第1章 1.2 集合的基本关系(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦“集合的基本关系”核心知识点，涵盖子集、真子集、相等关系及子集个数计算、已知关系求参数等内容。通过题组从基础辨析到综合应用逐步递进，衔接预备知识与进阶内容，构建清晰学习支架。 其亮点在于结合易错题警示、多选题及数学文化创新题型，如通过空集讨论培养数学思维的推理严谨性，用《九章算术》问题发展数学眼光的抽象能力与数学语言的模型意识。学生能深化理解，教师可利用分层练习提升教学效果。

第一章 预备知识 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 1.2　集合的基本关系 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　集合的基本关系 1.[教材习题改编]有下列关系式:①{a,b}={b,a};②{a,b}⊆{b,a};③⌀={⌀};④{0}=⌀;⑤⌀⊆{0};⑥0∈ {0}.其中不正确的是 ( ) A.①③④　    B.②④⑤　    C.②⑤⑥　    D.③④     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　对于①,由集合中元素的无序性可知①正确; 对于②,由①知{a,b}={b,a},根据任何一个集合是它本身的子集可知②正确; 对于③④,⌀是不含有任何元素的集合,而{⌀}是以空集为元素的一个集合,{0}是只有一个元素0的集 合,故③④错误; 对于⑤,空集是任何集合的子集,故⑤正确; 对于⑥,0是{0}的一个元素,故⑥正确. 综上,不正确的有③④. 第1讲　描述运动的基本概念 2.能正确表示集合M={x∈R|0≤x≤2}和集合N={x∈R|x2-x=0}关系的Venn图是 ( )            B     解析　　由x2-x=0得x=1或x=0,故N={0,1},易得N⊆M,其对应的Venn图如选项B所示. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[易错题][2026湖南长沙第一中学月考]已知集合A={-1,0,2},B={a|a2=1},则 ( ) A.{0}∈A　    B.0∈B C.{-1}⊆B　    D.B⊆A     C     解析　    B={a|a2=1}={-1,1}. {0}是集合A的子集,故{0}⊆A,A错误;0不是集合B中的元素,故0∉B,B错误;{-1}是集合B的子集,故{-1} ⊆B,C正确;因为1∈B,1∉A,所以B⊆A不成立,D错误. 易错警示　属于(∈)与包含(⊆)的区别:元素与集合之间用“∈”,集合与集合之间用“⊆”,解题时需 注意是元素与集合之间的关系还是集合与集合之间的关系. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026河北邢台一中月考]已知集合A=  ∈N+ x∈N+ ,B= x∈N+  ∈N+ ,则 ( ) A.A与B无包含关系　    B.A⫋B C.B⫋A　     D.A=B     A     解析　　当x=2时, = =6; 当x=3时, = =3; 当x=4时, = =2; 当x=7时, = =1, 所以A={6,3,2,1},B={2,3,4,7}, 所以集合A与B没有包含关系. 第1讲　描述运动的基本概念 解后反思　本题求解时要注意集合A与B的区别,A中的代表元素为 ,且 为正整数,即x-1为6的正 约数,B中的代表元素为x,且x为正整数,需保证 为正整数. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[多选题][2026四川南充嘉陵第一中学月考]下列命题中正确的有 ( ) A.集合{a,b}的真子集是{a},{b} B.{x|x是菱形}⊆{x|x是平行四边形} C.设a,b∈R,A={1,a},B={-1,b},若A=B,则a-b=-2 D.⌀∈{x|x2+1=0,x∈R}     BC     解析　　对于A,集合{a,b}的真子集是{a},{b},⌀,故A不正确; 对于B,菱形一定是平行四边形,故B正确; 对于C,由题意得a=-1,b=1,故a-b=-2,故C正确; 对于D,因为x∈R,所以x2+1=0无解,所以{x|x2+1=0,x∈R}=⌀,故D不正确. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　子集(真子集)的个数 6.[2025江西上饶月考]英文单词mississippi的所有字母组成的集合的子集个数为 ( ) A.14　    B.15　    C.16　    D.17     C     解析　　题中单词所有字母组成的集合为{m,i,s,p},该集合的子集个数为24=16. 规律总结　若一个集合中含有n个元素,则它有2n个子集,(2n-1)个真子集,(2n-2)个非空真子集. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026江西上饶鄱阳一中月考]集合M={2,3,4},N={3,6},定义M*N={(a,b)|a∈M,b∈N},则M*N的非空真 子集的个数为 ( ) A.62　    B.31　    C.63　    D.30     A     解析　　由新定义知M*N={(2,3),(2,6),(3,3),(3,6),(4,3),(4,6)}, 所以M*N的非空真子集的个数为26-2=62. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026江西景德镇乐平中学月考]已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={1,2,3,4,5},则满足条件A⊆C且C⫋B的 集合C的个数为 ( ) A.4　    B.3　    C.8　    D.7     D     解析　    解法一:A={x|x2-3x+2=0}={1,2},由A⊆C,得1∈C,2∈C. 由C⫋B,知集合C中的元素个数有3种情况: ①当集合C中有2个元素时,C只能是{1,2},共1个; ②当集合C中有3个元素时,C可以是{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},共3个; ③当集合C中有4个元素时,C可以是{1,2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,3,5},共3个. 所以满足A⊆C且C⫋B的集合C的个数为1+3+3=7. 解法二:A={x|x2-3x+2=0}={1,2},由A⊆C知集合C中一定有元素1和2,所以求满足A⊆C且C⫋B的集合C的 个数,即求集合{3,4,5}的真子集的个数,为23-1=7. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　已知集合间的关系求参数 9.[2026江西九江第一中学素质检测]设集合A={-1,m},B={-1,1,m2},若A是B的子集,则实数m=( ) A.-1　    B.0　    C.1　    D.±1     B     解析　　因为A⊆B,所以m=1或m=m2,且m≠-1,解得m=1或m=0. 当m=1时,m2=1,不符合集合中元素的互异性,舍去; 当m=0时,A={-1,0},B={-1,1,0},A⊆B,满足题意,故m=0. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026江西宜春期中]设a,b∈R,集合A={a,2 025},B={x|x(x-a)(x+b)=0},若A=B,则a+b=___________. 　-2 025     解析　由x(x-a)(x+b)=0得x=0或x=a或x=-b, 又A={a,2 025},A=B,∴0∈A,则a=0, ∴-b=2 025,则b=-2 025, 故a+b=0-2 025=-2 025. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[易错题][2026江苏镇江一中、镇江中学月考]已知集合A={x|a<2x<2a-1},B=[2-a,1+a].若A⫋B,则实 数a的取值范围是___________.      ∪      解析　由B=[2-a,1+a],可得2-a<1+a(易错点),即a> . 当A=⌀时(易错点),a≥2a-1,得a≤1, 又a> ,所以 <a≤1; 当A≠⌀时,A= x  <x<  , 第1讲　描述运动的基本概念 则 解得a≥ , 又a> ,所以a≥ . 综上,实数a的取值范围是  ,1 ∪ . 易错警示    (1)对于区间(a,b),[a,b],(a,b],[a,b),要注意a<b; (2)空集是任何非空集合的真子集,在由A⫋B求参数的取值范围时,注意不要忽视A=⌀这一种特殊情况. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2026天津南仓中学月考]已知集合M={x|mx2+2x+1=0}. (1)若M有两个子集,求m的取值范围; (2)若M至多有两个子集,求m的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)M有两个子集等价于M中只有一个元素. 当m=0时(易错点),mx2+2x+1=0即为2x+1=0,解得x=- ,故M= ,符合题意; 当m≠0时,若M中只有一个元素,则Δ=4-4m=0,即m=1. 综上,m=0或m=1. (2)若M至多有两个子集,则M中至多有一个元素, 当M中只有一个元素时,由(1)知m=0或m=1; 当M为⌀时, 解得m>1. 综上,m的取值范围为{m|m≥1或m=0}. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 1.2　集合的基本关系 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　集合的基本关系 1.[2026山东青岛实验高级中学月考]集合M={x|x=5k-2,k∈Z},P={x|x=5n+3,n∈Z},S={x|x=10m+3,m∈Z} 之间的关系是( ) A.S⫋P⫋M　    B.S=P⫋M C.S⫋P=M　    D.P=M⫋S     C     解析　    解法一:∵M={x|x=5k-2,k∈Z},P={x|x=5n+3,n∈Z}={x|x=5(n+1)-2,n∈Z}, S={x|x=10m+3,m∈Z}={x|x=5(2m+1)-2,m∈Z}, ∴S⫋P=M. 解法二:将M,P,S中的元素分别列举出来:M={…,-7,-2,3,8,13,18,23,…},P={…,-7,-2,3,8,13,18,23,…},S= {…,-7,3,13,23,…},∴S⫋P=M. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2026湖南永州期中]设集合A={x|x2-8x+15=0},集合B={x|ax-1=0},若B⊆A,实数a的取值集合为 C,则下列命题正确的为 ( ) A. ⊆C　     B.C=  C.C的非空子集有7个　    D.C的子集有4个     AC     解析　　由题可得A={3,5}. 当B=⌀时,a=0; 当B≠⌀时,B= ,由B⊆A得 =3或 =5,解得a= 或a= . 所以集合C= ,故A正确,B错误. 