6.2.3 平面向量的坐标及其运算（教学课件）高一数学人教B版必修第二册

【新教材】人教B版·高一必修第二册 第六章 平面向量初步 6.2.3 平面向量的坐标及其运算 6.2向量基本定理与向量的坐标 学 习 目 标 1 2 理解正交分解，掌握平面向量的坐标定义，能在直角坐标系中写出向量的坐标；区分点的坐标与向量的坐标，会由两点坐标求向量坐标： 掌握向量坐标的加减、数乘运算法则，能熟练进行坐标运算。 掌握平面向量共线的坐标条件：若，会用坐标判定向量共线、三点共线。 重点 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，体现数学抽象能力，会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算，体现逻辑推理能力 难点 理解坐标表示的向量共线条件，体现数学抽象能力 复习旧知 上一节课我们学习了平面向量基本定理：平面内任一向量a，都可以唯一表示为一组不共线基底的线性组合=。 如果我们把基底取成x轴、y轴方向互相垂直的单位向量i,j，这种特殊的分解叫正交分解。 既然i,j固定，那么任意向量就可以用一对实数唯一描述，这一对实数就是向量的坐标。有了坐标，向量的加法、减法、数乘就不再依靠画图，直接变成实数计算。今天我们就学习平面向量的坐标及其运算。 目标一：平面向量的坐标 向量的正交分解 知识讲解 互动探究 新课引入 向量的垂直 平面上的两个非零向量 与 b，如果它们所在的直线互相垂直，我们就称向量 与 b 垂直，记作 ⟂b。规定零向量与任意向量都垂直。 向量的正交分解 如果平面向量的基底 {} 中，，就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解。 5 在不共线的两个向量中，垂直是一个特殊情形，向量的正交分解是向量分解常用且重要的一种分解。在平面上，如果选取垂直的向量组成基底，会给问题的研究带来方便。正交分解可看成平面向量基本定理的特例，平面向量基本定理是把平面内的任意一个向量分解为两个不共线的向量，正交分解则是这两个不共线向量互相垂直的特殊形式。 说明 平面向量的坐标 知识讲解 互动探究 新课引入 平面向量的坐标 一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量 ，对于平面内的向量，如果 =，则称 (x,y) 为向量的坐标，记作 =(x,y)。 向量的坐标表示的意义 通过建立平面直角坐标系，可以将平面内的任一向量用一个有序实数对来表示；反过来，任一有序实数对都表示一个向量。因此向量的坐标表示实质上是向量的代数表示，引入向量的坐标表示后，可使向量运算代数化，将数和形结合起来，从而将几何问题转化为代数问题来解决。 7 向量的坐标表示的意义 知识讲解 互动探究 新课引入 （1）=(x,y) 中的 x,y 实际上是由平面向量基本定理得出来的，所以 x,y 的值是唯一确定的。 （2）向量的坐标表示是继向量的几何表示、字母表示后的又一表示方法。向量的坐标表示实际上是向量的代数表示。 （3）由向量的坐标定义知，两向量相等等价于它们的坐标相等，即 a=b⇔ 且 ，其中 a=( ),b=( )。 （4）(x,y) 在平面直角坐标系下有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，为加以区别，常说点 (x,y) 和向量 (x,y)。 8 点的坐标与向量的坐标的区别与联系   表示形式不同 意义不同 区别 向量 中间用等号连接，而点 中间没有等号 点 的坐标 表示点 在平面直角坐标系中的位置， 的坐标 既表示向量的大小，也表示向量的方向。另外， 既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点 或向量 联系 向量的坐标与其终点的坐标不一定相同。当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同 对点体验 已知向量 i=(1,0),j=(0,1)，对坐标平面内的任一向量 ，给出下列四个结论，其中不正确的有（ ） A. 存在唯一的一对实数 ，使得 B. 若 ，则 ，且 C. 若 ，且 ，则 的始点是原点 D. 若 ，且 的终点坐标是 ，则 对点体验 解 由平面向量基本定理，知 A 正确；例如 ，但 ，故 B 错误；因为向量可以平移，所以 与 的始点是不是原点无关，故 C 错误；当 的终点坐标是 时， 是以 的起点是原点为前提的，故 D 错误。 对点体验 在平面直角坐标系中，点 ，，如图 所示， 轴， 轴正方向上的两个单位向量分别为 和 ，则下列说法正确的是________（只填序号）。 ① ；② ；③ ；④ 。 解 互相垂直，故可作为基底，由平面向量基本定理，有 ，故①③④正确。 对点体验 如图 ，若向量 是互相垂直的单位向量，则向量 在平面直角坐标系中的坐标为（ ）。 A. B. C. 或 D. 或 解 建立平面直角坐标系，用三角形法则画出向量 ，如图 所示，由图可知 在平面直角坐标系中的坐标为 。故选 A。 目标二：平面向量的坐标运算 两个向量和（差）的坐标运算 知识讲解 互动探究 新课引入 假设平面上有两个向量 ，，也就是说 ，， 则当 时，有 ，由 ， 是相互垂直的单位向量可知 且 ；反之，结论也成立. 这就是说，平面上两个向量相等的充要条件是它们的坐标对应相等. 另外，因为， 所以. 类似地，可以得出，如果 ， 是两个实数，则 (1) ; (2) . 15 两个向量和（差）的坐标运算 知识讲解 互动探究 新课引入 若 ，则 。 如果 是两个实数，那么 。 16 已知 ，，求下列向量的坐标： (1) ； ；（3） 对点体验 解 (1) （3） 模和距离 知识讲解 互动探究 新课引入 向量的模 如果向量 ，那么 。 平面直角坐标系内两点之间的距离公式 设 为平面直角坐标系中的两点， 为坐标原点，则 ，所以 。 18 已知 ，，求 ， 对点体验 由已知可得 ， 中点坐标和非零向量单位向量的坐标 知识讲解 互动探究 新课引入 平面直角坐标系内的中点坐标公式 设线段 的中点为 ，则 ，又 ，所以 。 非零向量 的单位向量的坐标表示 若 ，则 ，所以与 的方向相同的单位向量的坐标为 ，与 的方向相反的单位向量的坐标为 。 20 已知 ，，求线段 的中点 与三等分点 、 的坐标. 对点体验 解平面直角坐标系中，线段 上有三点，依次为 、、。） 显然 因为 又因为 ，所以 ，因此 类似地，有 因此 ， ， 两个概念的比较 知识讲解 互动探究 新课引入 的坐标与 的坐标的区别 的坐标为终点坐标减去始点坐标，而 的坐标是对应的坐标相减。 向量的坐标与其终点的坐标的关系 由于自由向量的始点可以任意选取，如果向量以坐标原点为始点，那么向量的坐标就与其终点的坐标相同；如果向量不以坐标原点为始点，那么向量的坐标就与其终点的坐标不同。 22 （1）已知点 ，向量 ，则向量 。 A. B. C. D. （2）已知点 ，且 ，则点 的坐标为 。 A. B. C. D. 对点体验 解 (1) 由题意知 。 故选 A。 设点 ，则 解得 即 。 故选 A。 目标三：平面向量共线的坐标表示 两个向量平行的坐标表示 知识讲解 互动探究 新课引入 思考一下：已知向量 ，，且 ，求向量 ， 的坐标满足的条件. 当 时： 如果 ，由共线向量基本定理可知存在 ，使得 ，即 因此 ，从而 ，所以 ； 如果 ，即 ， 显然也成立. 如果 且 ， 则有 ，设这个比值为 ，即 ， 25 特别提醒 ①公式 无条件 的限制，便于应用；公式 有条件 的限制，但便于记忆，所以我们可以记比例式，而在解题时改写成乘积的形式。 ②两向量 平行的条件 容易写错，如写成 或 是不正确的，应该记成“交叉相乘，差为 0”。 已知向量 。若 ，则 。 A. 3 B. -3 C. D. 对点体验 解 。 答 B 已知向量 。若 ，则 。 A. 3 B. -3 C. D. 答 由已知得 。 与 平行， ，解得 。此时 (-3b) 当 时， 与 平行，并且反向。 已知 ，，，求 的值 对点体验 因为 ，所以 解得 . 在平面直角坐标系中，已知 ，，。求证：，， 三点共线 因为 ，所以 ，因此 ，， 三点共线. 目标四：线段定比分点的坐标公式 线段定比分点的定义 知识讲解 互动探究 新课引入 设点 是线段 上不同于 的点，且满足 ，即 ， 叫作点 分有向线段 所成的比， 点叫作有向线段 以 为定比的定比分点。 30 线段定比分点的坐标 知识讲解 互动探究 新课引入 设 ， 则 ， 即 当 时， 则点 的坐标为 。 特别地，(1)当 时，点 的坐标为 ，这就是线段 的中点坐标公式；(2)若 ，则点 在 的延长线或其反向延长线上，由向量共线的坐标表示及共线向量基本定理同样可得点 的坐标为 。 31 若过点 的直线上一点 使 ，求点 的坐标。 对点体验 答 设 为坐标原点，连接 。 ， ， 或 。 当 ，即 时，则 ， 此时 故 点坐标为 ； 当 ，即 时，则 ， 此时 故 点坐标为 。 综上，点 的坐标为 或 。  已知 ，直线 与线段 交于点 ，且 ，则实数 。 对点体验 解 由已知可得点 分有向线段 的比 ，由定比分点坐标公式得 。又点 在直线 上，。 目标五：典型例题 题型1平面向量的坐标表示 例1 在边长为 的正方形 中, 与 轴正半轴成 角。求点 、点 的坐标和 , 的坐标。 典例分析 牛刀小试 答 由题意知, 。设 。由三角函数的定义,得 , , 。, 。 (1) 数形结合法:根据正交分解,求向量在 x 轴、y 轴上的坐标分量;(2) 平移法:把向量的起点移至坐标原点,终点坐标即向量的坐标; (3) 求差法:用表示向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标;(4)已知向量 的模,求它的坐标 ( ),要牢记公式 =||cosθ, =||sinθ,公式中包括两个要素: || 和 θ,要注意公式中的 θ 是向量 的方向相对于 x 轴正方向的转角。 题型2平面向量的坐标运算的运用技巧 例2 已知 。设 ,且 。 (1)求 ; (2)求满足 的实数 ; (3)求点 的坐标及向量 的坐标。 典例分析 牛刀小试 答 由已知得。 (1) 。 题型2平面向量的坐标运算的运用技巧 例2 已知 。设 ,且 。 (1)求 ; (2)求满足 的实数 ; (3)求点 的坐标及向量 的坐标。 典例分析 牛刀小试 (1)平面向量的坐标运算使向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来了,这样,很多几何问题的证明就转化为熟知的数量的运算。 (2)根据平面向量基本定理,任意向量都可以用平面内不共线的两个向量表示,同样,任意向量的坐标都可用所选基底向量的坐标表示出来。 , 解得 。 实数 的值为 的值为 。 (3)设 为坐标原点。。又 , 。 题型2平面向量的坐标运算的运用技巧 例2 已知 。设 ,且 。 (1)求 ; (2)求满足 的实数 ; (3)求点 的坐标及向量 的坐标。 典例分析 牛刀小试 (3)相等向量的坐标是相同的,但起点和终点的坐标可以不同,解题时注意利用向量相等建立方程(组)。 (4)进行平面向量的坐标运算时,应先将向量用坐标表示出来。一般地,已知有向线段两端点的坐标,应先求出向量的坐标。求一个点的坐标时,可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标。 , 解得 。 实数 的值为 的值为 。 (3)设 为坐标原点。。又 , 。 题型3 向量共线坐标表示的应用 例3 已知直角梯形 ,过点 作 ,垂足为点 为 的中点,用向量的方法证明: (1) ; (2) 三点共线。 典例分析 牛刀小试 如图,以 为原点, 所在直线为 轴, 所在直线为 轴建立平面直角坐标系,令 ,则 。,且 , 四边形 为正方形, 可求得各点的坐标分别为 , 。 (1) , , ,即 。 。 题型3 向量共线坐标表示的应用 例3 已知直角梯形 ,过点 作 ,垂足为点 为 的中点,用向量的方法证明: (1) ; (2) 三点共线。 典例分析 牛刀小试 (2)连接 ,如图 所示。 为 的中点, , , 。 。 又 与 有公共点 三点共线。 题型3 向量共线坐标表示的应用 例4 已知点 ,若 ,那么当点 在第三象限时, 的取值范围是。 典例分析 牛刀小试 错解 由已知得 , 又点 在第三象限,所以 所以 ,故 的取值范围为 。故填 。 错因分析,错解中误把向量 的坐标当作点 的坐标,混淆了点的坐标与向量的坐标的概念。 题型3 向量共线坐标表示的应用 例4 已知点 ,若 ,那么当点 在第三象限时, 的取值范围是。 典例分析 牛刀小试 正解 同错解得 。 设点 ,则 , 于是 , 即 解得 又点 在第三象限,所以 解得 。 所以 的取值范围为 。故填 。 错因分析,错解中误把向量 的坐标当作点 的坐标,混淆了点的坐标与向量的坐标的概念。 目标六：针对训练 举一反三 1.若向量 , ，则 A. B. C. D. 解析：因为向量 , ， 所以 ；故选:B。 2.已知向量 , , ，若 三点共线，则 A. B. C. D. 解析：因为 , ，所以 ， 又 三点共线，所以 ，所以 ，解得 。 故选：C。 举一反三 3.向量 , 满足 , ，则 A. B. C. D. 解析：因为 , ，所以 ， 即 ，所以 ；故选:B。 4.已知向量 , , ，若 三点共线，则 A. B. C. D. 解析：由题可知, , 因为 三点共线, 所以 , 所以 ，故选:C。 举一反三 5.若向量 , ，则点 坐标为() A. B. C. D. 解析：因为向量 , ，所以向量 所以 。故选:A。 目标七：小结 学海拾贝 坐标来源：正交分解，以i,j为基底，a=xi+yj，记作a=(x,y)；向量坐标等于终点减起点：，注意：向量坐标与起点位置无关。 坐标运算法则：设 学海拾贝 向量共线的坐标条件：a∥b⇔，用来判定向量平行、三点共线。 核心思想：数形结合、几何代数化。向量几何运算转化为坐标代数运算，把图形推理变成算式计算，这就是坐标法的价值。 【新教材】人教B版·高一必修第二册 感谢聆听! $