11-4.6 函数的应用(二) 4.7 数学建模活动 生长规律的描述(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第二册（人教B版）

该高中数学课件聚焦指数函数、对数函数与幂函数的应用及数学建模，通过AI学习率衰减、疾病检测耗时等实际问题导入，衔接函数概念，搭建从理论到应用的学习支架，帮助学生梳理知识脉络。 其亮点是以真实情境问题（如机器人产量预测、锂矿开采）为载体，培养数学眼光观察现实世界，通过函数模型选择与求解（如血药浓度分段函数）发展数学思维，用数学语言表达实际规律（如锻炼评分函数）。助力学生提升应用能力，为教师提供丰富教学案例。

第四章 指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 4.6　函数的应用（二）　4.7　数学建模活动:生长规律的描述 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　用已知函数模型解决实际问题 1.[2026北京顺义期中]点声源在空间中传播时,衰减量ΔL(单位:dB)与传播距离r(单位:m)的关系式为ΔL =15lg  ,则传播距离从6 m变化到30 m时,衰减量的增加值约为(参考数据:lg 3≈0.5,lg 5≈0.7) (　　　) A.21 dB　　　    B.20 dB C.18 dB　　　    D.14 dB          A 解析　当r=6时,ΔL1=15lg  , 当r=30时,ΔL2=15lg  , 所以ΔL2-ΔL1=15 lg  -lg   =15lg =30lg 5≈30×0.7=21. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026四川成都石室中学期中]DeepSeek(深度求索)是人工智能的一种具有代表性的实现方法,它以神 经网络为出发点.在神经网络优化中,指数衰减的学习率模型为L=L0 ,其中L表示每一轮优化时使用 的学习率,L0表示初始学习率,D表示衰减系数,G表示训练迭代轮数,G0表示衰减速度.已知某个指数衰减 的学习率模型的初始学习率为0.6,衰减速度为20,且当训练迭代轮数为10时,学习率衰减为0.3,则学习率 衰减到0.4以下(不含0.4)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据:lg 2≈0.3,lg 3≈0.477) ( ) A.4　　　    B.5　　　    C.6　　　    D.7     C     解析　由已知得L0=0.6,G0=20,代入L=L0 ,得L=0.6 ,依题意得0.3= ,则D= ,则L=0.6× , 令L=0.6× <0.4,得G>20lo  =10(log23-1)=10 ≈10× =5.9,所以所需的训练迭代轮 数至少为6. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026安徽临泉田家炳实验中学摸底考试]在某种流行疾病的防控中,特定的检测是确诊的有效手段, 在某医院开展检测工作的第n(n∈N*)天,设每个检测对象从接受检测到检测报告生成的平均耗时为t小 时,已知t与n之间的函数关系为t(n)= (t0,N0为常数),已知第4天检测过程平均耗时为12小时,第 9天和第10天检测过程平均耗时均为8小时,那么第7天检测过程平均耗时约为(参考数据: ≈2.646)  ( ) A.8小时　　　    B.9小时　　　    C.10小时　　　    D.11小时     B     解析　由已知可得,当n≥N0时,t(n)为定值,当n<N0时,t(n)为单调函数,故N0>4, 所以t(4)= =12,解得t0=24,所以t(9)= =8,解得N0=9,故t(7)= ≈ ≈9. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　构建函数模型解决实际问题 4.[2025天津滨海新区期中]某机构预测国内某人工智能机器人制造厂在2025年机器人的产量为300万 台,根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加,为满足市场需求,该工 厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高20%,则人工智能机器人的产量达到900万台时的年份为 (参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48) ( ) A.2029　　　    B.2030　　　    C.2031　　　    D.2032     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设经过x年,该工厂人工智能机器人的产量才能达到900万台, 则由题意可得300(1+20%)x=900,即1.2x=3, 解得x=log1.23= = = ≈ =6, 故经过6年,该工厂人工智能机器人的产量才能达到900万台,即到2031年,该工厂人工智能机器人的产 量才能达到900万台. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2025河南南阳期中]锂是最轻的金属元素,被广泛应用于储能、化工、医药、冶金、电子工业等领 域.某地有一处锂矿,探明的锂矿石储存量为M吨,计划每年开采一些锂矿石,且每年的开采率(即当年开 采量占该年年初储存量的比率)保持不变,到今年年底为止,该锂矿已经开采了6年,在此期间锂矿石开采 的总量为 M吨. (1)求该锂矿每年的开采率; (2)为了避免破坏当地的生态环境,锂矿石至少要保留 吨不进行开采,则该锂矿最多还能开采多少年? 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设该锂矿每年的开采率为a(0<a<1), 因为6年期间锂矿石开采的总量为 M吨, 所以剩余的锂矿石为 M吨, 所以M(1-a)6= M,即(1-a)6= , 解得a=1- ,故该锂矿每年的开采率为1- . (2)设该锂矿继续开采n年后,剩余的锂矿石为 (1-a)nM吨, 由题意知, (1-a)nM≥ M, 即(1-a)n≥ ,即 ≥ , 因为y= 单调递减,所以 ≤ ,解得n≤30,所以该锂矿最多还能开采30 年. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　建立拟合函数模型解决实际问题 6.[2026福建厦门外国语学校期中]某药品可用于治疗某种疾病,经检测知每注射1 mL该药品,从注射时 间起血药浓度y(单位:μg/mL)与该药品在体内的时间x(单位:小时)的关系如下: x 2 3 4 6 7 9 y 0.67 1.2 2 6 5.5 4.5 第1讲　描述运动的基本概念 已知当0≤x≤6时,y与x的关系服从下列三个函数模型中的一个:①y=ax2-6ax,②y=klog2x+b(k<0),③y=  -2.当6<x≤18时,y与x的关系满足y=kx+b.当血药浓度不低于2 μg/mL时才能起到有效治疗的作用,每 次注射该药品不超过2 mL. (1)选择合适的函数模型,作为0≤x≤6时y与x的关系式,并说明理由; (2)求出当0≤x≤18时,y与x的关系式,并计算注射1 mL该药品时能达到的有效治疗时长; (3)若注射t mL该药品,则从注射时间起血药浓度为ty,若多次注射,则某一时刻体内血药浓度为每次注射 后相应时刻血药浓度之和.已知病人第一次注射1 mL该药品,10小时之后又注射了a mL该药品,要使随 后的8小时内该药品能够持续有效治疗,求a的最小值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)选择模型③,理由如下: 对于①y=ax2-6ax,当x=6时,y=0,与表格中数据不符,因此不符合题意. 对于②y=klog2x+b(k<0),易知其在定义域内单调递减,不符合题意. 对于③y= -2,代入(4,2)和(6,6),得 解得  所以y= -2,经检验,符合题意,故选③. (2)当6<x≤18时,将(7,5.5),(9,4.5)代入y=kx+b, 得 解得  第1讲　描述运动的基本概念 所以y=  当0≤x≤6时,令 -2≥2,则4≤x≤6; 当6<x≤18时,令9- ≥2,则6<x≤14.又14-4=10, 所以注射1 mL该药品时能达到的有效治疗时长为10小时. (3)①设从第一次注射起,经x(10≤x≤16)小时后,血药浓度为g(x)μg/mL, 则g(x)=9- +a = + -2a, 由10≤x≤16得18-x>0, 故 + -2a≥2 -2a=4 -2a, 第1讲　描述运动的基本概念 当且仅当 = ,即x=18-4 时,等号成立. 由 得3-2 ≤a≤2. ②设从第一次注射起,经x(16≤x≤18)小时后,血药浓度为h(x)μg/mL,则h(x)=9- +a =- ·x+1 4a+9,易知其为单调递减函数. 所以h(x)的最小值为h(18)=5a,由 得0.4≤a≤2. 综上,0.4≤a≤2. 故要使随后的8小时内药品能够持续有效治疗,则a的最小值为0.4. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026江苏苏州吴县中学阶段调研]学校为了鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼,需要制订一项课 余锻炼考核评分制度,建立一个每天得分y(单位:分)与当天锻炼时间x(单位:分钟,0≤x≤60)的函数关系 式,要求如下: (i)函数的图象接近图示; (ii)每天锻炼时间为0分钟时,当天得分为0分; (iii)每天锻炼时间为9分钟时,当天得分为6分; (iv)每天得分最多不超过12分. 现有以下三个函数模型供选择: ①y=k +b(k>0);②y=k·1.01x+b(k>0);③y=3log3(kx+3)+m(k>0). (1)请根据函数图象,结合题设条件,从中选择一个最合适的函数模型并求出解析式; (2)若学校要求每天的得分不少于9分,求每天至少锻炼多少分钟?(参考数据:log3163≈4.63) 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)模型①y=k +b(k>0),由题意得函数图象过点(0,0),(9,6),则 解得 所以y=2 , 当x=60时,y=2 >2 =14>12,不符合题意; 模型②y=k·1.01x+b(k>0)的图象与题目中的图象不相符,不符合题意; 模型③y=3log3(kx+3)+m(k>0), 由题意知 解得  所以y=3log3 -3,易知其图象符合题意,且当x=60时,y=3log3163-3≈10.89<12, 故最合适的函数模型为模型③,其函数解析式为y=3log3 -3,x∈[0,60]. (2)由(1)知,y=3log3 -3,x∈[0,60]. 第1讲　描述运动的基本概念 令3log3 -3≥9,得log3 ≥4,解得x≥29.25, 故若每天的得分不少于9分,则每天至少要锻炼29.25分钟.   第1讲　描述运动的基本概念 $