集合C的子集个数为23=8,非空子集个数为23-1=7,故C正确,D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2025北京通州期中]设集合M为非空集合,且M⊆{x∈N|x≥3},若m∈M,则 ∈M,那么满足上述条件 的集合M的个数为 ( ) A.12　    B.15　    C.31　    D.32     B     解析　　∵72=3×24=4×18=6×12=8×9, ∴满足“m∈M,则 ∈M”的集合M是{3,24,4,18,6,12,8,9}的子集,但3和24,4和18,6和12,8和9四组中的 两个数需同时出现, ∴将集合{3,24,4,18,6,12,8,9}看作有4个元素,则其非空子集的个数为24-1=15. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　已知集合间的关系求参数 4.[多选题][2026江苏南通通州高级中学阶段练习]已知非空集合A={x|x2+ax+b=0},且A⊆{-1,2},则a+b的 值可以是 ( ) A.4　    B.3　    C.-3　    D.0     BCD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　因为非空集合A⊆{-1,2},所以A={-1}或A={2}或A={-1,2}. 当A={-1}时,(-1)2-a+b=0且Δ=a2-4b=0,所以a=2,b=1,则a+b=3; 当A={2}时,22+2a+b=0且Δ=a2-4b=0,所以a=-4,b=4,则a+b=0; 当A={-1,2}时,  解得a=-1,b=-2,则a+b=-3. 综上,a+b的值可以是3,-3,0. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2025江西景德镇一中期中]已知集合A={x|ax≤4},B={4, },若B⊆A,则实数a的取值范围为( ) A.{a|a≤1}　    B.{a|a≤-1} C.{a|a≤-2}　    D.{a|a≤2}     A     解析　　当a=0时,ax≤4即0≤4,显然恒成立,故A=R,满足B⊆A; 当a>0时,由ax≤4得x≤ , 故A= x x≤  , 因为B⊆A,所以 ⇒0<a≤1; 当a<0时,由ax≤4得x≥ , 第1讲　描述运动的基本概念 故A= x x≥  , 因为B⊆A,所以 ⇒a<0. 综上,实数a的取值范围为{a|a≤1}. 考场速决　由B⊆A得4∈A, ∈A,所以4a≤4,且 a≤4,所以a≤1. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026河南郑州外国语学校月考]下列结论正确的个数是 ( ) ①满足{x|x2-2x-3=0}⊆A⫋{-1,0,1,3}的集合A有3个;②若 ={a2,a+b,0},则a2 025+b2 025的值为1或-1;③ 已知集合A={x|ax2+x+2=0,a∈R}中至多只有1个元素,则a≥ ;④设集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B=[5,16], 若A⫋B,则2≤a≤7. A.1　    B.2　    C.3　    D.4     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　对于①,{x|x2-2x-3=0}={-1,3},则满足题意的集合A的个数是{0,1}的真子集的个数,为22-1=3,① 正确. 对于②,由集合 a, ,1 知a≠0,a≠1,由 a, ,1 ={a2,a+b,0},得 =0,则b=0,所以a2=1,所以a=-1,故a2 025+b2 02 5=-1,②错误. 对于③,当a=0时,A={-2},符合题意;当a≠0时,Δ=1-8a≤0,解得a≥ . 因此a≥ 或a=0,③错误. 对于④,当A=⌀时,2a+1>3a-5,解得a<6; 当A≠⌀时, 或  解得6≤a≤7,故a≤7,④错误. 故正确结论的个数为1. 第1讲　描述运动的基本概念 7.已知a,x∈R,集合A={2,4,x2-5x+9},B={3,x2+ax+a},C={x2+(a+1)x-3,1}. (1)求使A={2,3,4}的x的值; (2)求使2∈B,B⫋A的a,x的值; (3)求使B=C的a,x的值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析        (1)∵A={2,4,x2-5x+9}={2,3,4}, ∴x2-5x+9=3,解得x=2或x=3. (2)∵2∈B,B⫋A,∴  解得 或 经检验,均符合题意. (3)∵B=C,∴  解方程②得x=-1或x=1-a. 把x=-1代入①,解得a=-6; 把x=1-a代入①,解得a=-2,则x=3. 经检验, 和 都符合题意. 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　以数学文化为背景考查集合的基本关系 8.[2025辽宁名校联盟联考]《九章算术》第八章“方程”中有一问题:今有五雀、六燕,集称之衡,雀俱 重,燕俱轻.一雀一燕交而处,衡适平.并燕、雀重一斤.问燕、雀一枚各重几何?其大意是:今有5只雀、6 只燕,将它们分别聚集在一起用衡器称重,聚在一起的雀重,燕轻.将1只雀、1只燕交换位置而放,质量相 等.5只雀、6只燕的质量之和为一斤.问燕、雀每只各重多少斤? (1)设每只雀重n斤,每只燕重m斤,请列方程组求解这个问题; (2)在(1)的条件下,设集合A= x -m≤ ≤n ,B={x|2p-1≤x≤p+1},若B⫋A,求p的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)根据题意,可列方程组为 解得  所以每只燕重 斤,每只雀重 斤. (2)由(1)可得集合A= x - ≤ ≤  ={x|-3≤x≤4}. ①当B=⌀时,显然B⫋A,故p+1<2p-1,解得p>2; ②当B≠⌀时,如图所示,   第1讲　描述运动的基本概念 要使B⫋A,则 或  解得-1≤p≤2. 综上,p的取值范围是[-1,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 $