4.6 函数的应用(二)（教学课件）高一数学人教B版必修第二册

第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.6 函数的应用(二) 4.6 函数的应用(二) 【新教材】人教B版·高一必修第二册 学 习 目 标 1 2 识别指数、对数、幂函数三类典型函数模型的特征，记住指数增长、指数衰减的基本形式； 能读懂实际情境（复利计息、种群增长、放射性衰减等），会用已知模型代入数据求解； 掌握函数建模解决实际问题的基本步骤：审题→建模→求解→检验→回归实际解释。 重点：指数、对数函数模型的实际应用，建模基本流程。 难点：根据实际变化特点自主选择函数模型，并对解的实际意义进行检验。 同学们，前面我们对比了一次函数、幂函数、指数函数的增长速度，知道指数增长会出现"爆炸式"增长。大家想一想银行存钱：如果把每期产生的利息并入本金，再产生新的利息，这就是复利。假设本金为 a，年利率为 r，按年复利计息，n 年后的本利和是多少？ 复利问题 这个问题不再是简单的一次函数，而需要用指数函数来描述：。生活中还有物种繁殖、放射性物质衰变，这类成倍增长或衰减的问题，都适合用指数模型刻画。今天我们就学习指数、对数、幂函数在实际中的应用 目标一：函数模型为指数函数模型 特别提醒 增长(衰减)率问题广泛存在于生产和生活中，如银行复利计算、人口增长率、国民经济生产总值增长率等均属于这类问题。研究并解决这类问题是中学数学的重要应用方向之一，解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义：增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率，切记并不总是只和开始单位时间内的比较。具体分析问题时，应严格计算并写出前3～4个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规律后，再推广概 热水瓶 知识讲解 互动探究 新课引入 灌满开水的热水瓶（盖上瓶盖）放在室内，如果瓶内开水原来的温度是 ℃，室内气温是 ℃，t min 后，开水的温度可由公式 求得，这里 k 是一个与热水瓶类型有关的正的常量。现有一个某种类型的热水瓶，测得瓶内温度为 100 ℃，过 1 h 后又测得瓶内温度为 98 ℃。已知某种奶粉必须用不低于 85 ℃ 的开水冲调，现在这种类型的热水瓶在早上 6:00 灌满 100 ℃ 的开水，问：能否在这一天的中午 12:00 用这瓶开水来冲调上述奶粉？（假定该地白天室温为 20 ℃） 【答】根据题意，有 98=20+(100-20) ， 整理得 。利用计算器，解得 k≈0.000 422 0。故 。 从早上 6:00 至中午 12:00 共过去 6 h，即 360 min。 当 t=360 时，θ=20+=20+，用计算器解得 θ≈88.7 ℃ >85 ℃。 答：能够在这一天的中午 12:00 用这瓶开水来冲调上述奶粉。 6 储蓄 知识讲解 互动探究 新课引入 有一种储蓄按复利计算利息，本金为 a 元，每期利率为 r，设本利和为 y，存期为 x，写出本利和 y 随存期 x 变化的函数解析式。如果存入本金 1 000 元，每期利率为 2.25%，试计算 5 期后的本利和是多少。（结果精确到 0.01 元） 【解】 复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起作为本金，再计算下一期的利息。 【答】 已知本金为 a 元。 1 期后的本利和为 y_1=a+a×r=a(1+r)； 2 期后的本利和为 =a(1+r)+a(1+r)r=a； 3 期后的本利和为 ； … x 期后的本利和为 y=a。 将 a=1 000,r=2.25%,x=5 代入上式，得 y=1 000×=1 000×1.022 ≈1 117.68(元)。 即 5 期后的本利和约为 1 117.68 元。 7 二氧化硫排放 知识讲解 互动探究 新课引入 按照《国务院关于印发“十三五”节能减排综合工作方案的通知》（国发[2016]74号）的要求，到2020年，全国二氧化硫排放总量要控制在1580万吨以内，要比2015年下降15%。假设“十三五”期间每一年二氧化硫排放总量下降的百分比都相等，2015年后第 年的二氧化硫排放总量最大值为 万吨。 (1) 求 的解析式 设“十三五”期间每一年二氧化硫排放总量下降的百分比均为 ，因为 表示2015年的排放总量，所以由题意可知 。 又因为 所以 ，从而 。 8 二氧化硫排放 知识讲解 互动探究 新课引入 按照《国务院关于印发“十三五”节能减排综合工作方案的通知》（国发[2016]74号）的要求，到2020年，全国二氧化硫排放总量要控制在1580万吨以内，要比2015年下降15%。假设“十三五”期间每一年二氧化硫排放总量下降的百分比都相等，2015年后第 年的二氧化硫排放总量最大值为 万吨。 (1) 求 的解析式；(2) 求2019年全国二氧化硫排放总量要控制在多少万吨以内（精确到1万吨）。 由(1)可知 ， 因此2019年全国二氧化硫排放总量要控制在1632万吨以内。 9 目标二：函数模型为对数函数模型 对数函数模型 知识讲解 互动探究 新课引入 形如 (a>0a≠1) 的函数是对数函数，a>1 时，此函数为增函数；0<a<1 时，此函数为减函数。虽然直接以对数函数作为模型的应用问题不是很多，但我们知道，对数运算实际是求指数的运算，因此在指数函数模型中，也常用对数计算。 11 我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬。研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数 ，单位是 m/s，其中 表示燕子的耗氧量。 (1) 计算当一只两岁燕子静止时的耗氧量是多少个单位； (2) 当一只两岁燕子的耗氧量是 80 个单位时，它的飞行速度是多少？ 对点体验 【答】 (1) 由题意知，当燕子静止时，它的速度 ，代入已知函数关系式可得 ，解得 。所以当一只两岁燕子静止时的耗氧量是 10 个单位。 (2) 将耗氧量 代入已知函数关系式，得 。 所以当一只两岁燕子的耗氧量是 80 个单位时，它的飞行速度是 15 m/s。 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵。研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数 ，单位是 m/s，其中 表示鲑鱼的耗氧量的单位数。 (1) 当一条鲑鱼的耗氧量是 8 100 个单位时，它的游速是多少？ (2) 计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数； (3) 若甲鲑鱼的游速是乙鲑鱼的游速的 倍，求甲鲑鱼耗氧量的单位数 与乙鲑鱼耗氧量的单位数 之间的关系式。 对点体验 【答】 (1) 将 代入函数关系式，得 ，所以一条鲑鱼的耗氧量是 8 100 个单位时，它的游速是 2 m/s。 (2) 令 ，得 ，即 ，则 ，所以一条鲑鱼静止时的耗氧量为 100 个单位。 (3) 设甲鲑鱼的游速为 ，乙鲑鱼的游速为 ，则 。又 ，所以 ，整理得 。故所求关系式为 。 目标三： 函数模型为幂函数模型 幂函数模型 知识讲解 互动探究 新课引入 有关幂函数 y= 的应用题，通常是考查当 α=1,2,3,-1 的情况，特别是 α=2 的情况最多。 最常见的题型有以下两种： (1) 给出含参数的函数关系式，然后利用待定系数法求出参数，明确关系式； (2) 根据题意直接列出相应的关系式。 15 在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率 与管道半径 的四次方成正比。 (1) 写出函数解析式； (2) 假设气体在半径为 3 cm 的管道中，流量速率为 。求该气体通过半径为 的管道时， 其流量速率 的表达式； (3) 已知(2)中的气体通过的管道半径为 5 cm，计算该气体的流量速率。（结果精确到 ） 对点体验 【答】 (1) 由题意，得 （ 是大于 0 的常数）。 (2) 由 ，得 ， ， 流量速率 的表达式为 。 (3) ， 当 时，。 美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮，中国某公司研发了A，B两种芯片，该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产，经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入 （单位：千万元）与投入的资金 （单位：千万元）的函数关系式为 ，其图像如图 4-6-2 所示。 (1) 试分别求出生产A，B两种芯片的毛收入 与投入的资金 的函数关系式； (2) 现在公司准备投入4亿元资金同时生产A，B两种芯片，设投入 千万元生产B芯片，用 表示公司所获利润，当 为多少时，可以获得最大利润？并求最大利润。 （利润 = A芯片毛收入 + B芯片毛收入 - 研发耗费资金） 对点体验 【答】 (1) 因为生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，所以可设为 ，且 时，，代入解得 ，则生产A芯片的毛收入 与投入的资金 的函数关系式为 ；将 代入 ，得 解得 所以生产B芯片的毛收入 与投入的资金 的函数关系式为 。 (2) 公司投入4亿元资金同时生产A，B两种芯片，投入 千万元生产B芯片，则投入 千万元生产A芯片，公司所获利润 ，故当 时，即投入4千万元生产B芯片时，公司所获利润最大，最大利润为9千万元。  对点体验 目标四：模拟模型 农业专家在研究某地区玉米在不同生长阶段的植株高度时，得到了以下数据，这些数据可以用图 直观表示。 对点体验 生长阶段 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 植株高度/cm 0.67 1.75 3.69 7.73 16.55 32.55 53.38 97.46 153.6 174.9 180.79 则与此生长规律的描述类似的模型是（ ）。 A. B. C. D. 【解】 从具体的数据和图都可以看出，玉米植株高度的增长，具有先慢后快，然后又变慢的规律。所以通常选择 C。 我国加入 WTO 后，根据达成的协议，若干年内某产品市场供应量 与关税的关系近似满足 ，其中 为关税的税率，且 ， 为市场价格， 为正常数，当 时的市场供应量曲线如图 。 (1) 根据图像，求 的值 对点体验 【答】 (1) 由图像，知 即 解得 我国加入 WTO 后，根据达成的协议，若干年内某产品市场供应量 与关税的关系近似满足 ，其中 为关税的税率，且 ， 为市场价格， 为正常数，当 时的市场供应量曲线如图 。 (2) 记市场需求量为 ，它近似满足 ，当 时的市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价 格控制在不低于 9 元的程度上，求关税税率的最小值。 对点体验 当 时，有 ， 解得 ，令 ，因为 ，所以 。 我国加入 WTO 后，根据达成的协议，若干年内某产品市场供应量 与关税的关系近似满足 ，其中 为关税的税率，且 ， 为市场价格， 为正常数，当 时的市场供应量曲线如图 。 (2) 记市场需求量为 ，它近似满足 ，当 时的市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价 格控制在不低于 9 元的程度上，求关税税率的最小值。 对点体验 在 中，对称轴方程为 ，且图像开口向下，所以 时， 取得最小值，为 ，此时 ，所以关税税率的最小值为 。 函数模型 函数解析式 一次函数模型 （ 为常数，） 反比例函数模型 （ 为常数且 ） 二次函数模型 （ 为常数，） 指数函数模型 （ 为常数，， 且 ） 对数函数模型 （ 为常数，， 且 ） 幂函数模型 （ 为常数，） “对勾”函数模型 （）或 目标五：针对训练 举一反三 甲型流感的爆发高峰通常在冬春季节，奥司他韦是一种常用于治疗甲型流感的药物、患者口服该药物治疗后，血药浓度（单位：ng/mL）随时间（单位：h）的变化过程通常分为吸收期（浓度上升）和消除期（浓度下降）。当血药浓度达到峰值后，进入消除期，其浓度 随时间 的变化可以用指数衰减模型近似描述：（ 为峰值浓度， 为消除速率常数）。根据临床数据，某患者服用奥司他韦 2 小时后血药浓度达到峰值，服用 10 小时后血药浓度降至峰值的 50%，则 的值大约为()（参考数据：，） A. 0.087 B. 0.076 C. 0.0693 D. 0.092 解析： 某患者服用奥司他韦 2 小时后血药浓度达到峰值，即进入消除期，则 ，得 ，得 ，故选：A 举一反三 2. 某池塘里浮萍的面积 （单位：）为时间 （单位：月）的指数函数，即 ，且有关数据如图所示。若经过 2 年，浮萍恰好充满整个池塘，则下列说法正确的是( A ) A. 浮萍面积的月增长率均为 1 B. 浮萍面积的月增加量都相等 C. 第 5 个月，浮萍面积为 D. 第 12 个月，浮萍面积占池塘面积的一半 解析： 过点 ，，则 ； 对于 A，每个月的月增长率为 ，A 正确； 对于 B，浮萍面积第 1 个月的增加量为 ；第 2 个月的增加量为 ，B 错误； 对于 C，当 时，，即浮萍面积为 ，C 错误； 对于 D， 池塘总面积为 ，第 12 个月浮萍面积为 ， 第 12 个月，浮萍面积不足池塘面积的一半，D 错误。故选：A。 举一反三 3. 在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量 （单位：）与管道半径 （单位：cm）的四次方成正比。若气体在半径为 5 cm 的管道中，流量为 ，气体在半径为 cm 的管道中，流量大于 且小于 ，则 的取值范围是() A. B. C. D. 解析： 根据题意，设 ，由题意可得 ，解得 ，故 ， 当 时，，解得 ，故选：D。 举一反三 4. 有这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后的厚度能超过地月距离，但实际上，因为纸张本身有厚度，所以我们并不能将纸张无限次对折，当厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了。一张长边为 ，厚度为 的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折后，长边变为 ，厚度变为 。在理想情况下，对折次数 满足关系：。根据以上信息，一张长为 100cm，厚度为 0.05cm 的纸经过对折后的厚度的最大值为（参考数据：）( D ) A. 1.28cm B. 2.56cm C. 12.8cm D. 6.4cm 解析： 因为对折次数 ，所以这张纸最多能对折 7 次。因为对折 次后，纸张的厚度为 ，所以对折 7 次后纸张的厚度为 。故选：D。 举一反三 5. 溶液酸碱度用 pH 值表示，其计算公式为，其中 表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，且 pH 越大，酸度越弱，碱性越大。下列命题中，真命题是( C ) A. 已知纯净水的 ，则纯净水中 摩尔/升 B. 已知胃酸中 摩尔/升，则胃酸的 ≥2 C. 溶液中 摩尔/升时，溶液的酸性随氢离子浓度的增大而变强 D. 溶液摩尔/升时，溶液的碱性越大，氢离子浓度越大 解析：A是棱锥，B是圆台（旋转体，不是多面体），C是四棱柱，D是旋转体（圆锥），故选C。 举一反三 解析：A是棱锥，B是圆台（旋转体，不是多面体），C是四棱柱，D是旋转体（圆锥），故选C。 解析： 对于 A，令 7=-，则 摩尔/升，故 A 错误； 对于 B，胃酸的 2-lg2.5<2-lg1=2，故 B 错误； 对于 C，摩尔/升时，根据 可得当 越大时，pH 越小，故酸性越大，故 C 正确； 对于 D，当 摩尔/升时，根据 可得若溶液的碱性越大，则 pH 越大，故 越小，故 D 错误。故选：C。 目标六：小结 学海拾贝 1. 三类重点模型回顾 指数模型：； 时为指数增长（复利、种群）， 时为指数衰减（衰变、折旧）； 对数模型：，适合增长越来越平缓的场景； 幂函数模型：，增长速度介于一次函数与指数函数之间。 学海拾贝 2. 建模通用五步 审题（找变量）→ 建模（选函数）→ 求解（运算）→ 检验（看是否符合实际）→ 作答（解释结果） 特别提醒：解出来的数学解，要结合自变量的实际范围取舍；负数、不符合现实意义的解要舍去。 学海拾贝 3. 区分模型的关键：看增长趋势 变化特征 适合的模型 成倍增减 指数模型 随自变量增大、增速逐渐放缓 对数模型 多项式型增长 幂函数模型 【新教材】人教B版·高一必修第二册 感谢聆听! $