01-第四章 指数函数、对数函数与幂函数(综合检测卷)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第二册（人教B版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了指数函数、对数函数与幂函数的概念、图像、性质及应用，通过选择、填空、解答等题型将函数奇偶性、单调性、定义域值域及实际问题求解等核心内容串联，构建完整的函数知识网络。 其亮点在于结合算力需求、茶水温度等现实情境培养数学眼光，通过函数性质推导发展数学思维，建立模型解决问题提升数学语言表达。题型分层设计从基础到综合，满足个性化复习，帮助学生巩固知识，教师精准把握学情。

第四章 指数函数、对数函数与幂函数 满分:150分 时间:120分 第1讲　描述运动的基本概念 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的) 1.已知函数f(x)=x2+(m-2)x+n为偶函数,那么函数g(x)= 的定义域为 （　　　） A.(-∞,2]　　　    B.(0,2] C. 　　　    D.      B     解析　因为f(x)=x2+(m-2)x+n为偶函数, 所以其图象的对称轴为直线x= =0,解得m=2, 所以g(x)= . 要使g(x)有意义,则x>0且log2x≤1,即0<x≤2. 第1讲　描述运动的基本概念 2.函数y=-2x与y= 的图象 （　　　） A.关于x轴对称　　　     B.关于y轴对称　　　     C.关于直线y=x对称　　　     D.关于原点对称     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析    解法一:设f(x)=-2x,则-f(-x)=-(-2-x)= , 所以函数y=-2x与函数y= 的图象关于原点对称. 解法二:在同一平面直角坐标系内作出函数y=-2x与y= 的图象,如图,   由图可知,函数y=-2x与y= 的图象关于原点对称. 第1讲　描述运动的基本概念 3.设a= ,b= ,c=lo  ,则 （　　　） A.a<c<b　　　    B.c<b<a C.c<a<b　　　    D.b<c<a     B     解析　因为c=lo  = ,所以c6= = , 又a6= = ,b6= = ,所以c<b<a. 第1讲　描述运动的基本概念 4.函数f(x)=log2(4x+1)-x的部分图象大致为 （　　　） 　　　　A　　　     B  C　　　     D     A     解析　对任意的x∈R,4x+1>0,则函数f(x)的定义域为R, 因为f(x)=log2(4x+1)-x=log2(4x+1)-log22x=log2 =log2(2x+2-x), f(-x)=log2(2-x+2x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数,排除C、D选项; f(x)=log2(2x+2-x)≥log2(2 )=1,当且仅当x=0时,等号成立,排除B选项. 第1讲　描述运动的基本概念 5.已知函数y=loga(x-3)+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点P,点P在幂函数y=f(x)的图象上,则lg f(4)+lg f(25)=  （　　　） A.-2　　　    B.2 C.1　　　    D.-1     C     解析　函数y=loga(x-3)+2中,令x-3=1,解得x=4,此时y=loga1+2=2,所以P(4,2). 设幂函数f(x)=xm,因为点P在幂函数y=f(x)的图象上,所以4m=2,解得m=0.5, 所以f(x)=x0.5,所以lg f(4)+lg f(25)=lg[f(4)·f(25)]=lg 10=1. 第1讲　描述运动的基本概念 6.随着新一代人工智能技术的快速发展和突破,以深度学习计算模式为主的AI算力需求呈指数级增长, 现有一台计算机每秒能进行 ×1012次运算,用它处理一段自然语言的翻译,需要进行2126次运算,那么处 理这段自然语言的翻译所需时间约为(参考数据:lg 2≈0.301,100.829≈6.745) （　　　） A.6.745×1022秒　　　    B.6.745×1023秒　　　     C.6.745×1025秒　　　    D.6.745×1021秒     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设处理这段自然语言的翻译所需时间为t秒, 由题意得 ×1012×t=2126,两边同时取对数,得lg =lg 2126,即lg 5-2lg 2+12+lg t=126lg 2, 则lg t=126lg 2-lg 5+2lg 2-12 =128lg 2-lg  -12=129lg 2-13≈25.829, 所以t=1025.829=1025×100.829≈6.745×1025. 第1讲　描述运动的基本概念 7.已知函数f(x)=m(x- )+2,g(x)=ln ,∃x1∈[0,1],∀x2∈[0,4],都有g(x1)<f(x2),则实数m的取值范围是 　     （　　　） A. 　　　    B.  C. 　　　    D.      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由∃x1∈[0,1],∀x2∈[0,4],都有g(x1)<f(x2),可得g(x)min<f(x)min. 易知g(x)=ln =ln 在[0,1]上单调递增, ∴g(x)min=g(0)=0. 对于函数f(x),当m=0时, f(x)=2>0恒成立; 当m>0时, f(x)在[0,4]上单调递增, ∴f(x)min=f(0)=-2m+2, 由-2m+2>0,解得m<1,∴0<m<1; 当m<0时, f(x)在[0,4]上单调递减, ∴f(x)min=f(4)=4m+2, 由4m+2>0,解得m>- ,∴- <m<0. 综上,实数m的取值范围是 . 第1讲　描述运动的基本概念 8.函数f(x)=-a2x-1+5ax-8(a>0且a≠1)在[2,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围为 （　　　） A.(0,1)∪ 　　　    B. ∪(1,+∞) C.(0,1)∪ 　　　     D.      A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设ax=u(u>0),则y=- u2+5u-8=-  + -8(u>0). 易知y=- u2+5u-8在 上单调递增,在 上单调递减. 当0<a<1时,u=ax是减函数,由x≥2,得0<u≤a2< ,此时y=- u2+5u-8是增函数,从而f(x)是减函数,符合题 意. 当a>1时,u=ax是增函数,由x≥2,得u≥a2, ∵f(x)在[2,+∞)上单调递减,∴a2≥ , 又a>0,∴a≥ ,即当a≥ 时, f(x)是减函数. 综上所述,实数a的取值范围是(0,1)∪ . 第1讲　描述运动的基本概念 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选 对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.已知函数f(x)=ln(2x-x2),则 （　　　　） A. f(x)的定义域为(0,2)　　　     B. f(x)是奇函数 C. f(x)的单调递减区间是(1,2)　　　     D. f(x)的值域为R     AC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,由2x-x2>0,得0<x<2,故A正确; 对于B,∵函数f(x)的定义域不关于原点对称,∴f(x)不是奇函数,故B错误; 对于C,∵u=2x-x2在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,y=ln u在(0,+∞)上单调递增, ∴f(x)=ln(2x-x2)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,故C正确; 对于D, f(x)max=f(1)=0,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 10.已知函数f(x)=a· +b的图象过原点,且无限接近直线y=2,但又不与该直线相交,则 （　　　 　） A.a=-2,b=2　　　     B. f(x)的值域为[0,2) C.若x<y<0,则f(x)<f(y)　　　    D.若f(x)=f(y),且x≠y,则x+y=0     ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,∵f(x)的图象过原点, ∴f(0)=0,∴a+b=0①, ∵当x→∞时, →0, ∴当x→∞时, f(x)→b, 又函数f(x)的图象无限接近直线y=2,∴b=2②, 由①②知a=-2,b=2,因此A正确. 对于B,由a=-2,b=2,得f(x)= +2, ∵ ∈(0,1],∴ +2∈[0,2),因此B正确. 对于C,由上述分析画出函数f(x)的大致图象如图所示, 第1讲　描述运动的基本概念   由函数的图象知, f(x)在x∈(-∞,0]上单调递减, ∵x<y<0, ∴f(x)>f(y),因此C错误. 对于D,易知函数f(x)= +2为偶函数, ∵f(x)=f(y),x≠y, ∴-x=y,∴x+y=0,因此D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 11.双曲函数在许多数学、物理及工程问题中都有广泛的应用,最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双 曲余弦函数.已知双曲正弦函数为sinh x= ,双曲余弦函数为cosh x= (其中e为自然对数的底 数),则（　　　 　） A.cosh2x+sinh2x=1 B.cosh2x-sinh2x=1 C.sinh(2x)=2sinh xcosh x D.cosh(2x)=sinh2x+cosh2x     BCD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,D,cosh2x+sinh2x= +  = + = =cosh(2x),不恒为1,故A错误,D正确; 对于B,cosh2x-sinh2x= - = - =1,故B正确; 对于C,sinh(2x)= = =2sinh xcosh x,故C正确. 第1讲　描述运动的基本概念 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.设35x=49,若用含x的式子表示log535,则log535=_____. 解析　对35x=49的两边同时取以5为底的对数,可得xlog535=log549,即x(log55+log57)=2log57,所以log57=  , 所以log535=1+log57=1+ = . 第1讲　描述运动的基本概念 13.已知函数f(x)= 若方程1-m2+2mf(x)=[f(x)]2有且仅有5个不同的实数根,则实数m的取值范 围是_________.     (1,2) 第1讲　描述运动的基本概念 解析　令f(x)=t,则原方程化为1-m2+2mt=t2, 即[t-(m-1)][t-(m+1)]=0, 解得t=m-1或t=m+1. 易知y=ex+2-1在(-∞,0]上单调递增, 令ex+2-1=0,得x=-2, 故函数f(x)在(-∞,-2]上单调递减,在[-2,0]上单调递增,且当x→-∞时, f(x)→1, f(0)=e2-1. 作出函数y=f(x)的图象,如图所示,   第1讲　描述运动的基本概念 观察图象,得当t<0或t>e2-1时,方程f(x)=t有1个实数根; 当t=0或1≤t≤e2-1时,方程f(x)=t有2个不同的实数根; 当0<t<1时,方程f(x)=t有3个不同的实数根, 由方程1-m2+2mf(x)=[f(x)]2有且仅有5个不同的实数根,得 或  即 或 则1<m<2, 所以实数m的取值范围是(1,2). 第1讲　描述运动的基本概念 14.已知函数f(x)=log2(3x+ )- ,若f(a-1)+f(a-2)≤-2,则实数a的解集为_______________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意可知3x+ >3x+|3x|≥0, 则f(-x)=log2(-3x+ )- , 所以f(x)+f(-x) =log2(3x+ )- +log2(-3x+ )-  =log2(-9x2+9x2+1)- =-2, 所以f(x)+1=-[f(-x)+1], 令g(x)=f(x)+1,则g(x)的定义域为R,g(x)=-g(-x),所以g(x)为奇函数, 不等式f(a-1)+f(a-2)≤-2等价于f(a-1)+1≤-f(a-2)-1,即g(a-1)≤-g(a-2)=g(2-a), 令h(x)=log2(3x+ ),h(x)的定义域为R,关于原点对称, 又h(x)+h(-x)=log2(3x+ )+log2(-3x+ )=0, 第1讲　描述运动的基本概念 所以h(x)是奇函数, 又因为y=log2x在定义域上单调递增,y=3x+ 在(0,+∞)上单调递增, 所以h(x)=log2(3x+ )在R上单调递增, 又y= 在R上单调递减, 所以g(x)=log2(3x+ )- +1在R上单调递增, 所以a-1≤2-a,解得a≤ . 第1讲　描述运动的基本概念 四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知f(x)=a·2x+ 是奇函数,且f(1)= . (1)求f(x)的解析式; (2)若f(m)+f(m2-2)<0,求实数m的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)f(1)=2a+ = .① ∵f(x)是奇函数,且f(x)的定义域为R,∴f(0)=0,∴a+b=0.② 由①②,得a=1,b=-1. (4分) 故f(x)=2x- . 经检验,满足f(x)是奇函数,∴f(x)=2x- . (6分) (2)∵f(m)+f(m2-2)<0,∴f(m)<-f(m2-2). 又f(x)为奇函数,∴f(m)<f(2-m2), (9分) ∵y=2x和y=- 在R上均单调递增, ∴f(x)在R上单调递增. ∴m<2-m2,即m2+m-2<0,解得-2<m<1,∴m的取值范围是(-2,1). (13分) 第1讲　描述运动的基本概念 16.(15分)中国茶文化博大精深,茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明,某种普洱茶用95 ℃ 的水冲泡,等茶水温度降至60 ℃饮用,口感最佳.某科学兴趣小组为探究在室温条件下,刚泡好的茶水达 到最佳饮用口感的放置时间,每隔1分钟测量一次茶水温度,得到茶水温度y(单位:℃)与时间t(单位:分钟) 的部分数据如表所示: 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 茶水温度/℃ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 第1讲　描述运动的基本概念 (1)给出下列三种函数模型:①y=at+b(a<0),②y=a·bt+d(a>0,0<b<1),③y=loga(t+b)+c(b>0,a>1),请根据上表 中的数据,选出你认为最符合实际的函数模型,并利用前3组数据求出相应的解析式; (2)根据(1)中所求模型,解决下列问题. (i)推测实验室室温(注:茶水温度接近室温时,将趋于稳定); (ii)求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间.(参考数据:lg 3≈0.48,lg 5≈0.7) 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题表中数据可知,函数单调递减且递减速度逐渐变慢, (2分) 模型③y=loga(t+b)+c(b>0,a>1)为单调递增函数,不符合题意. (3分) 模型①y=at+b(a<0)为一次函数模型,不符合递减速度逐渐变慢,因此模型①不符合, (4分) 选模型②y=a·bt+d(a>0,0<b<1), 则 解得  所以y=70·0.9t+25(t≥0). (7分) (2)(i)因为当t趋于无穷大时,y无限接近25,所以推测实验室室温为25 ℃. (10分) (ii)令70·0.9t+25=60,则0.9t= , (12分) 第1讲　描述运动的基本概念 所以t=log0.9 = = = ≈7.5, (14分) 即刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间约为7.5分钟. (15分) 第1讲　描述运动的基本概念 17.(15分)已知函数f(x)=log2(x+a)(a>0).当点P(x,y)在函数y=g(x)的图象上运动时,对应的点P0(4x,2y)在函 数y=f(x)的图象上运动,则称函数y=g(x)是函数y=f(x)的“伴随”函数. (1)解关于x的不等式f(x)<-1; (2)对任意的x∈(0,2), f(x)的图象总在其“伴随”函数g(x)图象的下方,求a的取值范围; (3)设函数F(x)=f(x)-g(x),x∈(0,2).当a=1时,求|F(x)|的最大值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)依题意得 则  所以-a<x< -a, 所以原不等式的解集为 . (3分) (2)由题意得2y=log2(4x+a), 所以y= log2(4x+a),所以f(x)的“伴随”函数为g(x)= log2(4x+a). 依题意,对任意的x∈(0,2), f(x)的图象总在其“伴随”函数g(x)图象的下方, 即当x∈(0,2)时, f(x)-g(x)=log2(x+a)- log2(4x+a)<0恒成立①. (5分) 由 对任意的x∈(0,2)总成立,得a>0, 第1讲　描述运动的基本概念 所以①等价于当x∈(0,2)时,log2(x+a)2<log2(4x+a)恒成立, 即(x+a)2<4x+a,即x2+(2a-4)x+a2-a<0. (7分) 设h(x)=x2+(2a-4)x+a2-a,要使当x∈(0,2)时,h(x)<0恒成立, 只需 即 解得0≤a≤1, 又a>0,所以0<a≤1. 所以a的取值范围是(0,1]. (9分) (3)由(2)可得当a=1时,在区间(0,2)上, f(x)<g(x), 即|F(x)|=g(x)-f(x)= log2 . (10分) 设t= (t>0),则 = . 第1讲　描述运动的基本概念 令4x+1=u(1<u<9),则x= , 所以 = =  , (12分) 因为u+ ≥6(当且仅当u=3时,等号成立), 所以 ≥ = ,当且仅当x= 时,等号成立, 满足x∈(0,2),所以t的最大值为 , 所以|F(x)|的最大值是 log2 =1- log23. (15分) 第1讲　描述运动的基本概念 18.(17分)已知函数f(x)= . (1)当a=3,b=-1时,解关于x的方程f(x)=2x; (2)若函数f(x)是定义在R上的奇函数,求函数f(x)的解析式; (3)在(2)的前提下,函数g(x)满足f(x)[g(x)+2]=2x-2-x,若对任意x∈R且x≠0,不等式g(2x)≥m·g(x)-18恒成立, 求实数m的最大值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为a=3,b=-1,所以f(x)= =2x, 整理得(2x)2-2×2x-3=0,解得2x=-1(舍去)或2x=3,所以x=log23. (4分) (2)因为f(x)是奇函数, 所以f(x)+f(-x)= + =0, 整理得(a+b)(2x+2-x)+2ab+2=0, 要使上式对任意的x都成立,则 解得 或  　     (7分) 当 时, f(x)= ,其定义域为{x|x≠0},不符合题意; (8分) 当 时, f(x)= ,其定义域为R,符合题意. (9分) 第1讲　描述运动的基本概念 所以f(x)= . (10分) (3)因为f(x)[g(x)+2]=2x-2-x, 所以 =2x- = = , 又因为x∈R且x≠0,所以2x-1≠0, 所以 = , (12分) 可得g(x)+2= =2x+2-x+2,即g(x)=2x+2-x(x≠0), 则g(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2.  (14分) 不等式g(2x)≥m·g(x)-18恒成立,即(2x+2-x)2-2≥m(2x+2-x)-18恒成立, 令t=2x+2-x(x≠0),则t=2x+2-x>2 =2, 第1讲　描述运动的基本概念 则由t2-2≥mt-18,可得m≤t+ 在t>2时恒成立, 因为t>2,所以t+ ≥8,当且仅当t=4时,等号成立, 所以m≤8,所以实数m的最大值为8. (17分) 第1讲　描述运动的基本概念 19.(17分)已知函数f(x)=ex,其中e为自然对数的底数. (1)判断并证明函数g(x)=f(x)+f(-x)在(0,+∞)上的单调性; (2)记函数y=f(-x)+x-2的零点为a,b(a>b),A,B为在函数f(x)的图象上横坐标分别为a,b的两点,点C(2,-1),求 证: (i) <a<2,- <b<-1; (ii)AC>BC. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,证明如下: g(x)=ex+e-x,任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2, 则g(x1)-g(x2)=( + )-( + )= , (2分) 因为0<x1<x2, 所以 - <0, -1>0, >0, 所以g(x1)-g(x2)<0,即g(x1)<g(x2), 所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增. (5分) (2)证明:(i)令F(x)=f(-x)+x-2=e-x+x-2, 因为e3> >4,所以 > >2,可得 < , 则F = - >0,F(-1)=e-3<0,F = - <0,F(2)=e-2>0,(8分) 第1讲　描述运动的基本概念 故函数y=F(x)在 , 内均有零点, 又函数y=F(x)的零点为a,b且a>b, 所以 <a<2,- <b<-1. (10分) (ii)由题意可知A(a,ea),B(b,eb),C(2,-1), 且 即  (12分) AC>BC等价于AC2>BC2, 即(a-2)2+(ea+1)2>(b-2)2+(eb+1)2,即e-2a+(ea+1)2>e-2b+(eb+1)2, 整理得e2a+e-2a+2ea>e2b+e-2b+2eb. 因为a>b,所以2ea>2eb, 第1讲　描述运动的基本概念 又因为 <a<2,- <b<-1,所以0<2<-2b<3<2a, (15分) 由(1)可得函数g(x)=ex+e-x在(0,+∞)上单调递增, 所以g(2a)>g(-2b),即e2a+e-2a>e-2b+e2b, 所以e2a+e-2a+2ea>e2b+e-2b+2eb,即AC>BC. (17分) 第1讲　描述运动的基本概念 $