06-6.2.3 平面向量的坐标及其运算(同步精练)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第二册（人教B版）

该高中数学课件聚焦平面向量的坐标表示、运算及平行条件，通过单位正交基底衔接向量基本定理，以题组形式构建从坐标定义到运算应用的学习支架，帮助学生逐步掌握坐标表示、加减数乘及共线判定。 其亮点在于融入创新题（如旋转向量新定义）、一题多解（定比分点坐标）和情境题（三角尺拼图），以数学眼光抽象新定义关系，用数学思维推理运算逻辑，借数学语言表达几何问题。学生能提升抽象与运算能力，教师可通过分层练习优化教学效率。

第六章 平面向量初步 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 6.2　向量基本定理与向量的坐标 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　平面向量的坐标表示 1.[教材习题改编]如图所示,{e1,e2}为单位正交基底,则向量a,b的坐标分别是 ( )   A.(3,4),(2,-2) 　　　    B.(2,3),(-2,-3) C.(2,3),(2,-2)　　　    D.(3,4),(-2,-3)     C     解析　根据题中的平面直角坐标系,可知a=2e1+3e2,b=2e1-2e2, ∴a=(2,3),b=(2,-2). 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江苏镇江扬中第二高级中学检测]已知A(2,3),B(4,-3),点P在线段AB的延长线上,且| |=2| |,则 点P的坐标为 ( ) A. 　　　    B.  C.(6,-9)　　　    　D.(-9,6)     C     解析    因为点P在线段AB的延长线上,且| |=2| |,所以点B为AP的中点, 设点P(x,y),则 解得 所以点P的坐标为(6,-9). 第1讲　描述运动的基本概念 3.[创新题·新定义][2025辽宁大连模拟]已知对任意平面向量 =(x,y),把 绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量 =(xcos θ-ysin θ,xsin θ+ycos θ),称为把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P.已知平面内点A(1,2),B(1+ ,2-2 ),把点B绕点A沿逆时针方向旋转 后得到点P,则P的坐标为 ( ) A.(0,-1)　　　    B.(2,5)　　　    C.(4,1)　　　    D.(3,-1)     C     解析     =( ,-2 ),把点B绕点A沿逆时针方向旋转 后得到 =  × +2 × , × -2 ×   =(3,-1), 设P(m,n),则 =(m-1,n-2)=(3,-1),解得m=4,n=1,即P(4,1). 第1讲　描述运动的基本概念 4.已知{a,b}是平面向量的一组基底,若m=xa+yb,则称有序实数对(x,y)为向量m在基底{a,b}下的坐标.给 定一个平面向量p,已知p在基底{a,b}下的坐标为(1,2),那么p在基底{a-b,a+b}下的坐标为_________. 解析　由p在基底{a,b}下的坐标为(1,2),得p=a+2b. 设p在基底{a-b,a+b}下的坐标为(m,n),则p=m(a-b)+n(a+b),所以p=(m+n)a+(n-m)b, 所以 解得  所以p在基底{a-b,a+b}下的坐标为 . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　平面向量的坐标运算 5.[2026河北五校教研体期中]已知向量 =(-2,1), =(3,4),则 = ( ) A.(1,5)　　　     B.(-1,-5)　　　     C.(-5,-3)　　　    D.(5,3)     D     解析　由 =(-2,1), =(3,4),得 = - =(5,3). 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2025江苏南京期中]已知向量a=(0,4),b=(3,6),c=(-1,6),若c=λa+μb(λ,μ∈R),则λ+μ=　     ( ) A. 　　　    B. 　　　    C.- 　　　    D.-      B     解析　由题意得(-1,6)=λ(0,4)+μ(3,6)=(3μ,4λ+6μ),所以3μ=-1,4λ+6μ=6, 可得μ=- ,λ=2,即得λ+μ=2- = . 第1讲　描述运动的基本概念 7.[多选题][2026北京海淀期中]已知向量 =(1,2), =(-2,4),则 (　　　　　) A. =(-3,2) B.| |=2| | C. ∥  D.与 方向相同的单位向量为      ABD     解析     = - =(-2,4)-(1,2)=(-3,2),A正确;| |= =2 ,| |= = , ∴| |=2| |,B正确;因为1×4≠2×(-2),所以 与 不平行,C错误;与 方向相同的单位向量为 = ,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2025江苏徐州铜山月考]如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB=4,E为AD的中点, 若 =λ +μ (λ,μ∈R),则λ+μ的值为 ( )   A. 　　　    B. 　　　    C.2　　　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图,以D为坐标原点,DC,DA所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系.   则D(0,0),C(4,0),A(0,4),B(2,4),E(0,2), 所以 =(-4,4), =(-4,2), =(2,4), 因为 =λ +μ (λ,μ∈R), 所以(-4,4)=λ(-4,2)+μ(2,4), 则 解得 所以λ+μ= . 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2025辽宁葫芦岛期末]在平面直角坐标系中,点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).在以线段AB,AC为邻边的平行 四边形的两条对角线中,较长的对角线的长为 ( ) A.4 　　　    B.2  C.2 　　　    D.2      B     解析　以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长分别为| + |,| - |. 因为A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1), 所以 =(3,5), =(-1,1), 所以 + =(2,6), - =(4,4), 所以| + |= =2 ,| - |= =4 , 因为2 >4 ,所以较长的对角线的长为2 . 第1讲　描述运动的基本概念 10.对于任意的两个向量m=(a,b),n=(c,d),a,b,c,d∈R,规定运算“⊗”:m⊗n=(ac-bd,bc+ad),运算“※”:m ※n=(a+c,b+d).设f=(p,q),若(1,2)⊗f=(5,0),则(1,2)※f 等于　     ( ) A.(4,0)　　　    B.(2,0) C.(0,2)　　　    D.(0,-4)     B     解析　由(1,2)⊗f=(5,0),得 解得  所以f=(1,-2),所以(1,2)※f=(1+1,2-2)=(2,0). 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2024黑龙江牡丹江期末]已知向量a=(1,x),b=(x-2,x),若|a+b|=|a-b|,则实数x=____________.     1或-2     解析    ∵a+b=(x-1,2x),a-b=(3-x,0),∴|a+b|= ,|a-b|= , 又∵|a+b|=|a-b|,∴x2+x-2=0,解得x=1或x=-2. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2025浙江杭州高级中学月考]分别以直角三角形的三条边为边作正方形,从斜边上作出的正方形的 面积正好等于在两直角边上作出的正方形的面积之和,这就是著名的毕达哥拉斯定理.现在对直角三角 形CDE进行上述操作后,得到如图所示的图形.若 =x +y ,则x+y=_________.   第1讲　描述运动的基本概念 解析　以A为原点建立平面直角坐标系,如图,   设正方形ABCD的边长为2a(a>0),则正方形DEHI的边长为 a,正方形EFGC的边长为a, 故A(0,0),B(2a,0),D(0,2a),DF=( +1)a, 则xF=( +1)a·cos 30°= a,yF=( +1)a·sin 30°+2a= a,即F . ∵ =x +y , ∴ =x(2a,0)+y(0,2a)=(2ax,2ay), 第1讲　描述运动的基本概念 ∴ ∴ ∴x+y= . 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2026陕西宝鸡质检]在平面直角坐标系Oxy中,已知点A(1,-2),B(2,1),C(3,2). (1)若点D(-2,3), =a, =b,试用基底{a,b}表示 + + ; (2)若 = +λ (λ∈R),且点P在第四象限内,求λ的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1) =(1,3), =(2,4), =(-3,5), =(-4,2), =(-5,1), 所以 + + =(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(-12,8). 由题意,知存在实数m,n,使得 + + =m +n , 即(-12,8)=m(1,3)+n(2,4)=(m+2n,3m+4n), 可得 解得  所以 + + =32 -22 =32a-22b. (2)设P(x,y),则 =(x-1,y+2). 因为 = +λ =(1,3)+λ(2,4)=(1+2λ,3+4λ), 所以 即  又点P在第四象限内,所以 解得-1<λ<- , 故λ的取值范围是 . 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　向量平行的坐标表示 14.[2025山东德州期中]已知向量a=(-1,2),b=(m,1)(m∈R),若a+b与3a-b平行,则m=　     ( ) A.- 　　　    B.- 　　　    C. 　　　    D.      A     解析　由a=(-1,2),b=(m,1)可得a+b=(m-1,3),3a-b=(-3-m,5), 若a+b与3a-b平行,则5(m-1)-3(-3-m)=0,解得m=- . 第1讲　描述运动的基本概念 15.[2026吉林长春第二实验中学月考]已知平面向量a=(1,x),b=(x+2,3),则“a∥b”是“x=1”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件     B 解析　若a∥b,则有1×3-x(x+2)=0,解得x=1或x=-3, 所以“a∥b”是“x=1”的必要不充分条件. 第1讲　描述运动的基本概念 16.[2026云南昭通第一中学开学考试]已知点O(0,0),向量 =(2,3), =(6,-3),点P是线段AB的一个三等 分点,则点P的坐标是 ( ) A. 　　　    　　　B.  C. 或 　　　    D. 或      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为 =(2,3), =(6,-3), 所以 = - =(4,-6), 又因为点P是线段AB的一个三等分点,所以 =  = 或 =  = , 所以 = + = 或 = + = , 即点P的坐标为 或 . 第1讲　描述运动的基本概念 17.[2025广东惠州中学月考]已知点A(3,-4)与点B(-1,2),点P在直线AB上,且| |=3| |,则点P的坐标为 _________________.  或(-3,5)     解析　设P(x,y),由点P在直线AB上,| |=3| |,可得 =±3 . 当 =3 时,有(x-3,y+4)=3(-1-x,2-y),则 可得  当 =-3 时,有(x-3,y+4)=-3(-1-x,2-y), 则 可得  综上,点P的坐标为 或(-3,5). 第1讲　描述运动的基本概念 一题多解　令P(x,y),由点P在直线AB上,| |=3| |,可得 =±3 . 当 =3 时,由定比分点坐标公式可知x= ×3+ ×(-1)=0,y= ×(-4)+ ×2= ,所以点P的坐标为 ; 当 =-3 时,由定比分点坐标公式可知x= ×3+ ×(-1)=-3,y= ×(-4)+ ×2=5,所以点P的坐标为(-3,5). 综上,点P的坐标为 或(-3,5). 第1讲　描述运动的基本概念 记忆结论     定比分点的坐标表示 已知A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l上的两点,点M是l上不同于点A,B的任意一点,若存在一个实数λ(λ≠-1),使  =λ ,O为坐标原点,则有 =  +  ,点M的坐标为 . 第1讲　描述运动的基本概念 18.[2026安徽芜湖期中]平面内给定两个向量a=(1,2),b=(-3,2). (1)若(ka+2b)∥(2a-4b),求实数k的值; (2)若向量c为单位向量,且|c-b|=2 ,求c的坐标. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)ka+2b=(k-6,2k+4),2a-4b=(14,-4),因为(ka+2b)∥(2a-4b), 所以(k-6)×(-4)-(2k+4)×14=0,解得k=-1. (2)设向量c=(x,y),因为向量c为单位向量, 所以|c|= =1①, 又因为c-b=(x+3,y-2),所以|c-b|= =2 ②, 由①②解得 或  所以c=(1,0)或c= . 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 6.2　向量基本定理与向量的坐标 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　平面向量的坐标运算 1.[多选题][2025河北保定检测]已知A(2,-1),B(1,4),C ,O为坐标原点,则下列说法正确的是  （　　　　） A. =(-1,5)　　　  　　  B.A,O,C三点共线 C.A,B,C三点共线　　　    D. + =3      AB     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得 =(-1,5),A正确; 易知C ,所以 = , =(2,-1),所以 =-2 ,所以O,A,C三点共线,B正确;  =(-1,5), = ,因为-1× -5×(-3)≠0,所以 , 不共线,所以A,B,C三点不共线,C错误; + = (3,3)≠3 = ,D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2025河南南阳月考]在平面直角坐标系中,以O(0,0),A(1,1),B(3,0)为顶点构造平行四边形,下 列坐标中能作为平行四边形顶点坐标的是 ( ) A.(-3,1)　　　    B.(4,1) C.(-2,1)　　　    D.(2,-1)     BCD     解析　设第四个顶点为C(x,y), 当OA是平行四边形OBAC的对角线时,有 = ,即(1-x,1-y)=(3,0),解得 即C(-2,1), 当OB是平行四边形OABC的对角线时,有 = ,即(2,-1)=(x,y),解得 即C(2,-1), 当OC是平行四边形OACB的对角线时,有 = ,即(x-1,y-1)=(3,0),解得 即C(4,1). 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2025重庆万州第三中学月考]三角尺是一种用于几何绘图和测量的工具.下图是由两块三角尺拼出 的一个几何图形,其中AB⊥BC,AC⊥AD,AB=BC=2,AD=AC,若 =x +y ,则xy= ( )   A. 　　　    B.- 　　　    C. 　　　    D.-      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　以B为坐标原点, , 的方向分别为x,y轴的正方向,建立如图所示的平面直角坐标系.   则A(0,2),B(0,0),C(2,0),D(2,4), 则 =(2,4), =(2,-2), =(2,2). 因为 =x +y ,所以(2,4)=(2x+2y,-2x+2y), 则 解得 故xy=- × =- . 第1讲　描述运动的基本概念 4.已知正方形PQRS的两条对角线交于点M,坐标原点O不在正方形内部, =(0,3), =(4,0),则向量 =  ( ) A. 　　　    B.  C. 　　　    D.      D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由 =(0,3), =(4,0),得P(0,3),S(4,0).根据题意作出如图所示的正方形PQRS,过R作RN⊥x轴,垂 足为N,易知Rt△OSP≌Rt△NRS,所以SN=OP=3,RN=OS=4,则ON=7,所以点R的坐标为(7,4),所以 =   = (-7,-1)= .   第1讲　描述运动的基本概念 5.[2025广东佛山期中]如图,在直角梯形OABC中,OA∥CB,OA⊥OC,OA=2BC=2OC,M为线段AB上靠近 点B的三等分点,OM交AC于D,P为线段BC上的一个动点(包含端点). (1)用 和 表示 ; (2)设 =λ +μ ,求λ,μ的取值范围.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为M为线段AB上靠近点B的三等分点,所以 =  = ( - ), 又CB∥OA,且OA=2BC,故 =  , 则 = - = - ( - )=  +  =  + ( + )=  +  =  +  ,即 =   +  . (2)以O为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系.   第1讲　描述运动的基本概念 设OA=2,则A(2,0),C(0,1),B(1,1),O(0,0), 因为点P在线段BC上运动(包含端点),所以可设其坐标为(m,1),0≤m≤1,则 =(1,1), =(2,-1), =(m, 1),由 =λ +μ 可得1=2λ+μm,1=-λ+μ, 则λ=μ-1,μ= ,因为m∈[0,1],所以m+2∈[2,3],故μ∈ ,λ∈ . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　向量平行的坐标表示 6.[2026浙江杭州学军中学开学考试]已知向量 =(5,1), =(m,9), =(8,5).若A,C,D三点共线,则m=  ( ) A. 　　　    B.-11　　　    C.11　　　    D.-      C     解析　因为 =(5,1), =(m,9),所以 = + =(m+5,10),因为A,C,D三点共线,所以 ∥ ,所以5(m +5)=8×10,解得m=11. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2025重庆月考]已知向量 =(1,-3), =(2,-1), =(m+1,m-2),若点A,B,C能构成三角形,则实数m不可 以是 ( ) A.-2　　　    B.  C.1　　　    D.-1     C     解析　因为 = - =(2,-1)-(1,-3)=(1,2), = - =(m+1,m-2)-(1,-3)=(m,m+1). 假设A,B,C三点共线,则1×(m+1)-2m=0,即m=1, 所以只要m≠1,A,B,C三点即可构成三角形. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026辽宁锦州部分学校联考]设 =(-2,4), =(-a,2), =(b,0),其中a>0,b>0,O为坐标原点,若A,B,C三 点共线,则2a+b=_________, + 的最小值为___________.      +          2     解析　由题意得 = - =(-a+2,-2), = - =(b+2,-4),若A,B,C三点共线,则 与 共线,所以(-a +2)×(-4)-(-2)×(b+2)=0,即2a+b=2,则 + =  (2a+b)=  ≥  2 +3 = + , 当且仅当 即 时取等号,故 + 的最小值为 + . 第1讲　描述运动的基本概念 $