4.1.2 第2课时 指数函数的性质与图象的应用-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦指数函数性质与图象的应用，系统梳理底数与图象关系（y轴左右底数大小规律）、指数型不等式解法（同底法、化指数幂法、图象法）、复合函数单调性（同增异减），以及定义域、值域、最值、比较大小等应用，构建“性质理解-情境应用-问题解决”的学习支架，衔接前期指数函数基础与后续复杂函数应用。 该资料以《西游记》金箍棒长度变化为情境，引导学生用数学眼光抽象函数关系，通过图象分析方程解的个数（如|3^x -1|=k的解）、复合函数单调性（如y=(1/2)^(x²-2x)单调区间），培养逻辑推理与直观想象。例题结合生活实例（比较1.7^0.3与0.9^3.1大小），体现模型意识，课中助教师突破重难点，课后分层作业帮学生查漏补缺，强化知识应用。

第2课时　指数函数的性质与图象的应用 学习任务 1．进一步熟练掌握指数函数的图象、性质．(直观想象) 2．会求指数形式的函数定义域、值域、最值，以及能判断与证明单调性．(数学运算) 3．能够利用指数函数的图象和性质比较数的大小、解不等式．(数学运算、逻辑推理) 电视剧《西游记》中的孙悟空，是老幼观众都喜爱的人物，他的如意金箍棒更是神奇无比，说大就大，说小就小．假设他手中的金箍棒长1.8米，他喊一声变，就将金箍棒变为原来的2倍，那么孙悟空喊多少声“变”能将金箍棒变得比珠穆朗玛峰还高？ 问题：(1)你能写出金箍棒长度y与孙悟空喊的次数x之间的函数关系吗？ (2)若喊一声“变”，就将金箍棒变为原来的3倍呢？与第一种情况相比，哪种情况金箍棒增长得更快？ [提示]　(1)y＝1.8×2x(x∈N*)． (2)y＝1.8×3x(x∈N*)． 通过画出y＝1.8×2x与y＝1.8×3x的图象(图略)可观察得出y＝1.8×3x增长的更快． 知识点1　底数与指数函数图象的关系 (1)由指数函数y＝ax的图象与直线x＝1相交于点(1，a)可知，在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大． (2)由指数函数y＝ax的图象与直线x＝－1相交于点可知，在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小． 如图所示，指数函数底数的大小关系为0<a4<a3<1<a2<a1． 知识点2　解指数型不等式 (1)形如af (x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解； (2)形如af (x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解； (3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解． 知识点3　与指数函数复合的函数单调性 一般地，形如y＝af (x)(a>0且a≠1)函数的性质有： (1)函数y＝af (x)与函数y＝f (x)有相同的定义域． (2)当a>1时，函数y＝af (x)与y＝f (x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af (x)与y＝f (x)具有相反的单调性． 如何判断形如y＝f (ax)(a>0且a≠1)的函数的单调性？ [提示]　(1)定义法，即“取值—作差—变形—定号”．其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性； (2)利用复合函数的单调性“同增异减”的规律． 1．若函数f (x)＝ax＋b的图象如图所示，且f (－1)＝0，则实数a，b的值可能为(　　) A．a＝3，b＝－3 B．a＝，b＝－ C．a＝2，b＝－ D．a＝，b＝－2 C　[由函数f (x)＝ax＋b的图象，可得函数f (x)为单调递增函数，所以a>1，又由f (－1)＝0，可得a-1＋b＝0，可得ab＝－1，结合选项只有C项符合．] 2．若函数f (x)＝3(2a-1)x+3在R上是减函数，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C．∪(1，＋∞) D． B　[令u＝(2a－1)x＋3，由于函数f (x)＝3(2a-1)x+3在R上是减函数，函数y＝3u为R上的增函数，则函数u＝(2a－1)x＋3为R上的减函数，所以2a－1<0，解得a<．] 3．比较大小：________． <　[因为＝，所以利用指数函数的单调性有<．] 4．若2x+1<1，则x的取值范围是________． (－∞，－1)　[∵2x+1<1＝20，且y＝2x是增函数，∴x＋1<0，∴x<－1．] 类型1　指数函数的图象及应用 【例1】　若方程|3x—1|＝k有一解，则k的取值范围为________． {0}∪[1，＋∞)　[函数y＝|3x—1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示． 当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，即方程|3x－1|＝k有一解．] 　方程解的个数的讨论问题 此类问题，常通过图象进行讨论和分析，关键是要准确找到所求根的范围和图象的延伸趋势，将不可直接求解出方程解的个数问题转为图象的交点问题进行研究，以迅速解题． [跟进训练] 1．方程2|x|＋x＝2的实数根的个数为________． 2　[由2|x|＋x＝2得2|x|＝2－x．在同一平面直角坐标系中作出y＝2|x|与y＝2－x的图象，如图所示．可观察到两个函数图象有且仅有2个交点，故方程有2个实数根．] 类型2　与指数函数有关的定义域、值域问题 【例2】　求下列函数的定义域和值域： (1)y＝；(2)y＝； (3)y＝；(4)y＝． [解]　(1)要使函数式有意义，则1－3x≥0， 即3x≤1＝30， 因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0． 故函数y＝的定义域为(－∞，0]． 因为x≤0，所以0＜3x≤1， 所以0≤1－3x＜1． 所以∈[0，1)， 即函数y＝的值域为[0，1)． (2)要使函数式有意义，则x－4≠0， 解得x≠4， 所以函数y＝的定义域为{x|x≠4}． 因为≠0，所以≠1， 即函数y＝的值域为{y|y>0且y≠1}． (3)要使函数式有意义，则－|x|≥0，解得x＝0． 所以函数y＝的定义域为{x|x＝0}． 因为x＝0，所以＝＝1， 即函数y＝的值域为{y|y＝1}． (4)定义域为R．因为x2－2x－3＝－4≥－4， 所以≤＝16． 又>0， 所以函数y＝的值域为(0，16]． 　函数y＝af (x)的定义域、值域的求法 (1)函数y＝af (x)的定义域即y＝f (x)的定义域． (2)函数y＝af (x)的值域的求法如下： ①换元，令t＝f (x)． ②求t＝f (x)的定义域x∈D． ③求t＝f (x)的值域t∈M． ④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域． [跟进训练] 2．近代数学奠基者高斯，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的高斯函数为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[2.1]＝2，[－3.1]＝－4．已知函数f (x)＝，则函数y＝[f (x)]的值域为________． {0，1，2}　[由函数f (x)＝ 可得f (x)＝＝， 因为1＋2x+1∈(1，＋∞)， 所以∈(0，5)， 所以f (x)∈， 又由高斯函数的定义，可得函数y＝[f (x)]的值域为{0，1，2}．] 类型3　指数函数单调性的应用 　比较两数的大小 【例3】　【链接教材P12例1】 (1)下列大小关系正确的是(　　) A．0.43<30.4<π0 B．0.43<π0<30.4 C．30.4<0.43<π0 　 D．π0<30.4<0.43 (2)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<b<c 　 B．a<c<b C．b<a<c 　 D．b<c<a (1)B　(2)C　[(1)0.43<0.40＝1＝π0＝30<30.4，故选B． (2)∵1.50.6>1.50＝1，0.60.6<0.60＝1，故1.50.6>0.60.6，又函数y＝0.6x在(－∞，＋∞)上是减函数，且1.5>0.6，所以0.61.5<0.60.6，故0.61.5<0.60.6<1.50.6，故选C．] 【教材原题·P12例1】 例1　利用指数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小． (1)0.8-0.1与0.8-0.2；(2)2.5a与2.5a+1． 分析：每一组的两个值都有共同特征，因此可以选取合适的函数，用函数的单调性来解决问题． [解]　(1)因为0.8-0.1与0.8-0.2都是以0.8为底的幂值，所以考察函数y＝0.8x，由于这个函数在实数集R上是减函数，又因为－0.1＞－0.2，所以0.8-0.1＜0.8-0.2． (2)因为2.5a与2.5a+1都是以2.5为底的幂值，所以考察函数y＝2.5x，由于这个函数在实数集R上是增函数，又因为a＜a＋1，所以． 　解简单的指数不等式 【例4】　(1)不等式≤2的解集为________． (2)已知a-5x>ax+7(a>0且a≠1)，求x的取值范围． [思路导引]　(1)化为同底数的形式，利用指数函数的单调性求解． (2)当底数为字母时，通常分为a＞1或0＜a＜1两种情况进行讨论． (1){x|x≥0}　[∵2＝，∴原不等式可化为，∵函数y＝在R上是减函数，∴3x－1≥－1，∴x≥0，故原不等式的解集是{x|x≥0}．] (2)[解]　当a>1时，∵a-5x>ax+7， ∴－5x>x＋7，解得x<－； 当0<a<1时，∵a-5x>ax+7，∴－5x<x＋7， 解得x>－． 综上所述，当a>1时，原不等式的解集是； 当0<a<1时，原不等式的解集是． 　指数型函数的单调性 【例5】　【链接教材P12例2】 求y＝的单调区间，并求其值域． [思路导引]　求复合函数的单调性利用“同增异减”求解． [解]　令u＝x2－2x，则原函数变为y＝． ∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增， 又∵y＝在(－∞，＋∞)上单调递减， ∴y＝在(－∞，1]上单调递增， 在[1，＋∞)上单调递减． ∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1， ∴y＝，u∈[－1，＋∞)， ∴0<＝3， ∴原函数的值域为(0，3]． 【教材原题·P12例2】 例2　已知实数a，b满足＞，试判断6a与6b的大小． [解]　因为函数y＝在实数集R上是减函数，所以由＞可知a＜b． 又因为y＝6x在实数集R上是增函数， 所以6a＜6b． 　1．比较幂值大小的三种类型及处理方法 2．解指数不等式的类型及应注意的问题 (1)形如ax>ab的不等式，借助函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，要对a分为0<a<1和a>1两种情况分类讨论． (2)形如ax>b的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助函数y＝ax的单调性求解． 3．函数y＝af (x)(a>0且a≠1)的单调性的处理技巧 当a>1时，y＝af (x)与y＝f (x)的单调性相同； 当0<a<1时，y＝af (x)与y＝f (x)的单调性相反． [跟进训练] 3．(1)下列各式比较大小正确的是(　　) A．1.70.3<0.93.1 B．1.72.5>1.73 C．0.6-1>0.62 D．0.8-0.1>1.250.2 (2)使不等式92x-1<成立的x的取值范围是(　　) A． B． C． D． (3)若函数f (x)＝2|x－a|(a∈R)满足f (1＋x)＝f (1－x)，且f (x)在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值为________． (1)C　(2)A　(3)1　[(1)由于1.70.3>1.70＝<0.90＝1，故A错误；对于指数函数y＝ax，当a>1时，函数为增函数，故B错误；当0<a<1时，函数为减函数，故C正确；由于0.8-0.1＝，对于指数函数y＝ax，当a>1时，函数为增函数，故D错误． (2)原不等式可化为34x-2<，可得4x－2<，解得x<． (3)因为f (1＋x)＝f (1－x)，所以函数f (x)的图象关于直线x＝1对称，所以a＝1．作出函数f (x)＝2|x-1|的图象，如图．因为函数f (x)在[m，＋∞)上单调递增，所以m≥1，所以实数m的最小值为1． ] 1．(教材P14习题4-1BT3(2)改编)已知a＝1.20.5，b＝0.51.5，c＝，则这三个数的大小关系为(　　) A．a<b<c　　　　　　　 B．a<c<b C．b<a<c D．b<c<a D　[因为a＝1.20.5>1.20＝1，所以a>1．因为b＝0.51.5<0.51＝，所以0<b<． 而c＝，所以<c<1，故b<c<a．故选D．] 2．函数y＝的单调递增区间为(　　) A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞) C．(1，＋∞) D．(0，1) A　[定义域为R．设u＝1－x，y＝． ∵u＝1－x在(－∞，＋∞)上为减函数， y＝在(－∞，＋∞)上为减函数， ∴y＝在(－∞，＋∞)上是增函数．] 3．(多选)已知函数f (x)＝a－，且f (1)＝，则(　　) A．a＝1 B．f (x)为非奇非偶函数 C．函数f (x)的值域为(－1，1) D．