1.2.1 必要条件与充分条件-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦“必要条件与充分条件”核心知识点，从命题“若p则q”切入，先阐释必要条件（q对p成立的必要性，关联性质定理）与充分条件（p对q成立的充分性，关联判定定理），再整合为充要条件（p⇔q，关联数学定义），构建“定义-辨析-应用”学习支架，含概念解析、例题示范及跟进训练。 该资料以逻辑推理为主线，通过典型命题判断（如四边形关系）、参数范围求解（集合关系转化）、充要条件证明（方程根的符号）等实例，培养学生逻辑推理与数学运算素养。分层作业设计兼顾基础与提升，课中助力教师引导学生构建逻辑链条，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

§2　常用逻辑用语 2.1　必要条件与充分条件 学习任务 核心素养 1．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系．(重点) 2．通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系．(重点) 3．通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系．(重点、难点) 1．通过必要条件、充分条件的判断，提升逻辑推理素养． 2．借助必要条件、充分条件的应用，培养数学运算素养． 1．什么是必要条件？ 2．什么是充分条件？ 3．什么是充要条件？ 知识点1　必要条件与性质定理 一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称q是p的必要条件．也就是说，一旦q不成立，p一定也不成立，即q对于p的成立是必要的． 知识点2　充分条件与判定定理 一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称p是q的充分条件． 综上，对于真命题“若p，则q”，即p⇒q时，称q是p的必要条件，也称p是q的充分条件． 1．(1)若p是q的充分条件，这样的条件p是唯一的吗？ (2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q．这五种表述形式等价吗？ [提示]　(1)不唯一，如1＜x＜3和x＞5，2＜x＜7等都是x＞0的充分条件． (2)这五种表述形式是等价的． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件． (　　) (2)若p是q的充分条件，则p是唯一的． (　　) (3)若q不是p的必要条件，则“p⇏q”成立． (　　) (4)“x>1”是“x>0”的充分条件． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．设集合M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的______条件．(填“充分”或“必要”) [答案]　必要 知识点3　充要条件 (1)一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q． (2)p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”，或“p与q等价”． (3)当p是q的充要条件时，q也是p的充要条件． 2．(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？ (2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？ [提示]　(1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q． (2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论． ②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论． 3．“x<2”是“<0”的(　　) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 [答案]　A 4．设p：“四边形为菱形”，q：“四边形的对角线互相垂直”，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [答案]　A 5．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的________条件． [答案]　充要 类型1　充分、必要、充要条件的判断 【例1】　【链接教材P17例3】 下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件) (1)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝； (2)p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分； (3)p：xy>0，q：x>0，y>0； (4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形． [解]　(1)因为x＝1或x＝2⇒x－1＝，x－1＝⇒x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件． (2)若一个四边形是正方形，则它的对角线互相垂直平分，即p⇒q．反之，若四边形的对角线互相垂直平分，该四边形不一定是正方形，即q⇏p． 所以p是q的充分不必要条件． (3)因为xy>0时，x>0，y>0或x<0，y<0． 故p⇏q，但q⇒p． 所以p是q的必要不充分条件． (4)因为四边形的对角线相等⇏四边形是平行四边形，四边形是平行四边形⇏四边形的对角线相等， 所以p是q的既不充分也不必要条件． 【教材原题·P17例3】 例3　在下列各题中，试判断p是q的什么条件． (1)p：A⊆B，q：A∩B＝A； (2)p：a＝b，q：|a|＝|b|； (3)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形． [解]　(1)因为命题“若A⊆B，则A∩B＝A”为真命题，并且“若A∩B＝A，则A⊆B”也为真命题，所以p是q的充要条件； (2)因为“a＝b”⇒“|a|＝|b|”，但是“|a|＝|b|”不能推出“a＝b”，例如，“|1|＝|－1|”，而“1≠－1”，所以p是q的充分条件，但不是必要条件； (3)因为“四边形的对角线相等”不能推出“四边形是平行四边形”，并且“四边形是平行四边形”也不能推出“四边形的对角线相等”，所以p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件． 　