07-专题强化练4 向量基本定理与坐标运算(同步精练)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第二册（人教B版）

该高中数学课件聚焦平面向量初步，围绕向量基本定理与坐标运算，通过各地段考例题（如三点共线、几何图形向量表示）导入，衔接向量概念与综合应用，构建从基础到复杂问题的学习支架。 其亮点在于结合数学眼光（如地砖铺设抽象向量关系）、数学思维（三点共线参数推理）和数学语言（坐标法解决最值），提供一题多解与分层例题。学生能提升逻辑推理与应用能力，教师可借助丰富题型优化教学效果。

第六章 平面向量初步 第1讲　描述运动的基本概念 专题强化练4 向量基本定理与坐标运算 第1讲　描述运动的基本概念 1.[2025江西赣州段考]已知a,b是两个不共线的向量, =λa+μb, =3a-2b, =2a+3b.若A,B,C三点共线, 则实数λ,μ满足 ( ) A.λ=μ-1　　　    B.λ=μ+5 C.λ=5-μ　　　    D.μ=13-5λ     D     解析     = - =(λa+μb)-(3a-2b)=(λ-3)a+(μ+2)b, = - =(2a+3b)-(3a-2b)=-a+5b, 因为A,B,C三点共线,所以 与 共线,故存在实数m使 =m ,即(λ-3)a+(μ+2)b=-ma+5mb,又a,b不共 线,所以 可得μ=13-5λ. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026山东青岛第一中学开学检测]如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别在边AD,CD上,AE=3ED,DF= FC,AF与BE相交于点G,记 =a, =b,则 = ( )   A. a- b　　　    B.- a+ b　　　     C. a- b　　　    D.- a+ b     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设 =λ ,则 =λ  =λ =  + λ , 因为B,G,E三点共线,所以 + λ=1,解得λ= , 即 =  ,所以 =  +  =  -  = a- b. 第1讲　描述运动的基本概念 一题多解　如图,延长AF,BC,交于点H,   在▱ABCD中,因为F为CD的中点,所以CF= CD= AB,又BA∥CF,所以CF为△ABH的中位线,所以AF= FH,BC=CH, 易知△AGE∽△HGB,则 = = ,可得 = ,则 =  =  , 所以 =  +  =  -  = a- b. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026江苏南京周测]在△ABC中,点P在边BC上,且BP=2PC,过点P的直线l与射线AB,AC分别交于不同 的两点M,N,若AB=mAM,AC=nAN,则下列关系式成立的是( ) A.3m+n=4　　　    B.m+3n=4 C.2m+n=3　　　    D.m+2n=3     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意知, = + = +  = + ( - )=  +  , 又 =m , =n ,故 = m + n ,由P,M,N三点共线,可得 m+ n=1,即m+2n=3.   第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026陕西渭南质量检测]如图,已知G是△ABC的重心,过点G作一条直线与边AB,AC分别交于点E,F (点E,F与所在边的端点均不重合),设 =x , =y ,则 + 的最小值是( )   A.1　　　    B. 　　　    C.2　　　    D.4     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析    由题意得 =  +  , =  =    +   =  +  , ∵E,G,F三点共线,∴ + =1,即x+y=3, 由题意得x>0,y>0,∴ + = (x+y) =  ≥ × = , 当且仅当x=y= 时取等号.故 + 的最小值是 . 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2025黑龙江哈尔滨模拟]地砖是一种地面装饰材料,也叫地板砖,用黏土烧制而成,质坚、耐压耐磨、 防潮.地砖品种非常多,图案也多种多样.某公司大厅的地砖铺设方式如图所示,地砖有正方形与正三角 形两种,且它们的边长都相等,若 =a, =b,则 = ( )   A.- a- b　　　     B.- a- b C.- a+ b　　　    D.- a- b     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图,取AB的中点O,以O为坐标原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.   设AB=2,则P(0, ),A(-1,0),B(1,0),F(1,2+2 ),所以 =(-1,- ), =(1,- ), =(2,2+2 ). 设 =λ +μ (λ,μ∈R), 则 解得  第1讲　描述运动的基本概念 所以 =-  -  , 即 =- a- b. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[多选题][2025河南安阳期中]已知△ABC中,点D是边AC的中点,点M是△ABC所在平面内一点且满足  + +4 =0,则下列结论正确的有 ( ) A.点M是BD的中点 B.点M在BD上但不是BD的中点 C.△CDM与△ABM的面积的比值为1 D.△CDM与△ABD的面积的比值为      ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为AC的中点为D,所以 + =2 .又 + =4 ,所以2 =4 , 所以 =2 ,即M为BD的中点,A正确,B错误.   由M为BD的中点得,S△ABM=S△ADM=S△CDM=S△CBM,所以C,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2025浙江强基联盟联考]在平面直角坐标系中,点A(1,0),B(-1,0),C在以坐标原点为圆心,2为半径的圆 上运动,则|2 + |的最大值是 ( ) A.5　　　    B.6　　　    C.7　　　    D.8     C     解析　设C(2cos α,2sin α),则 =(1-2cos α,-2sin α), =(-1-2cos α,-2sin α), 所以2 + =2(1-2cos α,-2sin α)+(-1-2cos α,-2sin α)=(1-6cos α,-6sin α), 所以|2 + |= = , 因为-1≤cos α≤1,所以当cos α=-1时,|2 + |取得最大值,且 =7. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026湖南长沙明德中学阶段检测]在△ABC中,D是BC边上靠近点B的三等分点,若 与2 +m 平 行,则实数m=_________.     4     解析　根据题意可得 =-2 , 所以2 +m =2 +2 +m =2 +(m-4) , 由 与2 +m 平行,可得存在实数λ,使得 =λ[2 +(m-4) ](λ≠0), 即(1+2λ) =λ(m-4) ,又 , 不共线, 所以 解得  第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026河北邯郸大名第一中学月考]已知点P是△ABC所在平面内的一点,若 =  +  ,则 = _________. 解析　因为 =  +  ,所以 = ( + )+ ( + ),整理得 + +2 =0. 设F为AB的中点,连接PF,如图.   则 + =2 ,所以 =- ,所以S△APC=S△APF, 又S△APF= S△APB,所以 = . 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026河南部分学校期中]边长为4的正方形ABCD,点P在正方形内(含边界),满足 =x +y (x,y∈ R),当点P在线段BD上时,x2+2y2的最小值为_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴、y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,根据题意可 得A(0,0),B(4,0),C(4,4),D(0,4), 设P(m,n),则m,n∈[0,4],因为 =x +y , 且点P在线段BD上,所以x+y=1,x∈[0,1],y∈[0,1], 则x2+2y2=x2+2(1-x)2=3x2-4x+2=3 + ,当x= 时,x2+2y2取得最小值,为 .   第1讲　描述运动的基本概念 11.[2025河北保定期中]如图,在△ABC中, =  , =  .设 =a, =b. (1)用a,b表示 , ; (2)若P为△ABC内部一点,且 =- a+ b,求证:M,P,N三点共线.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1) = + = +  = + ( - )=  +  = a+ b,  = - =  +  -  =  +  = a+ b. (2)证明: = - = +  =- a+ b+ a= a+ b, 又 = a+ b,故 =3 ,故M,P,N三点共线. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2025辽宁沈阳期末]如图1所示,在△ABC中,点D在线段BC上,且满足3 = ,G是线段AB上的点,且 满足3 =2 ,线段CG与线段AD交于点O. (1)若 =x +y ,求实数x,y的值; (2)若 =t ,求实数t的值; (3)如图2,过点O的直线与边AB,AC分别交于点E,F,设 =λ , =μ (λ>0,μ>0),求λ+μ的最小值.  　      第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为3 = ,所以 =  , 所以 = + = +  = + ( - )=  +  ,所以x= ,y= . (2)由题意可知 = - = -  =-  + ,  = - =t - =t -  =t -  =  +  , 又因为G,O,C三点共线,所以存在实数k使得 =k , 即  +  =k =-  +k , 所以 解得  第1讲　描述运动的基本概念 (3)由题意得  = ,  = ,由(2)知 =  =  =  +  = ×  + ×   =  +  , 又因为E,O,F三点共线,所以 + =1,又λ>0,μ>0,所以λ+μ= (λ+μ)= + + ≥ +2  = +2 = , 当且仅当 = ,即μ= ,λ= 时取等号,所以λ+μ的最小值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2026辽宁沈阳五校协作体期末]如图,四边形ABCD是正方形,E在AB边上运动,F在BC边上运动,AF与 DE交于点G. (1)若E是AB的中点,BC=3BF, =λ ,求实数λ的值; (2)若AE=BF, =m +n ,求 的最大值.   第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图,建立平面直角坐标系,设正方形的边长为6,   (1)A(0,6),F(6,4),D(0,0),E(3,6),所以 =(6,-2), =(3,6), 设点G(a,b),则 =(a,b-6), 由 =λ ,得(a,b-6)=λ(6,-2), 所以 即 得G(6λ,6-2λ), 设 =μ ,则(6λ,6-2λ)=μ(3,6), 第1讲　描述运动的基本概念 所以 解得λ= . (2)因为A,G,F三点共线,且 =m +n , 所以m>0,n>0,m+n=1, 设AE=BF=x(0≤x≤6), 则A(0,6),B(6,6),C(6,0),D(0,0),E(x,6),F(6,6-x),所以 =(0,6), =(6,6-x), =(x,6), 所以 =m +n =(6n,6m+6n-nx)=(6n,6-nx), 又 ∥ ,所以36n=6x-nx2, 所以n= ,m=1-n= , 所以 = = , 第1讲　描述运动的基本概念 若x=0,则 =0; 若x∈(0,6],则 = = ≤ =1,当且仅当x= ,即x=6时,等号成立, 所以 的最大值为1. 第1讲　描述运动的基本概念 $