不等式f (3x2－1)＋f (x－3)<0的解集为 ACD　[f (1)＝a－＝，求得a＝1，A正确； 当a＝1时，f (x)＝1－＝， 因为f (－x)＝＝＝－f (x)，x∈R， 所以f (x)为奇函数，B不正确； 因为2x>0，所以2x＋1>1，所以0<<1，－2<<0，所以－1<1＋<1，C正确； f (x)＝1－，因为y＝2x＋1是R上的增函数，y＝是R上的减函数，所以f (x)＝1－是R上的增函数， 所以f (3x2－1)＋f (x－3)<0⇒f (3x2－1)<－f (x－3)＝f (3－x)， 所以3x2－1<3－x，所以3x2＋x－4<0，所以不等式的解集为，D正确．] 4．不等式23-2x<0.53x-4的解集为________． {x|x<1}　[原不等式可化为23-2x<24-3x，因为函数y＝2x是R上的增函数，所以3－2x<4－3x，解得x<1，则此不等式的解集为{x|x<1}．] 回顾本节内容，自主完成以下问题： 1．比较两个指数式值大小的主要方法是什么？ [提示]　(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性． (2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若am<c且c<bn，则am<bn；若am>c且c>bn，则am>bn． 2．如何求解含指数式的方程或不等式？ [提示]　(1)对于含指数式的方程，一般有两种解法：①同底法，将方程的两边化成同底的指数式，再求解；②换元法，通过换元将复杂的方程化为熟悉的方程，再求解． (2)含指数式的不等式的一般解法：先将不等式的两边化成同底的指数式，再利用指数函数的单调性“去掉”底数，转化为熟悉的不等式，如一元一次不等式等． 课时分层作业(三)　指数函数的性质与图象的应用 一、选择题 1．已知函数f (x)＝2x－，则f (x)(　　) A．是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数 A　[因为f (x)的定义域为R且f (－x)＝2－x－＝－2x＝－f (x)，所以f (x)是R上的奇函数．又因为y＝2x是R上的增函数，y＝是R上的减函数，所以函数f (x)＝2x－是R上的增函数．] 2．(教材P13练习BT3(2)改编)若<，则实数a的取值范围是(　　) A． B．(1，＋∞) C．(－∞，1) 　 D． A　[函数y＝在R上为减函数，所以2a＋1>8－2a，所以a>．故选A．] 3．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数y＝2|x|－x2的大致图象是(　　) A　　　　B　　　　　C　　　　D A　[令f (x)＝2|x|－x2，该函数的定义域为R，f (－x)＝2|－x|－(－x)2＝2|x|－x2＝f (x)， 则函数f (x)＝2|x|－x2为偶函数，排除B，D选项；又f (0)＝1>0，排除C选项．故选A．] 4．已知a>b>0，函数f (x)＝2x－4x，则(　　) A．f (a2)<f (ab)<f (b2) B．f (b2)<f (ab)<f (a2) C．f (ab)<f (a2) <f (b2) D．f (a2) <f (b2)<f (ab) A　[因为f (x)＝－＋在(0，＋∞)上单调递减， 又a>b>0，所以a2>ab>b2>0，所以f (a2)<f (ab)<f (b2)．] 5．(多选)对于任意实数a，b，定义max{a，b}＝若函数f (x)＝1－2x，g(x)＝1－，F(x)＝max，则下列说法正确的是(　　) A．函数F(x)是奇函数 B．函数F(x)是偶函数 C．方程F(x)＝有两个解 D．函数F(x)的最大值为1 BC　[由题可得F(x)＝max{f (x)，g(x)}＝ 即F(x)＝1－，则F(－x)＝1－＝1－＝F(x)，故函数F(x)是偶函数，故B正确；由F(x)＝1－＝，解得x＝±1，即方程F(x)＝有两个解，故C正确；因为|x|≥0，则0<≤1，所以0≤1－<1，则F(x)无最大值，故D错误．] 二、填空题 6．函数y＝2－x2＋ax在(－∞，1)上单调递增，则a的取值范围是________． [2，＋∞)　[由复合函数的单调性知，y＝－x2＋ax的对称轴x＝≥1，即a≥2．] 7．已知>，则实数a的取值范围是________． (0，＋∞)　[由>得>，又因为0<<1，所以－a<a， 解得a>0，故实数a的取值范围是(0，＋∞)．] 8．若函数y＝0.5|1-x|＋m的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是________． [－1，0)　[因为函数y＝0.5|1-x|＋m的图象与x轴有公共点， 所以就是求函数m＝－0.5|1-x|的值域问题． 因为m＝－0.5|1-x|的值域为[－1，0)． 故实数m的取值范围是[－1，0)．] 三、解答题 9．设函数f (x)＝，a是不为零的常数． (1)若f (3)＝，求使f (x)≥4的x的取值范围； (2)当x∈[－1，2]时，f (x)的最大值是16，求a的值． [解]　(1)由f (3)＝， 即＝， 所以10－3a＝1，解得a＝3． 由f (x)＝≥4＝， 即10－3x≤－2，解得x≥4． 故x的取值范围是[4，＋∞)． (2)当a＞0时，函数f (x)＝在x∈[－1，2]时单调递增， 则x＝2时，函数取最大值＝16， 即10－2a＝－4，解得a＝7； 当a＜0时，函数f (x)＝在x∈[－1，2]时单调递减， 则x＝－1时，函数取最大值＝16， 即10＋a＝－4，解得a＝－14． 综上可得，a＝7或a＝－14． 10．设函数f (x)＝若互不相等的实数a，b，c满足f (a)＝f (b)＝f (c)，则2a＋2b＋2c的取值范围是(　　) A．(16，32)　 B．(18，34) C．(17，35)　 D．(6，7) B　[作出函数f (x)的图象如图所示． 不妨设a<b<c，则1－2a＝2b－1＝－c＋5∈(0，1)， 所以2a＋2b＝2，c∈(4，5)， 从而2c∈(24，25)，即2c∈(16，32)， 因此18<2a＋2b＋2c<34， 即2a＋2b＋2c的取值范围是(18，34)．故选B．] 11．已知函数f (x)＝ 是R上的增函数，则a的取值范围是(　　) A．[－4，0) B．[－4，－2) C．[－4，＋∞) D．(－∞，－2) B　[因为f (x)＝ 且f (x)在R上单调递增， 所以 解得－4≤a<－2，即a∈[－4，－2)．] 12．设函数y＝，若函数在(－∞，1]上有意义，则实数a的取值范围是________． 　[设t＝2x，∵x∈(－∞，1]， ∴0<t≤2． 则原函数有意义等价于1＋t＋at2≥0在t∈(0，2]上恒成立，∴a≥－，设f (t)＝－， 则f (t)＝－＝－＋， ∵0<t≤2，所以∈， ∴f (t)≤f＝－，∴a≥－．] 13．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|＋1(a>0且a≠1)的图象有两个公共点，则实数a的取值范围是________． 　[当a>1时，函数y＝|ax－1|＋1的图象如图(1)所示，则由图可知1＜2a＜2，解得＜a＜1，与a＞1矛盾； 当0＜a＜1时，函数y＝|ax－1|＋1的图象如图(2)所示，则由图可知1＜2a＜2，解得＜a＜1． (1)　　　　　　　　　(2) 综上可知，实数a的取值范围为．] 14．已知函数f (x)＝4a×9x＋(8a－3)×3x-1＋a－(a∈R)． (1)若a＝，求f (x)的值域； (2)若a＞，存在实数m，n(m＜n)，当f (x)的定义域为[m，n]时，f (x)的值域为[3m+1，3n+1]，求实数a的取值范围． [解]　(1)若a＝，则f (x)＝9x－3x-1－，令u＝3x，u∈(0，＋∞)， 令y＝u2－，u∈(0，＋∞)，二次函数的图象开口向上，对称轴为u＝， 所以当u＝时，ymin＝－＝－1，所以f (x)的值域为[－1，＋∞)． (2)因为a＞，所以f (x)在R上单调递增， 所以当f (x)的定义域为[m，n]时，f (x)的值域为[f (m)，f (n)]， 即即f (x)＝3x+1在R上有两个不同的实数解， 即4a×9x＋×3x＋＝0在R上有两个不同的实数解， 令t＝3x，t∈(0，＋∞)，所以4at2＋t＋＝0在(0，＋∞)上有两个不同的实数解， 所以 解得＜a＜1， 所以实数a的取值范围为． 15．已知函数f (x)＝x2＋1，若∃m∈[1，4]，使得不等式f (4－ma)＋f (m2＋3m)≤2成立，则实数a的最大值是________． 8　[构造函数g(x)＝f (x)－1＝x2＋1－1＝x2， 因为g(x)＋g(－x)＝x2＋x2＝x2＝0， 所以函数g(x)是奇函数，当x2＞x1＞0时， ＜0＞0， 因为x2＞x1＞0，所以＞0，因此有 ＞0， 所以有g(x)＜0(x＞0)，g(x2)＜g(x1)，因此此时函数g(x)单调递减，而g(0)＝0，函数g(x)是奇函数，所以函数g(x)是实数集上的减函数，f (4－ma)＋f (m2＋3m)≤2⇒f (4－ma)－1≤－[f (m2＋3m)－1]⇒g(4－ma)≤－g(m2＋3m)＝g(－m2－3m)⇒4－ma≥－m2－3m， 因为m∈[1，4]，所以由4－ma≥－m2－3m⇒m2＋3m＋4≥ma⇒a≤m＋＋3， 令p(m)＝m＋＋3，m∈[1，4]，当1≤m＜2时，p(m)单调递减，当2＜m≤4时，p(m)单调递增， 因为p(2)＝7，p(1)＝p(4)＝8，∴p(m)在[1，4]上的最大值为8， 要想∃m∈[1，4]，使得不等式f (4－ma)＋f (m2＋3m)≤2成立，只需a≤8，则实数a的最大值是8．] 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $