第十八章 分式 单元巩固测试卷 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 初中数学分式单元巩固测试卷，含选择（10题30分）、填空（6题18分）、解答（8题72分），注重基础与能力梯度，适配暑假复习，体现数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|分式有意义、科学记数法、最简公分母等|结合μ子应用（科技前沿），基础概念辨析| |填空题|6/18|整式分式辨析、分式计算、增根问题等|分层考查分式性质与运算，如分式值为0条件| |解答题|8/72|通分约分、化简求值、应用题、创新题型|超市水果销售（生活情境）、假分式转化（创新意识），体现模型与推理能力|

第十八章 分式 单元巩固测试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．要使分式有意义，的取值应满足（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵要使分式有意义， ∴， 解得． 2．μ子是一种基本粒子，平均寿命约为秒．它具有穿透力强的特性，可应用于文物古迹无损成像、地质勘探及隧道结构检测．数据“秒”用科学记数法表示为（     ） A．秒B．秒 C．秒 D．秒 【答案】C 【分析】科学记数法表示绝对值小于的数，形式为，其中，为正整数，确定和的值即可得到结果． 【详解】解：． 3．分式与的最简公分母是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定最简公分母的步骤为：1，取各分母系数的最小公倍数；2，单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；3，同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【详解】解：分式与的最简公分母是． 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘单项式，同底数幂除法，整数指数幂的运算等，关键是熟练运用各运算公式，逐一判断选项的正确性即可． 【详解】解：选项A：，运算错误． 选项B：与不是同类项，不能合并，运算错误． 选项C：()，运算错误． 选项D：，运算正确． 故选：D． 5．下列各式中，与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的化简，掌握相关运算法则是解题关键． 化简后与选项对照即可． 【详解】解：， 故选：C． 6．下列说法正确的是（   ） A．分式的值为零，则x的值为 B．根据分式的基本性质，等式恒成立 C．分式中的，都扩大3倍，分式的值不变 D．分式是最简分式 【答案】D 【分析】本题考查分式值为零的条件、分式的基本性质、最简分式的定义以及分式值的变化规律，根据相关概念逐项分析判断即可． 【详解】解：A．分式值为零需满足分子为零且分母不为零，对于， 解得，当时，分母，分式无意义， 只能为，故A错误； B．分式的基本性质要求分子分母同乘同一个不为零的整式， 当时，，等式不成立，选项未说明，故B错误； C．当都扩大3倍后，新分式为， 分式值变为原来的3倍，故C错误； D．分子与分母没有公因式，在实数范围内不可分解， 该分式是最简分式，故D正确； 故选：D． 7．若常数，满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将等式右侧通分，根据左右两侧分子恒等得到与的值，利用平方差公式进行因式分解后，进行计算即可. 【详解】解： 又， ∴， ∴. 8．周末几名同学计划去聚餐，订了一桌价值280元的晚餐，出发前4名同学临时有事情不能参加，结果每个同学比原计划多出了16元的餐费，设最先打算参加聚餐的同学共x人，则所列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设原计划参加聚餐的同学共x人，分别表示出原计划和实际每人分摊的餐费，根据实际每人比原计划多分摊16元餐费，即可列出方程． 【详解】解：设最先打算参加聚餐的同学共x人， ∵原计划每人分摊餐费为元，实际参加人数为人， ∴实际每人分摊餐费为元， 又∵实际每个同学比原计划多出了16元餐费， ∴可得方程． 9．定义运算：对于任意实数、、，有．若关于的分式方程有增根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据新定义运算将原方程转化为常规分式方程，再利用增根的性质求解的值． 【详解】解：根据新定义运算，原方程可化为． 整理得． 两边同乘去分母，得． 分式方程有增根， ，即． 将代入整式方程，得． 解得． 10．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了200千克，那么“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量相比，（    ） A．“丰收1号”高 B．“丰收2号”高 C．一样高 D．无法确定哪个高 【答案】B 【分析】先求出两块试验田的面积，再根据“单位面积产量=总产量面积”得到两块试验田的单位面积产量，最后用“丰收2号”的单位面积产量除以“丰收1号”的单位面积产量，再比较结果与1的大小关系即可. 本题考查了分式的实际应用，依题意求出两块试验田的单位面积产量是解题关键. 【详解】由题意得：“丰收1号”的面积为；“丰收2号”的面积为 则“丰收1号”的单位面积产量为；“丰收2号”的单位面积产量为 则， ∵， ∴， ∴ 即， ∴“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量相比“丰收2号”高， 故选：B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．下列有理式中、、、，哪些是整式__________哪些是分式____________；当______时，分式有意义；当______时，分式的值为0． 【答案】 、 、 【详解】解：整式与分式区分：分母不含字母的是整式，含字母的是分式，为常数，因此、是整式，、是分式； 分式有意义：分母，解得； 分式值为0：分子，得， 分母得， 因此． 12．计算：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的乘除混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键．先算乘方，将除法转化为乘法，再进行约分计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13．若，则分式 =_________． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式求值，异分母分式的减法运算．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴原式； 故答案为：． 【点睛】 14．若关于的分式方程有增根，则的值为________． 【答案】 【分析】根据同分母分式的加减运算法则先计算，由结果等于0得到分子，再根据增根的定义得到，代入计算即可． 【详解】解：， ， ∴， ∵原分式方程有增根， ∴最简公分母， 解得，， ∴， 解得， ． 15．若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是_________． 【答案】 且 【分析】解出分式方程后，根据解为非负数求出的范围，再根据分式方程分母不为零排除增根对应的值，即可得到答案． 【详解】去分母，方程两边同乘，得， 去括号得， 整理得， 分式方程的解为非负数， ， 解得， 又分式分母不能为，即， ，即， 的取值范围是且． 16．已知，则______． 【答案】 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，分式的约分，解题关键是将已知式子适当变形，再整体代入求值． 先将，变形为，再整体代入求值． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．（1）通分：和；（2）约分： 【答案】（1）；；（2） 【分析】此题考查了通分及约分，通分的关键是找出各分母的最简公分母，约分的关键是找出分子分母的公因式． （1）找出两分母的最简公分母，通分即可； （2）原式变形后，约分即可得到结果． 【详解】解：（1）； （2）原式． 18．计算和解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：方程两边同乘，得． 解得． 检验：当时，， 是原分式方程的增根． 原分式方程无解． 19．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先依据分式乘方法则算出括号立方，再将除法转化为乘以倒数统一为连乘形式，接着把分子、分母分别相乘，利用同底数幂乘除法则化简字母，约分常数系数后得到最简分式结果； （2）先对括号内各项通分合并成单一分式，完全平方公式对分子因式分解，同时将除式颠倒转化为乘法并利用平方差公式分解分母，最后约去分子分母的公因式与，化简得到最简分式． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解： ， ， ， ． 20．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 21．某超市用2000元购进某种水果销售，由于销售状况良好，很快售完．超市又调拨6000元资金购进该种水果，但这次的进价比第一次提高了，购进的数量比第一次的2倍还多200千克，超市此时按每千克10元的价格出售，当大部分售出后，余下的100千克按售价的8折售完． (1)该种水果的第一次的进价是每千克多少元？ (2)超市第二次销售该种水果盈利了多少元？ 【答案】(1)该种水果第一次进价是每千克5元 (2)超市第二次销售该种水果盈利了3800元 【分析】（1）设该种水果第一次的进价是每千克x元，则第二次的进价是每千克元，根据题意列出分式方程求解即可； （2）利用（1）的结论求解即可． 【详解】（1）解：设该种水果第一次的进价是每千克x元，则第二次的进价是每千克元， 依题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：该种水果第一次进价是每千克5元； （2）解：（千克）， （元）． 答：超市第二次销售该种水果盈利了3800元． 22．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如，．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）． 例如：①； ② (1)判断为________（填真分式或假分式）； (2)仿照例子，将分式化为带分式． (3)若分式的值为整数，求的整数值． 【答案】(1)真分式 (2) (3)的可能整数值为． 【分析】本题考查分式的混合运算，理解题意并将各式进行正确地变形是解题的关键． （1）根据题干中的定义进行判断即可； （2）将原式变形后进行化简即可； （3）将原式变形后化为代分式，然后结合已知条件确定整数x的值即可． 【详解】（1）解：由题意可得为真分式， 故答案为：真分式； （2）； （3）， 当为整数时，也为整数， 可取得的整数值为，， 的可能整数值为． 23．当一个命题被证明了是真命题时，可作为结论解决其他问题． 已知，．求证：． 证明：，， ． ∴当，时，． (1) ， ； (2)运用结论解决问题： ①当时，式子的最小值为 ； ②已知分式． （ⅰ）分式的取值范围是 ； （ⅱ）设分式，比较与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)，； (2)①4； ②（ⅰ）； （ⅱ）解：，理由如下： 设分式， ∴， ∵， ∴，，， ∴，即， ∴，当且仅当时，等号成立， 故与的大小关系为． 【分析】（1）根据完全平方公式求解即可； （2）①根据结论可得，由此求解即可； ②（ⅰ）先对分式进行变形，再由结论求解范围即可； （ⅱ）先表示出，再结合的取值范围比较大小即可． 【详解】（1）解：由完全平方公式可得； （2）解：①由结论：当，时，． 