以a的值为 或- . 第1讲　描述运动的基本概念 11.[易错题][2026陕西渭南期中质检]已知命题p:“方程ax2+2x+1=0至少有一个实数解”,若p的一个必 要不充分条件为“a≤m+1”,则实数m的取值范围是______________.     (0,+∞)     解析　对于命题p:“方程ax2+2x+1=0至少有一个实数解”, 若a=0(易错点),则2x+1=0,解得x=- ,符合题意; 若a≠0,则Δ=4-4a≥0,解得a≤1,所以a≤1且a≠0. 故方程ax2+2x+1=0至少有一个实数解时,a≤1. 因为p的一个必要不充分条件为“a≤m+1”,所以{a|a≤1}⫋{a|a≤m+1}(易错点), 则m+1>1,解得m>0, 所以实数m的取值范围是(0,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 易错警示　本题的易错点有两个:一是分析方程ax2+2x+1=0至少有一个实数解时,忽略二次项系数为0 的情形;二是若p的一个必要不充分条件为q,则q是p的一个必要不充分条件,则p所对应的集合是q所对 应的集合的真子集. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2026湖南岳阳期中]已知集合P={x|-2≤x≤6},非空集合S={x|1-m≤x≤1+3m}. (1)若x∈P是x∈S的必要条件,求实数m的取值范围; (2)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件? 解析    (1)∵x∈P是x∈S的必要条件,∴S⊆P,∴ 解得0≤m≤ , 故实数m的取值范围是 m 0≤m≤  . (2)若x∈P是x∈S的充要条件,则P=S, ∴ 该方程组无解, ∴不存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件. 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2025山东济南第一中学月考]已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|1-m≤x≤3m-2,m>1},是否存在实数m,使 得x∈A是x∈B的_____? 请在①充分不必要条件;②必要不充分条件;③充要条件这三个条件中任选一个补充在上面的横线处. 若实数m存在,求出m的取值范围;若实数m不存在,请说明理由. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为m>1,所以3m-2>1>1-m,故B≠⌀. 选①:充分不必要条件. 由题意得A⫋B,故 且等号不同时成立,所以m≥4,即m的取值范围为{m|m≥4}. 选②:必要不充分条件. 由题意得B⫋A,故 且等号不同时成立,所以m≤2,又m>1,所以m的取值范围为{m|1<m≤2}. 选③:充要条件. 由题意得A=B,故 无解,故不存在实数m,使得x∈A是x∈B的充要条件. 解题模板　在研究条件的充分性和必要性时,可以转化为集合间的关系.若条件p,q对应的集合分别为P, Q,则p是q的充分不必要条件⇔P⫋Q;p是q的必要不充分条件⇔P⫌Q;p是q的充要条件⇔P=Q. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 §2　常用逻辑用语 2.1　必要条件与充分条件 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　必要条件与充分条件的判断 1.[多选题][2026江西上饶横峰中学月考]已知下列四组条件: ①p:集合A={(x,y)|x+y=3,x∈N+,y∈N+};q:集合{(1,2)}. ②p:集合A⊆B⊆C⊆A;q:集合A=B=C. ③p:x∈{x|x=2n+1,n∈Z};q:x∈{x|x=6n-1,n∈N}. ④p:某中学高一全体学生中的一员;q:某中学全体学生中的一员. 其中p是q的必要不充分条件的有 ( ) A.①　    B.②　    C.③　    D.④     AC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　对于①,A={(x,y)|x+y=3,x∈N+,y∈N+}={(1,2),(2,1)}, ∴q⇒p,p⇒/q,∴p是q的必要不充分条件,故①满足题意; 对于②,若集合A⊆B⊆C⊆A,则A=B=C,∴p⇔q,∴p是q的充要条件,故②不满足题意; 对于③,{x|x=2n+1,n∈Z}表示由所有奇数组成的集合,{x|x=6n-1,n∈N}={-1,5,11,…,6n-1},表示由部分奇 数组成的集合,∴q⇒p,p⇒/q,∴p是q的必要不充分条件,故③满足题意; 对于④,p的限定范围是某中学高一全体学生,q的限定范围是某中学全体学生,∴p⇒q,q⇒/p,∴p是q的充 分不必要条件,故④不满足题意. ∴满足p是q的必要不充分条件的是①③. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026安徽多校月考]已知p:灯泡L亮,q:开关S2闭合,则符合p是q的必要不充分条件的电路图是　      ( )  　       　          C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　对于A,灯泡L亮,开关S2一定闭合;开关S2闭合,灯泡L不一定亮,还需同时闭合S1,S3,即p⇒q,q⇒ /p, 所以p是q的充分不必要条件,A不符合. 对于B,灯泡L亮,开关S2不一定闭合,同时闭合S1,S3时灯泡也亮;开关S2闭合,灯泡L不一定亮,还需闭合S3, 即p⇒/q,q⇒/p, 所以p是q的既不充分也不必要条件,B不符合. 对于C,灯泡L亮,开关S2不一定闭合,同时闭合S1,S3时灯泡也亮;开关S2闭合,灯泡L一定亮,即p⇒/q,q⇒p, 所以p是q的必要不充分条件,C符合. 对于D,灯泡L亮,开关S2一定闭合;开关S2闭合,灯泡L不一定亮,还需闭合S1或S3,即p⇒q,q⇒/p, 所以p是q的充分不必要条件,D不符合. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026河北沧州两校联考]如果对于任意实数x,[x]表示不超过x的最大整数,例如[π]=3,[0.6]=0, [-1.6]=-2, 那么“|x-y|<1”是“[x]=[y]”的( ) A.充分不必要条件　     B.必要不充分条件 C.充要条件　     D.既不充分也不必要条件     B     解析　　对于|x-y|<1,不妨取x=-0.4,y=0.5,则|x-y|=|-0.4-0.5|=0.9<1,而[x]=[-0.4]=-1,[y]=[0.5]=0, 此时[x]≠[y],故充分性不成立; 当[x]=[y]时,x,y∈[n,n+1),n∈Z,则-y∈(-n-1,-n],则x-y∈(-1,1),所以|x-y|<1,故必要性成立, 故为必要不充分条件. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　必要条件与充分条件的探究与证明 4.[多选题][2026江苏苏州实验中学月考]有限集S中元素的个数记作card(S),设A,B都为有限集,则下列命 题是真命题的是 ( ) A.card(A∪B)=card(A)+card(B)是A∩B=⌀的充要条件 B.card(A)<card(B)+1是A⊆B的必要不充分条件 C.card(A)≤card(B)-1是A⊆B的充分不必要条件 D.card(A)=card(B)是A=B的充要条件     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　对于A,A∩B=⌀等价于card(A∩B)=0,又card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B),所以card(A∩B) =0等价于card(A∪B)=card(A)+card(B),故card(A∪B)=card(A)+card(B)是A∩B=⌀的充要条件,故A正确. 对于B,card(A)<card(B)+1只是说明集合A和B元素个数的关系,不能得到A⊆B; A⊆B说明集合A中的元素都是集合B中的元素,则card(A)≤card(B)⇒card(A)<card(B)+1, 即card(A)<card(B)+1是A⊆B的必要不充分条件,故B正确. 对于C,card(A)≤card(B)-1只是说明集合A和B元素个数的关系,不能得到A⊆B, 不妨令A={0,1},B={2,3,4,5},则card(A)=2,card(B)=4,满足card(A)≤card(B)-1, 但集合A,B没有任何关系,故card(A)≤card(B)-1⇒/ A⊆B,故C错误. 对于D,A=B即集合A与B中的元素完全相同,则A=B⇒card(A)=card(B), 两个集合的元素个数相同,并不意味着它们的元素相同, 故card(A)=card(B)是A=B的必要不充分条件,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2025河南创新发展联盟月考]已知全集U={x∈N|x≤4},集合A,B均为U的子集,且∁UA={x|x2-5x+6=0}, B={2a,a,3}. (1)求A; (2)证明:“a=1”是“A∪B=U”的充分不必要条件. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)依题意得U={0,1,2,3,4}. 由x2-5x+6=0,得x=2或x=3,则∁UA={2,3},所以A={0,1,4}. (2)证明:先证充分性:当a=1时,B={2,1,3},则A∪B={0,1,2,3,4}=U,所以充分性成立; 再证不必要性:由A∪B=U,得2∈B, 当2a=2,即a=1时,B={2,1,3},A∪B=U, 当a=2时,B={4,2,3},A∪B=U, 故A∪B=U时,a=1或a=2,所以必要性不成立. 综上,“a=1”是“A∪B=U”的充分不必要条件. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　利用必要条件与充分条件求参数 6.[2025福建泉州联考]甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏,甲、乙、丙共同写出三个集合:A ={x|0<Δx<2},B={x|-3≤x≤5},C= x 0<x<  ,然后他们三人各用一句话来正确描述“Δ”中的数字,再 让丁同学找出该数字,以下是甲、乙、丙三位同学的描述: 甲:此数为小于5的正整数; 乙:x∈B是x∈A的必要不充分条件; 丙:x∈C是x∈A的充分不必要条件, 则“Δ”中的数字是 ( ) A.3或4　    B.2或3　    C.1或2　    D.1或3     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　因为此数为小于5的正整数,所以A={x|0<Δx<2}= x 0<x<  , 因为x∈B是x∈A的必要不充分条件,x∈C是x∈A的充分不必要条件, 所以C⫋A,A⫋B, 故 > 且 ≤5,解得Δ∈ , 故“Δ”中的数字是1或2. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026江西南昌洪都中学月考]已知集合A={x∈Z|点(x-1,x-a)不在第一、三象限内},集合B={t|1≤t<3}, 若“y∈B”是“y∈A”的必要条件,则实数a的取值范围是_____________.     (0,3)     解析　由“y∈B”是“y∈A”的必要条件,得A⊆B, 由A中元素为整数,得A可能为{1}或{2}或{1,2}, 由点(x-1,x-a)不在第一、三象限内, 得 或  即 ①或 ② 当a<1时,①无解,由②得a≤x≤1,此时A={x∈Z|a≤x≤1},故A={1},则0<a<1; 当a≥1时,由①②得1≤x≤a,此时A={x∈Z|1≤x≤a},又1∈A,3∉A,故1≤a<3. 综上,实数a的取值范围是(0,3). 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026广东部分学校联考]已知集合A={x|-2≤x-1≤5},集合B={x|m+1≤x≤2m-1}(m∈R). (1)若5∈B且6∉B,求实数m的取值范围; (2)设p:x∈A,q:x∈(∁RB),若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围. 解析    (1)由5∈B,可得m+1≤5≤2m-1,解得3≤m≤4, 若6∈B,则m+1≤6≤2m-1,解得 ≤m≤5,则当6∉B时,m< 或m>5,(利用补集思想求6∉B时m的范围) 所以实数m的取值范围为 . (2)因为p是q的充分不必要条件,所以A⫋(∁RB), 由题意得A={x|-2≤x-1≤5}={x|-1≤x≤6},∁RB={x|x<m+1或x>2m-1}. ①当B=⌀时,m+1>2m-1,解得m<2,则∁RB=R,满足题意; ②当B≠⌀,即m≥2时,2m-1<-1或m+1>6,所以m>5. 综上,实数m的取值范围为(-∞,2)∪(5,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 方法技巧　解决集合的求参问题时,当从正面求解较复杂、情况较多时,可考虑先求问题的反面对应的 参数的集合,再求其补集便可得原问题的答案. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2025上海建平中学月考]已知集合A={x|x3-2x2-x+2=0},非空集合B={x|2ax2-3(a2+1)x+4=0}. (1)若A∩B={2},求a的取值集合; (2)若x∈A是x∈B的必要条件,求a的取值集合. 解析    (1)由x3-2x2-x+2=0得(x-2)·(x2-1)=0(高次方程一般利用因式分解法求解), 解得x=2或x=±1,所以A={-1,1,2}.因为A∩B={2},所以2∈B且±1∉B, 则8a-6(a2+1)+4=0,即(3a-1)(a-1)=0,解得a= 或a=1, 当a=1时,2ax2-3(a2+1)x+4=0即2x2-6x+4=0,解得x=1或x=2,即B={1,2},不符合题意,舍去; 当a= 时,经检验,满足题意.故a的取值集合为 . (2)若x∈A是x∈B的必要条件,则B⊆A且B≠⌀, 所以B={-1}或{1}或{2}或{-1,2}或{1,2}或{-1,1}. ①由(1)知当B={1,2}时,a=1; 第1讲　描述运动的基本概念 ②当B={1}时,2a-3(a2+1)+4=0,解得a=- 或a=1, 由(1)知a=1不成立, 当a=- 时,2ax2-3(a2+1)x+4=0即- x2- x+4=0,此时Δ= -4×4× ≠0(一元二次方程恰有两个相等的 实数根时Δ=0),不符合题意,舍去; ③当B={2}时,由(1)可得a= 或a=1,且a=1不符合题意,舍去, 当a= 时,2ax2-3(a2+1)x+4=0即 x2- x+4=0,此时Δ= -4×4× ≠0,不符合题意,舍去; ④当B={-1}时,2ax2-3(a2+1)x+4=0即2a+3(a2+1)+4=0,此时方程无解,不符合题意,舍去; ⑤由④知B={-1,2}和B={-1,1}均不成立,舍去. 综上所述,a的取值集合为{1}. 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　思维迁移能力创新 10.[2025湖北十堰竹溪二中月考]设a,b,c分别是△ABC的三条边的长,且a≤b≤c.我们知道,如果△ABC 为直角三角形,那么a2+b2=c2(勾股定理).反过来,如果a2+b2=c2,那么△ABC为直角三角形(勾股定理的逆定 理).由此可知,△ABC为直角三角形的充要条件是a2+b2=c2.请利用三条边的长a,b,c给出△ABC为锐角三 角形的一个充要条件:________________.     a2+b2>c2     第1讲　描述运动的基本概念 解析　△ABC为锐角三角形的一个充要条件是a2+b2>c2.证明如下: 必要性:在锐角△ABC中,∠C是锐角,设AB,AC,BC边的长分别为c,b,a,作AD⊥BC,D为垂足,如图1, 显然AB2=AD2+DB2=AC2-CD2+(CB-CD)2=AC2-CD2+CB2+CD2-2CB·CD=AC2+CB2-2CB·CD<AC2+CB2,即c2<a 2+b2. 充分性:在△ABC中,a2+b2>c2,∴∠C不是直角,设AB,AC,BC边的长分别为c,b,a, 假设∠C为钝角,如图2,作AD⊥BC,交BC的延长线于点D,则AB2=AD2+BD2=AC2-CD2+(BC+CD)2=AC2-CD2 +BC2+CD2+2BC·CD=AC2+BC2+2BC·CD>AC2+BC2,即c2>b2+a2,与“a2+b2>c2”矛盾,故∠C为锐角,即△ ABC为锐角三角形.        第1讲　描述运动的基本概念 $