13-思想方法练1(同步精练)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第二册（人教B版）

该高中数学课件聚焦指数函数、对数函数与幂函数，通过方程思想、数形结合、转化与化归、分类讨论等思想方法练习，搭建函数性质与实际应用的学习支架，帮助学生衔接函数概念与问题解决的脉络。 其亮点在于以具体例题为载体，如温度变化问题、分段函数零点问题，引导学生用数学眼光发现数量关系，用数学思维进行逻辑推理与运算，用数学语言构建函数模型。通过思想方法小结与例题解析结合的教学方式，助力学生提升数学思维能力，也为教师提供系统的教学素材。

第四章 指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 思想方法练1 第1讲　描述运动的基本概念 一、方程思想在解决函数问题中的应用 1.[2026福建厦门期中]如果物体的初始温度为T0,经过t分钟后的温度T满足T-Ta= (T0-Ta),h称为半衰 期,其中Ta是环境温度.若Ta=30 ℃,现有一杯80 ℃的热水降至70 ℃用时2分钟,那么水温从70 ℃降至50 ℃,用时(参考数据:lg 2取0.30) ( ) A.3分钟　　　    B.4分钟　　　    C.5分钟　　　    D.6分钟     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得70-30= ×(80-30),化简可得 = . (将题中已知量代入函数关系式,建立方程求出未知参数的值,确定函数关系式) 对等式两边取对数,得lg  =lg ,即lg  = lg  . (解指数方程,当方程两边不易化为同底指数时,可以取常用对数,化为对数方程求解) 又因为lg  =lg 4-lg 5=2lg 2-(1-lg 2)=3lg 2-1,lg  =-lg 2, 所以3lg 2-1= ×(-lg 2),即3×0.3-1= ×(-0.3),解得h=6. 设水温从70 ℃降至50 ℃用时t1分钟,则50-30= ×(70-30),(再次建立指数方程,结合指数函数的单调性 解方程) 化简可得 = ,所以 =1,解得t1=6,所以水温从70 ℃降至50 ℃用时6分钟. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2025山东东营检测]已知函数f(x)=log3 . (1)当k=0时,解不等式f(x)>0; (2)若函数f(x)的最大值是-1,求k的值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)当k=0时,f(x)=log3 ,f(x)>0即2·3x+ >1,即3x>3-1,解得x>-1.故当k=0时,不等式f(x)>0的解 集为(-1,+∞). (2)令t=k·32x-(k-2)·3x+k+ ,易知y=log3t在定义域内单调递增, 若f(x)的最大值是-1,则tmax= ,令m=3x,则m∈(0,+∞), 则t=km2-(k-2)m+k+ 在m∈(0,+∞)上的最大值为 , 根据函数t=km2-(k-2)m+k+ 的最大值为 列出方程. 根据二次函数的性质得k<0,则t=km2-(k-2)m+k+ 的图象开口向下,对称轴为直线m= , 易得 >0,所以k× -(k-2)× +k+ = , 整理得3k2+4k-4=(3k-2)(k+2)=0,解得k=-2或k= (舍去). 第1讲　描述运动的基本概念 思想方法    在指数函数与对数函数的有关问题中,利用条件得到等式,运用代数手段构造方程,通过方 程的知识结合指数、对数运算解题,是一种最基本的方法. 第1讲　描述运动的基本概念 二、数形结合思想在解决函数问题中的运用 3.[2025山东淄博期中]若函数f(x)= -m有零点,则实数m的取值范围是 ( ) A.(0,1]　　　    B.[-1,+∞) C.[1,2]　　　    D.[0,1)     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　将题目转化为函数y= 与y=m的图象有交点,作出函数图象即可得到实数m的取值范围. 函数f(x)= -m有零点即函数y= 与y=m的图象有交点, 作出y= 与y=m的大致图象如图所示,   由图可知0<m≤1,故实数m的取值范围是(0,1]. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[多选题][2026湖南衡阳一中月考]已知函数f(x)= 若f(x)=a有四个不同的实数解x1,x2,x3, x4,且x1<x2<x3<x4,则 (　　　　) A.0<a<1 B.x1+2x2的取值范围是  C.x1+x2+x3+x4的取值范围是(10,+∞) D.2x1+x2的取值范围是[2 ,3)     ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　作出函数y=f(x)的图象,如图,   f(x)=a有四个不同的实数解,即y=f(x)的图象与直线y=a有4个交点, (方程f(x)=a的解就是函数f(x)的图象与直线y=a交点的横坐标,利用函数图象解决问题) 由图可得0<a<1,故A正确; 由图象可得0<-log2x1=log2x2<1, (利用函数图象,确定x1与x2的关系以及范围,运用函数知识求x1+2x2的取值范围) 第1讲　描述运动的基本概念 则 =x2,且1<x2<2, <x1<1,则x1+2x2=x1+ , 根据对勾函数的单调性可得y=x+ 在 上单调递减, 因此x1+ ∈ ,即x1+2x2∈ ,故B正确; 由上述分析可得x1+x2=x1+ , <x1<1,根据对勾函数的单调性可得x1+ ∈ , 易知y=x2-8x+13的图象关于直线x=4对称,故x3+x4=8,(利用二次函数图象的对称性得到零点的关系) 所以x1+x2+x3+x4=x1+ +8∈ ,故C错误; 由上述分析可得2x1+x2=2x1+ , <x1<1,根据对勾函数的单调性可得y=2x+ 在 上单调递减,在  上单调递增,因此2x1+ ∈[2 ,3),即2x1+x2∈[2 ,3),故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 思想方法　利用数形结合思想解决函数问题时应注意以下几点:①能准确画出函数图象,注意函数的定 义域;②科学设置参数,并建立参数之间的关系,将数与形进行合理转换;③掌握数学曲线中的代数特征, 正确掌握参数的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 三、转化与化归思想在解决函数问题中的运用 5.[多选题][2026安徽黄山期中]已知函数f(x)=x-(x-1)·10x(x>1),g(x)=x-(x-1)·lg x(x>1)的零点分别为x1,x2,则  (　　　　　) A.x1·x2<10　　　    B.x1=lg x2　　　     C. + =1　　　    D.x1+x2>4     BCD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　令f(x)=0,得 =10x,令g(x)=0,得 =lg x, (对方程进行变形,将方程问题转化为函数图象的交点问题) 易知y=10x与y=lg x互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称, 因为y= =1+ ,所以由y= 的图象向右、向上各平移一个单位长度可得到y= 的图象, 故函数y= 的图象关于直线y=x对称, 设A(x1, f(x1)),B(x2,g(x2)), 由图象(图略)可知点A,B关于直线y=x对称, 所以x1=lg x2,x2=1 ,x1>1,则1 >10,所以x1·x2=x1·1 >10,因此A错误,B正确. 由上述分析得x1=lg x2= ⇒x1x2=x1+x2⇒ + =1,因此C正确. 第1讲　描述运动的基本概念 x1+x2=(x1+x2) =2+ + ≥2+2 =4,当且仅当 = ,即x1=x2=2时,等号成立, 显然g(2)=2-lg 2≠0,则x2≠2,故等号不成立,所以x1+x2>4,因此D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2025江苏南京段考]已知f(x)=ax-a-x,h(x)=a|x|-|f(x)|,a>1,若对任意x∈[λ,λ+1],不等式h(x+λ)≤[h(x)]2 恒成立,则实数λ的取值范围为_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为a>1,所以h(x)=a|x|-|f(x)|=  易知f(x)是奇函数,所以h(-x)=a|-x|-|f(-x)|=a|x|-|-f(x)|=a|x|-|f(x)|=h(x), 又h(x)的定义域为R,关于原点对称,所以h(x)是偶函数, 由指数函数的性质得h(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减, 又[h(x)]2= h(2x)=  所以h(x+λ)≤[h(x)]2=h(2x)对任意x∈[λ,λ+1]恒成立,即|2x|≤|x+λ|对任意x∈[λ,λ+1]恒成立, (结合函数的奇偶性与单调性将问题转化为绝对值不等式恒成立问题) 左、右同时平方得3x2-2λx-λ2≤0对任意x∈[λ,λ+1]恒成立, (绝对值不等式两边平方后转化为一元二次不等式恒成立问题) 所以 解得λ≤- ,故λ的取值范围是 . 第1讲　描述运动的基本概念 思想方法　转化与化归思想在研究指数函数与对数函数中常见的运用:利用函数图象的对称性对函数 值进行转化;利用换元法将复杂的函数解析式化归为简单的解析式;构造函数,将复杂的问题化为简单 的问题;利用函数的最大(小)值解决不等式恒成立问题等. 第1讲　描述运动的基本概念 四、分类讨论思想在解决函数问题中的应用 7.[2026重庆联考]已知f(x)= y=f[f(x)]有6个零点,则实数a的取值范围为______________.     (-1,0)     第1讲　描述运动的基本概念 解析　当x≤0时, f(x)=-x2+2ax,图象开口向下,对称轴方程为x=a, (研究系数含参数的二次函数时,参数的取值不同,函数的图象不同,需分类讨论解决问题) 若a≥0,则f(x)在(-∞,0)上单调递增,画出函数图象如图:   令f(x)=t,y=f[f(x)]=f(t)=0,解得t=0或t=1, 即f(x)=0或f(x)=1,根据图象可知f(x)=0有2个不同的实数解, f(x)=1有1个实数解, 此时y=f[f(x)]有3个零点,不符合题意; 若a<0,则f(x)在(-∞,a)上单调递增,在(a,0)上单调递减,画出函数图象如图: 第1讲　描述运动的基本概念   令f(x)=t,y=f[f(x)]=f(t)=0,解得t=2a或t=0或t=1, 根据图象可知f(x)=2a有2个不同的实数解, f(x)=0有3个不同的实数解, 又y=f[f(x)]有6个零点,所以f(x)=1有1个实数解, 即 解得-1<a<0. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026福建厦门外国语学校月考]已知函数f(x)=2- (a>0且a≠1)为定义在R上的奇函数. (1)判断并证明f(x)的单调性; (2)若函数g(x)=(log2x)2-mlog2x2+m,x∈[2,4],对于任意x1∈[2,4],总存在x2∈[-1,1],使得g(x1)=f(x2)成立, 求m的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)函数f(x)在R上单调递增.证明如下: 由函数f(x)=2- (a>0且a≠1)为定义在R上的奇函数,得f(0)=2- =0,解得a=3. ∴f(x)=2- =2- ,其定义域为R,关于原点对称, 又f(-x)=2- =2- , f(-x)+f(x)=2- +2- =0,∴f(x)=2- 为奇函数,满足题意,∴a=3. 任取x1,x2∈R,且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=2- -2+ = - = , ∵x1<x2,∴ - <0, +1>0, +1>0, ∴f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)<f(x2), ∴函数f(x)在R上单调递增. 第1讲　描述运动的基本概念 (2)由(1)知, f(x)在R上单调递增, ∴当x∈[-1,1]时, f(x)的值域为[-1,1],设为A. g(x)=(log2x)2-mlog2x2+m=(log2x)2-2mlog2x+m,x∈[2,4], 令log2x=t,则t∈[1,2],设h(t)=t2-2mt+m,t∈[1,2],其值域为B, 由题意知B⊆A. 易知y=t2-2mt+m的图象开口向上,对称轴为直线t=m, 解决含有参数的二次函数在给定区间上的值域问题时,要注意分类讨论,讨论的标准是考虑函数图象的 对称轴与给定区间的位置关系,结合函数单调性,即可确定值域. 当m<1时,h(t)在[1,2]上单调递增,B=[1-m,4-3m], ∴ 解得1≤m≤2,与m<1矛盾,舍去; 第1讲　描述运动的基本概念 当1≤m< 时,h(t)在[1,m]上单调递减,在[m,2]上单调递增,且h(1)<h(2), ∴B=[-m2+m,4-3m],∴  解得1≤m≤ ,∴1≤m< ; 当 ≤m<2时,h(t)在[1,m]上单调递减,在[m,2]上单调递增,且h(1)≥h(2),∴B=[-m2+m,1-m], ∴ 解得0≤m≤ ,∴ ≤m≤ ; 当m≥2时,h(t)在[1,2]上单调递减,B=[4-3m,1-m], ∴ 解得0≤m≤ ,与m≥2矛盾,舍去. 综上所述,m的取值范围为 . 第1讲　描述运动的基本概念 思想方法　在解决含参函数的有关问题时，若其中的参数对函数的图象和性质产生影响，则解题时注意对参数范围进行合理的逻辑划分，进行合理的分类讨论，涉及的讨论对象为指、对函数的底数，二次函数的系数，函数的零点的个数与零点的范围等. 第1讲　描述运动的基本概念 $