则有当时，， 当且仅当时，等号成立，即， ∴当时，式子的最小值为4； ②（ⅰ）． ∵，则有， ∴， 当且仅当时，等号成立，即， ∴分式的取值范围是； （ⅱ）略 24．甲、乙两人在公园步道健步走，他们从步道起点同时出发，沿相同路线前往步道终点，全程总路程为千米． (1)甲将步道全程分两段行走：先走前千米，再走后千米．已知甲走后半段的速度是前半段速度的．若甲走完千米步道全程一共用时小时，求甲走前半段步道的速度； (2)设甲走前千米的速度为千米/时，走后千米的速度为千米/时；乙走步道全程时，把走完步道全程的总时间平均分成两半，前一半时间的速度为千米/时，后一半时间的速度为千米/时．设甲走完步道全程用时为小时，乙走完步道全程用时为小时，且．请通过计算比较，的大小，并判断甲、乙两人谁先到达终点． 【答案】(1)甲走前半段步道的速度为千米/时； (2)，乙先到达终点． 【分析】（1）设甲走前半段(前2千米)的速度为x千米/时，则后半段速度为千米/时，根据题意列得分式方程，据此求解即可； （2）根据题意分别求得，，计算得到，据此分析求得，即可判断乙先到达终点． 【详解】（1）解：设甲走前半段(前2千米)的速度为x千米/时，则后半段速度为千米/时， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解； 答：甲走前半段步道的速度为千米/时； （2）解：甲前千米速度为千米/时，后千米速度为千米/时， ∴， 乙把总时间小时分成两半，每段小时，总路程千米， ∴， 整理得， ∴ ， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴乙先到达终点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十八章 分式 单元巩固测试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．要使分式有意义，的取值应满足（     ） A． B． C． D． 2．μ子是一种基本粒子，平均寿命约为秒．它具有穿透力强的特性，可应用于文物古迹无损成像、地质勘探及隧道结构检测．数据“秒”用科学记数法表示为（     ） A．秒B．秒 C．秒 D．秒 3．分式与的最简公分母是（　　） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．下列各式中，与相等的是（   ） A． B． C． D． 6．下列说法正确的是（   ） A．分式的值为零，则x的值为 B．根据分式的基本性质，等式恒成立 C．分式中的，都扩大3倍，分式的值不变 D．分式是最简分式 7．若常数，满足，则（     ） A． B． C． D． 8．周末几名同学计划去聚餐，订了一桌价值280元的晚餐，出发前4名同学临时有事情不能参加，结果每个同学比原计划多出了16元的餐费，设最先打算参加聚餐的同学共x人，则所列方程为（     ） A． B． C． D． 9．定义运算：对于任意实数、、，有．若关于的分式方程有增根，则的值为（     ） A． B． C． D． 10．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了200千克，那么“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量相比，（    ） A．“丰收1号”高 B．“丰收2号”高 C．一样高 D．无法确定哪个高 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．下列有理式中、、、，哪些是整式__________哪些是分式____________；当______时，分式有意义；当______时，分式的值为0． 12．计算：______． 13．若，则分式 =_________． 14．若关于的分式方程有增根，则的值为________． 15．若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是_________． 16．已知，则______． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．（1）通分：和；（2）约分： 18．计算和解方程 (1)； (2)． 19．化简： (1) (2) 20．先化简，再求值：，其中． 21．某超市用2000元购进某种水果销售，由于销售状况良好，很快售完．超市又调拨6000元资金购进该种水果，但这次的进价比第一次提高了，购进的数量比第一次的2倍还多200千克，超市此时按每千克10元的价格出售，当大部分售出后，余下的100千克按售价的8折售完． (1)该种水果的第一次的进价是每千克多少元？ (2)超市第二次销售该种水果盈利了多少元？ 22．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如，．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）． 例如：①； ② (1)判断为________（填真分式或假分式）； (2)仿照例子，将分式化为带分式． (3)若分式的值为整数，求的整数值． 23．当一个命题被证明了是真命题时，可作为结论解决其他问题． 已知，．求证：． 证明：，， ． ∴当，时，． (1) ， ； (2)运用结论解决问题： ①当时，式子的最小值为 ； ②已知分式． （ⅰ）分式的取值范围是 ； （ⅱ）设分式，比较与的大小关系，并说明理由． 24．甲、乙两人在公园步道健步走，他们从步道起点同时出发，沿相同路线前往步道终点，全程总路程为千米． (1)甲将步道全程分两段行走：先走前千米，再走后千米．已知甲走后半段的速度是前半段速度的．若甲走完千米步道全程一共用时小时，求甲走前半段步道的速度； (2)设甲走前千米的速度为千米/时，走后千米的速度为千米/时；乙走步道全程时，把走完步道全程的总时间平均分成两半，前一半时间的速度为千米/时，后一半时间的速度为千米/时．设甲走完步道全程用时为小时，乙走完步道全程用时为小时，且．请通过计算比较，的大小，并判断甲、乙两人谁先到达终点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $