15-高考真题练1(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第二册（人教B版）

该高中数学课件聚焦指数函数、对数函数与幂函数，通过高考真题导入，衔接函数概念与性质，搭建从指数对数恒等变形到图象性质应用的学习支架，帮助学生系统掌握本章核心知识。 其亮点在于融合真题解析、实际应用与竞赛拓展，以数学思维引导逻辑推理（如对数换底公式推导），用数学语言构建现实模型（如声压级计算、生物丰富度指数），提升学生解题能力与应用意识，教师可直接用于课堂教学与分层辅导。

第四章 指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 高考真题练 第1讲　描述运动的基本概念 考点1　指数式与对数式的恒等变形 1.[2022天津,6]化简(2log43+log83)(log32+log92)=( ) A.1　　　    B. 　　　    C.2　　　    D.      C     解析　原式=  = log23× log32=2. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2022浙江,7]已知2a=5,log83=b,则4a-3b= ( ) A.25　　　    B.5　　　    C. 　　　    D.      C     解析　由题意知b=log83=lo 3= log23,又2a=5,所以4a-3b=22(a-3b)=22a-6b=(2a)2·2-6b=25× =25× =25×3-2 = . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2024全国甲理,15]已知a>1且 - = ,则a=__________. ①关键点拨　换底公式;对点突破    P171疑难5     64     真题降维 换底→化简→解“一元二次方程”. 解析    解法一: - = - log2a=- ,整理得 -5log2a-6=0, ∴(log2a+1)(log2a-6)=0,∵a>1,∴log2a>0, ∴log2a=6=log226,故a=26=64. 解法二: - = - =- ,整理得(lg a)2-5lg 2lg a-6(lg 2)2=0,∴(lg a+lg 2)(lg a-6lg 2)=0, ∵a>1,∴lg a>0,∴lg a=6lg 2=lg 26,故a=26=64. 第1讲　描述运动的基本概念 考点2　指数函数、对数函数与幂函数的图象与性质 4.[2025全国一卷,8]已知2+log2x=3+log3y=5+log5z,则x,y,z的大小关系不可能为 ( ) A.x>y>z　　　    B.x>z>y　　　    C.y>x>z　　　    D.y>z>x     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析    解法一(图象法):设2+log2x=3+log3y=5+log5z=M,则x=2M-2,y=3M-3,z=5M-5. 在同一平面直角坐标系中作出函数t=2x-2,t=3x-3,t=5x-5的图象,如图所示.   由图可知,x>y>z,y>x>z,y>z>x均可能成立. 解法二(特殊值法):令2+log2x=3+log3y=5+log5z=t, 当t=3时,x=2,y=1,z= ,则x>y>z,选项A成立; 当t=5时,x=8,y=9,z=1,则y>x>z,选项C成立; 当t=8时,x=64,y=243,z=125,则y>z>x,选项D成立. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2024天津,5]若a=4.2-0.3,b=4.20.3,c=log4.20.2,则a,b,c的大小关系为 ( ) A.a>b>c　　　    B.b>a>c　　　    C.c>a>b　　　    D.b>c>a     B     解析　易知函数y=4.2x在R上单调递增,且函数值恒大于0,又-0.3<0<0.3,所以0<4.2-0.3<4.20<4.20.3,即0<a<1 <b. 易知函数y=log4.2x在(0,+∞)上单调递增,且0<0.2<1,所以log4.20.2<log4.21=0,即c<0,所以b>a>c. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2025上海春季,14]幂函数y=xa在(0,+∞)上是严格减函数,且图象经过(-1,-1),则a的值可能是 ( ) A.- 　　　    B.- 　　　    C. 　　　    D.3     B     解析　因为幂函数y=xa在(0,+∞)上是严格减函数,所以a<0,故C,D错误; 对于A,若a=- ,则y= ,当x=-1时,y= = = =1, 所以幂函数y= 的图象过点(-1,1),故A错误; 对于B,若a=- ,则y= ,当x=-1时,y= = =-1, 所以幂函数y= 的图象过点(-1,-1),故B正确. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2024新课标Ⅰ,6]已知函数f(x)= 在R上单调递增,则a的取值范围是 ( ) A.(-∞,0]　　　    B.[-1,0]　　　     C.[-1,1]　　　    D.[0,+∞)     B     解析　当x<0时, f(x)=-x2-2ax-a在(-∞,0)上单调递增,则- ≥0,解得a≤0, 当x≥0时, f(x)=ex+ln(x+1)在[0,+∞)上单调递增显然成立, 又f(x)在R上单调递增,所以-a≤e0+ln 1=1,解得a≥-1. 综上,-1≤a≤0,即a的取值范围是[-1,0]. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2024北京,9]已知(x1,y1),(x2,y2)是函数y=2x的图象上两个不同的点,则 ( ) A.log2 < 　　　    B.log2 >  C.log2 <x1+x2　　　    D.log2 >x1+x2     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　令f(x)=y=2x,作出函数y=f(x)的图象,如图,   由图可知, f  < , ∴ < ,两边取对数得log2 <log2 , ∴log2 > . 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2024新课标Ⅱ,8]设函数f(x)=(x+a)·ln(x+b).若f(x)≥0①,则a2+b2的最小值②为 ( ) A. 　　　    B. 　　　    C. 　　　    D.1 ①关键点拨　考虑积式中因式的符号; ②心中有“数”　必有关于a,b的定值出现.     C     第1讲　描述运动的基本概念 真题降维 关键信息 信息判断 思维要点 f(x)≥0 确定x+a,ln(x+b)的符号关系 结合函数的定义域讨论得出a,b 的关系 a2+b2的最小值 二元函数的最值 转化为一元函数的最值问题 第1讲　描述运动的基本概念 解析     解法一:由题意可知f(x)=(x+a)ln(x+b)≥0对任意x>-b恒成立. 当x+a>0,即x>-a时,要满足题意,则ln(x+b)≥0,即x+b≥1,解得x≥1-b. 当x+a<0,即x<-a时,要满足题意,则ln(x+b)≤0,即0<x+b≤1,解得-b<x≤1-b. 所以-a=1-b,即b-a=1, 所以a2+b2=(b-1)2+b2=2 + ≥ ,当且仅当b= 时取等号. 解法二:令φ(x)=x+a,Q(x)=ln(x+b), 因为f(x)≥0,所以必有φ(x)与Q(x)在公共定义域的相同区间上的函数值同号. 如图,令φ(x)与Q(x)的图象交于x轴上同一点, 第1讲　描述运动的基本概念   易知Q(1-b)=0,设点A(1-b,0),将点A的坐标代入φ(x)中,得0=1-b+a,即a=b-1. 所以a2+b2=(b-1)2+b2=2 + , 当且仅当b= 时,a2+b2取最小值,为 . 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2023北京,4]下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是 ( ) A. f(x)=-ln x　　　    B. f(x)=  C. f(x)=- 　　　     D. f(x)=3|x-1|     C     解析　显然A,B不符合题意,C符合题意;对于D,因为f = = = ,f(1)=3|1-1|=30=1, f(2)=3|2-1|=3,显然 f(x)=3|x-1|在(0,+∞)上不单调,D不符合题意. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2023新课标Ⅰ,4]设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)单调递减,则a的取值范围是 ( ) A.(-∞,-2]　　　    B.[-2,0) C.(0,2]　　　     D.[2,+∞)     D     解析　因为函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)上单调递减, 所以函数y=x(x-a)在区间(0,1)上单调递减,所以 ≥1,即a≥2,故a的取值范围是[2,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2023新课标Ⅱ,4]若f(x)=(x+a)ln 为偶函数,则a=( ) A.-1　　　    B.0　　　    C. 　　　    D.1     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析    解法一:由f(x)为偶函数,知f(x)=f(-x), 即(x+a)ln =(-x+a)·ln , 即(x+a)ln =(-x+a)ln =(-x+a)·ln , ∴x+a=-(-x+a)恒成立, ∴a=0. 解法二(特值法):易知f(x)的定义域为 ∪ ,由已知得∀x∈ -∞,-  ∪ , f(-x)=f(x)恒 成立, ∴f(1)=f(-1),∴(1+a)ln =(-1+a)ln 3, ∴a=0.经检验符合题意. 第1讲　描述运动的基本概念 解法三:易知y=ln 为奇函数,又f(x)为偶函数, ∴y=x+a为奇函数,∴a=0. 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2022北京,4]已知函数f(x)= ,则对任意实数x,有 ( ) A. f(-x)+f(x)=0　　　    B. f(-x)-f(x)=0 C. f(-x)+f(x)=1　　　    D. f(-x)-f(x)=      C     解析　∵f(x)= ,∴f(-x)= = ,∴f(x)+f(-x)= + =1. 第1讲　描述运动的基本概念 14.[2023全国甲文,11]已知函数f(x)= .记a=f ,b=f ,c=f ,则 ( ) A.b>c>a　　　    B.b>a>c C.c>b>a　　　    D.c>a>b     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为f(x)= 由y=et,t=-(x-1)2复合而成,所以f(x)的图象关于直线x=1对称,且f(x)在(-∞,1)上单调 递增,在(1,+∞)上单调递减, 因为 < <1< ,所以a=f <f =b. 易知c=f =f . 下面比较 , 与2- 的大小关系. 先比较 与2- 的大小,即比较 与2的大小,即比较 + 与4的大小, 易得( + )2=8+4 ,42=16,又 <2,所以8+4 <16,故 <2- ; 再比较 与2- 的大小,即比较 与2的大小,即比较 + 与4的大小, 第1讲　描述运动的基本概念 易得( + )2=9+6 ,42=16,又 < ,所以9+6 >16,故 >2- .故 <2- < ,故a<c<b. 第1讲　描述运动的基本概念 15.[2023北京,11]已知函数f(x)=4x+log2x,则f  =_________.     1     解析    f  = +log2 =2-1=1. 第1讲　描述运动的基本概念 16.[2022全国乙文,16]若f(x)=ln +b是奇函数,则a=_______,b=____________. 　-          ln 2     解析　∵f(x)是奇函数,∴f(x)的定义域关于原点对称. 由已知得x≠1,∴x≠-1,即当x=-1时, =0,∴a+ =0,∴a=- ,此时f(x)=ln +b, ∵f(x)为奇函数且在x=0处有意义, ∴f(0)=0,即ln +b=ln  +b=0, ∴b=-ln  =ln 2. 综上可知,a=- ,b=ln 2. 第1讲　描述运动的基本概念 考点3　函数的应用 17.[2025北京,9]一定条件下,某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间T=klog2N(单 位:h),其中k为常数.在此条件下,已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时,训练时间增加 20 h;当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时,训练时间增加 ( ) A.2 h　　　    B.4 h C.20 h　　　    D.40 h     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设当N取106个单位、1.024×109个单位、4.096×109个单位时所需时间分别为T1 h,T2 h,T3 h, 由题意得,T1=klog2106=6klog210, T2=klog2(1.024×109)=klog2(210×106)=k(10+6log210), T3=klog2(4.096×109)=klog2(212×106)=k(12+6log210), 因为T2-T1=k(10+6log210)-6klog210=10k=20,所以k=2, 所以T3-T2=k(12+6log210)-k(10+6log210)=2k=4, 所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时,训练时间增加4 h. 第1讲　描述运动的基本概念 18.[2024北京,7]生物丰富度指数d= 是河流水质的一个评价指标,其中S,N分别表示河流中的生物种 类数与生物个体总数,生物丰富度指数d越大,水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化, 生物个体总数由N1变为N2,生物丰富度指数由2.1提高到3.15,则 ( ) A.3N2=2N1　　　    B.2N2=3N1 C. = 　　　     D. =      D     解析　根据题意,2.1= ①,3.15= ②,  得 = = , ∴3ln N2=2ln N1,∴ln  =ln  ,∴ = . 第1讲　描述运动的基本概念 19.[多选题][2023新课标Ⅰ,10]噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级 Lp=20×lg ,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级: 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60~90 混合动力汽车 10 50~60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则 (　　　　) A.p1≥p2　　　 　   B.p2>10p3 C.p3=100p0　　　    D.p1≤100p2     ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析    p0,p1,p2,p3均大于0,∵ - =20×lg  -20×lg  =20×lg  ≥0,∴ ≥1,∴p1≥p2,故A正确; ∵ - =20×lg  ≥10,∴lg  ≥ ,∴ ≥ , ∴p2≥ p3,故B错误; ∵ =20×lg  =40,∴ =100,∴p3=100p0,故C正确; ∵ - =20×lg ≤90-50=40,∴lg ≤2,∴ ≤100,∴p1≤100p2,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 强基计划 20.[多选题][2024清华大学强基计划]若a+ea=b+ln b=4,则 (　　　　) A.aln b+bln a>1　　　    B.aln b+bln a=1　　　     C.ab<4　　　    　　　　D.ab>e     ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析    a+ea=ln ea+ea=b+ln b=4,构造f(x)=x+ln x-4, (方法技巧:“同构”,构造函数f(x)=x+ln x-4,则f(ea)=ea+ln ea-4=a+ea-4, f(b)=b+ln b-4) 则f(ea)=f(b)=0. 易得f(x)在(0,+∞)上单调递增, 又f(e)=e+ln e-4=e-3<0, f(3)=3+ln 3-4=ln 3-1>0, 所以f(x)=0有唯一的正根,且该根位于区间(e,3)内, 所以ea=b∈(e,3),即a∈(1,ln 3),b∈(e,3). 对于A,B,aln b+bln a>aln b>a>1,故A正确,B错误;对于C,D,由a∈(1,ln 3),b∈(e,3)得,e<ab<3ln 3<4,故C,D 正确. 第1讲　描述运动的基本概念 21.[2025中国科技大学强基计划]已知c∈(0,+∞), f(x)= 若f[f(x)]=3恰有一解,求c的取值范 围. 解析　当c>1时,3x≥3c>3,所以只有在x<c时, f(x)=x2-6x+3才可以取到3,当c≥6时,由f[f(x)]=3得f(x)=0或 f(x)=6,即x2-6x+3=0或x2-6x+3=6,此时方程至少有2个解,不满足题意. 当1<c<6时,由f[f(x)]=3得f(x)=0,即x2-6x+3=0,解得x=3- 或x=3+ ,因为3- <1,所以要使方程仅有1个 解,则需3+ 不满足,则1<c≤3+ . 当0<c≤1时,由f[f(x)]=3得f(x)=0或1. 若f(x)=1,则x2-6x+2=0,解得x=3- 或x=3+ (舍去); 若f(x)=0,则x2-6x+3=0,解得x=3- 或x=3+ (舍去). 因为仅有一解,所以要求x=3- 满足,但x=3- 不满足,所以3- <c≤3- . 综上,c∈(3- ,3- ]∪(1,3+ ]. 第1讲　描述运动的基本概念 学科竞赛 22.[2025全国中学生数学奥林匹克竞赛江苏赛区预赛]方程 = 的解构成的集合为_____________.     {2,8}     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为 = ,所以log4x=logx , 由换底公式得 = = = , 整理,得(ln x)2-4ln 2ln x+3(ln 2)2=0, 所以(ln x-ln 2)(ln x-3ln 2)=0,解得ln x=ln 2或ln x=3ln 2,所以x=2或x=8. 故原方程的解构成的集合为{2,8}. 第1讲　描述运动的基本概念 23.[2025全国高中数学联赛重庆赛区预赛]已知函数f(x)= 设a,b,c是三个不同的实数,满足 f[f(a)]=f[f(b)]=f[f(c)],则a+b+c的取值范围为_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　设f[f(a)]=f[f(b)]=f[f(c)]=t, 则方程f[f(x)]=t有三个不同的实数根a,b,c. 作出函数f(x)的图象,如图所示.   由图可知,若方程f[f(x)]=t有三个不同的实根,则方程f(x)=t有两个不同的实根,所以t∈(0,1]. 设方程f(x)=t的两个实数根为x1,x2,且x1<x2,则 =t,log2x2+1=t, 第1讲　描述运动的基本概念 所以x1=log2t,x2=2t-1,所以x1∈(-∞,0],x2∈ . 下面考虑方程f(x)=x1和f(x)=x2. f(x)=x1⇔log2x+1=x1⇔x= = . f(x)=x2⇔2x=x2或log2x+1=x2⇔x=log2x2=t-1或x= = . 所以a+b+c= +t-1+ = + -1. 因为t∈(0,1],且y= + -1单调递增,所以a+b+c∈ . 第1讲　描述运动的基本概念 $