充分、必要、充要条件的判断方法 (1)定义法 若p⇒q，q⇏p，则p是q的充分不必要条件； 若p⇏q，q⇒p，则p是q的必要不充分条件； 若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件； 若p⇏q，q⇏p，则p是q的既不充分也不必要条件． (2)集合法 对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下： 若A⊆B，则p是q的充分条件； 若A⊇B，则p是q的必要条件； 若A＝B，则p是q的充要条件； 若A⫋B，则p是q的充分不必要条件； 若A⫌B，则p是q的必要不充分条件． [跟进训练] 1．(1)已知m，n∈R，则“－1＝0”是“m－n＝0”成立的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)(多选)下列选项中，是“a＞1”的充分不必要条件的是(　　) A．a＞2 　 B．a＞3 C．a＜2 　 D．a＜3 (1)A　(2)AB　[(1)由－1＝0可得到m－n＝0，但m－n＝0成立，－1＝0不一定成立，如m＝n＝0时，－1＝0不成立， 因此“－1＝0”是“m－n＝0”的充分不必要条件．故选A． (2)对于A，{a|a＞2}是{a|a＞1}的真子集，故“a＞2”是“a＞1”的充分不必要条件，故A正确； 对于B，{a|a＞3}是{a|a＞1}的真子集，故“a＞3”是“a＞1”的充分不必要条件，故B正确； 对于C，a＜2不能推出a＞1，a＞1也不能推出a＜2，故“a＜2”是“a＞1”的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D，同理可知“a＜3”是“a＞1”的既不充分也不必要条件，故D错误．故选AB．] 类型2　必要条件、充分条件的应用 【例2】　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围． [解]　由p是q的充分不必要条件，得集合{x|－2≤x≤10}是集合{x|1－m≤x≤1＋m}的真子集， 所以或 解得m≥9． 所以实数m的取值范围是m≥9． [母题探究] 1．把本例中的“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”，其他条件不变，试求实数m的取值范围． [解]　由p是q的必要不充分条件，得集合{x|1－m≤x≤1＋m}是集合{x|－2≤x≤10}的真子集， 当＝∅，即m<0时，符合题意； 当≠∅，即m≥0时， 可得 或 解得0≤m≤3． 综上得，实数m的取值范围是m≤3． 2．本例中，是否存在实数m，使p是q的充要条件，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． [解]　若p是q的充要条件， 则＝， 即 由于该方程组无解，所以实数m不存在． 　利用必要条件与充分条件求参数的取值范围的步骤 (1)化简p与q； (2)把p与q之间的关系转化为相应集合之间的关系； (3)利用集合之间的关系建立不等式； (4)解不等式求出参数的取值范围． 类型3　充要条件的探求与证明 【例3】　求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是<0． [证明]　①必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以两根之积小于零，即<0． ②充分性：由<0，得ac<0，所以Δ＝b2－4ac>0，所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，设这两个实根分别为x1，x2，由一元二次方程根与系数的关系得x1x2＝<0，所以两根异号． 综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是<0． 　充要条件的证明思路 (1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q⇒p，“必要性”是p⇒q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反． (2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明． 注意：证明时一定要注意证明的方向性，分清充分性与必要性的证明方向． [跟进训练] 2．求证：关于x的方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0有一根为1的充要条件是a＋b＋c＋d＝0． [证明]　充分性：∵a＋b＋c＋d＝0， ∴a×13＋b×12＋c×1＋d＝0成立， 故x＝1是方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0的一个根． 必要性：关于x的方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0有一个根为1， ∴a＋b＋c＋d＝0． 综上所述，关于x的方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0有一根为1的充要条件是a＋b＋c＋d＝0． 1．设x∈R，则“1<x<2”是“1<x<3”的(　　) A．必要不充分条件　　 B．充分不必要条件 C．充要条件 　 D．既不充分也不必要条件 B　[“1<x<2”⇒“1<x<3”，反之不成立．即“1<x<2”是“1<x<3”的充分不必要条件．故选B．] 2．“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的(　　) A．充分不必要条件 　 B．必要不充分条件 C．充要条件 　 D．既不充分也不必要条件 B　[由两个三角形全等可得：两个三角形面积相等．反之不成立． 即“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的必要不充分条件．故选B．] 3．(教材P23习题1—2A组T2(2)改编)设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的(　　) A．充分不必要条件 　 B．必要不充分条件 C．充要条件 　 D．既不充分也不必要条件 D　[若a＋b>0，取a＝3，b＝－2，则ab>0不成立；反之，若ab>0，取a＝－2，b＝－3，则a＋b>0也不成立，因此“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件．] 4．在判定定理中，条件是结论的________条件． [答案]　充分 5．若“x<－1”是“x≤a”的必要不充分条件，则a的取值范围是________． {a|a<－1}　[若“x<－1”是“x≤a”的必要不充分条件， 则{x|x≤a}⫋{x|x<－1}，则a<－1， 即实数a的取值范围是{a|a<－1}．] 课时分层作业(六)　必要条件与充分条件 一、选择题 1．“x>0”是“x≠0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[若x>0，则x≠0． 若x≠0，则x＞0或x＜0， 所以x>0是x≠0的充分不必要条件，故选A．] 2．(教材P18练习T2(1)改编)若a∈R，则“a<1”是“>1”成立的(　　) A．充分不必要条件 　 B．必要不充分条件 C．充要条件 　 D．既不充分也不必要条件 B　[由>1，得0<a<1，因此，“a<1”是“>1”的必要不充分条件，故选B．] 3．(多选)x2＝1的充分不必要条件是(　　) A．x＝±1 　 B．x＝1 C．x＝－1 　 D．x≠1且x≠－1 BC　[解方程x2＝1，得x＝±1，所以x＝1是x2＝1的充分不必要条件，x＝－1也是x2＝1的充分不必要条件．故选BC．] 4．设a∈R，则a＞4的一个必要不充分条件是(　　) A．a＞1 　 B．a＜1 C．a＞5 　 D．a＜5 A　[由a＞4可得a＞1，但a＞1成立，a＞4不一定成立， 因此“a＞1”是“a＞4”的必要不充分条件．故选A．] 5．“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　[法一：若a2＝b2，则当a＝－b≠0时，有a2＋b2＝2a2，2ab＝－2a2，即a2＋b2≠2ab，所以由a2＝b2D/⇒a2＋b2＝2ab；若a2＋b2＝2ab，则有a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2＝0，所以a＝b，则有a2＝b2，即a2＋b2＝2ab⇒a2＝b2．所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B． 法二：因为“a2＝b2”⇔“a＝－b或a＝b”，“a2＋b2＝2ab”⇔“a＝b”，所以本题可以转化为判断“a＝－b或a＝b”与“a＝b”的关系，又“a＝－b或a＝b”是“a＝b”的必要不充分条件，所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B．] 二、填空题 6．在△ABC中，“∠B＝∠C”是“△ABC是等腰三角形”的________条件． [答案]　充分不必要 7．若“1－x<0”是“x>a”的充分条件，则实数a的取值范围是________． a≤1　[由题意得，⊆，故a≤1．] 8．在下列四个结论中，正确的是________．(填序号) ①“x≠0”是“x＋|x|＞0”的必要不充分条件； ②已知a，b∈R，则“|a＋b|＝|a|＋|b|”的充要条件是ab＞0； ③“a≠0，Δ＝b2－4ac＜0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0无实数根”的充要条件． ①③　[对于①，当x<0时，x＋＝0，且当x＋|x|＞0时，x＞0，可推出x≠0，故①正确； 对于②，当ab＝0时，＝，故②错误； 只有①③正确．] 三、解答题 9．(源自人教B版教材)判断下列各题中，p是否是q的充分条件，q是否是p的必要条件： (1)p：x∈Z，q：x∈R； (2)p：x是矩形，q：x是正方形． [解]　(1)因为整数都是有理数，从而一定也是实数，即p⇒q，因此p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)因为矩形不一定是正方形，即p⇏q，因此p不是q的充分条件，q不是p的必要条件． 10．求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2． [证明]　(1)充分性：因为m≥2，所以Δ＝m2－4≥0， 方程x2＋mx＋1＝0有两个实根，设两个实根为x1，x2， 由根与系数的关系知x1x2＝1>0， 所以x1，x2同号； 又因为x1＋x2＝－m≤－2， 所以x1，x2同为负根． (2)必要性：因为x2＋mx＋1＝0的两个实根x1，x2均为负，且x1x2＝1， 所以m－2＝－(x1＋x2)－2＝－－2＝＝－≥0， 所以m≥2， 综合(1)，(2)知命题得证． 11．关于x的方程x2－4x＋a＝0没有实数根的一个充分不必要条件是(　　) A．a＞4 　 B．a＜4 C．a＞5 　 D．a＜5 C　[方程x2－4x＋a＝0没有实数根的充要条件是Δ＝16－4a＜0，即a＞4．又a＞4的一个充分不必要条件是a＞5，故选C．] 12．(多选)设计如图所示的四个电路图，若p：开关S闭合，q：灯泡L亮，则p是q的充要条件的电路图是(　　) A　　　　B　　　　　C　 　　　D BD　[由题知，电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；电路图B中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S一定闭合，故B中p是q的充要条件；电路图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；电路图D中，开关S闭合则灯泡L亮，灯泡L亮则一定有开关S闭合，故D中p是q的充要条件．故选BD．] 13．已知集合A＝{x|x>5}，集合B＝{x|x>a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________． a<5　[由题意得，A是B的真子集，故a<5．] 14．下列不等式：①x<1；②0<x<1；③－1<x<0；④－1<x<1；⑤x>－1．其中，可以作为x2<1的一个充分不必要条件的所有序号为________；可以作为x2<1的一个必要不充分条件的所有序号为________． ②③　①⑤　[由x2<1，得－1<x<1，而{x|0<x<1}⫋{x|－1<x<1}，{x|－1<x<0}⫋{x|－1<x<1}，所以0<x<1和－1<x<0都可作为x2<1的一个充分不必要条件．因为{x|－1<x<1}⫋{x|x<1}，{x|－1<x<1}⫋{x|x>－1}，所以x<1和x>－1均可作为x2<1的一个必要不充分条件．] 15．求证：方程x2＋ax＋1＝0(x∈R)的两实根的平方和大于3的必要条件是|a|>，这个条件是其充分条件吗？为什么？ [证明]　∵方程x2＋ax＋1＝0(a∈R)有两实根， 则Δ＝a2－4≥0，∴a≤－2或a≥2． 设方程x2＋ax＋1＝0的两实根分别为x1，x2， 则＝(x1＋x2)2－2x1x2＝a2－2＞3． ∴|a|＞>． ∴方程x2＋ax＋1＝0(a∈R)的两实根的平方和大于3的必要条件是|a|>； 但a＝2时＝2＜3．因此这个条件不是其充分条件． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $