4.6函数的应用同步训练-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

作业12　函数的应用 1.某研究小组在一项实验中获得一组关于y,t的数据,将其整理得到如图所示的图形.下列函数中,最能近似刻画y与t之间关系的是 (　　) A.y=2t B.y=2t2 C.y=t3 D.y=log2t 2.某种产品今年的产量是a,如果保持5%的年增长率,那么经过x年(x∈N*),该产品的产量y满足 (　　) A.y=a(1+5%x) B.y=a+5% C.y=a(1+5%)x-1 D.y=a(1+5%)x 3.中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明,某种绿茶用85 ℃的水泡制,再等到茶水温度降至60 ℃时饮用,可以产生最佳口感.为分析泡制一杯最佳口感茶水所需的时间,某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度,根据所得数据作出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况,下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律 (　　) A.y=mx2+n(m>0) B.y=mx+n(m>0) C.y=max+n(m>0,a>0,a≠1) D.y=mlogax+n(m>0,a>0,a≠1) 4.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,洄游到产卵地产卵.科学家发现鲑鱼的游速v(单位:m/s)与鲑鱼的耗氧量的单位数P的关系为v=log3,则鲑鱼静止时耗氧量的单位数为 (　　) A.1 B.100 C.200 D.300 5.国内首个百万千瓦级海上风电场—三峡阳江沙扒海上风电项目宣布实现全容量并网发电,为粤港澳大湾区建设提供清洁能源动力.风速预测是风电出力大小评估的重要工作,通常采用威布尔分布模型,有学者根据某地气象数据得到该地的威布尔分布模型:F(x)=1-,其中k为形状参数,x为风速.已知风速为1 m/s时,F≈0.221,则当风速为4 m/s时,F约为(参考数据:ln 0.779≈-0.25,e-4≈0.018) (　　) A.0.920 B.0.964 C.0.975 D.0.982 6.(多选)某工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不得超过0.1%,而这种溶液最初的杂质含量为2%,现进行过滤,已知每过滤一次杂质含量减少,则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477) (　　) A.6 B.9 C.8 D.7 7.近来,国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”,以满足不同层次的多元消费,并拉动就业、带动创业,进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者,通过对每天销售情况的调查发现:该工艺品在过去的一个月内(以30天计),日销售量Q(x)(单位:件)与时间x(单位:天)的部分数据如表所示: x 10 15 20 25 30 Q(x) 50 55 60 55 50 给出以下四个函数模型: ①Q(x)=ax+b;②Q(x)=a|x-m|+b;③Q(x)=a·bx;④Q(x)=alogbx. 根据表中的数据,最适合用来描述日销售量Q(x)与时间x的变化关系的函数模型是　　　　.  8.某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=N0e-λt,其中N0,λ为正常数.由放射性元素的这种性质,可以制造高精度的时钟,用原子数表示时间t为　　　　　　　　.  9.(10分)据观测统计,某湿地公园某种珍稀鸟类的现有个数约1 000只,并以平均每年8%的速度增加. (1)求两年后这种珍稀鸟类的大约个数;(3分) (2)写出y(珍稀鸟类的个数)关于x(经过的年数)的函数关系式;(3分) (3)约经过多少年以后,这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上?(结果为整数)(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)(4分) 10.(12分)芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物,不仅可美化居室、净化空气,又可美容保健,因此深受人们欢迎,在国内占有很大的市场.某人准备进军芦荟市场,栽培芦荟,为了了解行情,进行市场调研,从4月1日起,芦荟的种植成本Q(单位:元/10 kg)与上市时间t(单位:天)的数据情况如表: t 50 110 250 Q 150 108 150 (1)根据表中数据,从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数:Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=a·bt,Q=alogbt;(6分) (2)利用你选择的函数,求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.(6分) 11.白细胞是一类无色、球形、有核的血细胞,正常成人白细胞计数为(4.0~10.0)×109/L,可因每日不同时间和机体不同的功能状态而在一定范围内变化.若白细胞计数因为感染产生病理性持续升高,则需进一步探查原因,进行药物干预.研究人员在对某种药物的研究过程中发现,在特定实验环境下的某段时间内,可以用对数模型W(m)=-W0ln(Km)描述白细胞计数W(m)(单位:109/L)与随用药量m(单位:mg)的变化规律,其中W0为初始白细胞计数对应值,K为参数.已知W0=20,用药量m=50时,在规定时间后测得白细胞计数W=14,要使白细胞计数达到正常值,则需将用药量至少提高到(参考数据:≈1.221) (　　) A.58 B.59 C.60 D.62 12.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192 h,在22 ℃的保鲜时间是48 h,则该食品在33 ℃的保鲜时间是 (　　) A.16 h B.20 h C.24 h D.26 h 13.某工厂生产过程中产生的废气必须经过过滤后才能排放,已知在过滤过程中,废气中的污染物含量p(单位:毫克/升)与过滤时间t(单位:小时)之间的关系为p(t)=p0e-kt(e为自然对数的底数,p0为污染物的初始含量).过滤1小时后,检测发现污染物的含量减少了,要使污染物的含量不超过初始值的,至少还需过滤　　　　　小时(参考数据:lg 2≈0.301 0) (　　)  A.40 B.38 C.44 D.42 14.光线通过一块玻璃,其强度要失掉原来的,要使通过玻璃的光线强度为原来的以下,至少需要这样的玻璃板的块数为　　　　.(lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)  15.为了预防某种病毒,某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒.出于对顾客身体健康的考虑,相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时,顾客方可进入商场.已知从喷洒药物开始,商场内部的药物浓度y(毫克/立方米)与时间t(分钟)之间的函数关系为y=函数的图象如图所示.如果商场规定9:30顾客可以进入商场,那么开始喷洒药物的时间最迟是 (　　) A.9:00 B.8:40 C.8:30 D.8:00 16.(12分)科学家发现某种特殊物质的温度y(单位:摄氏度)随时间x(单位:分钟)的变化规律满足关系式:y=m·2x+21-x(0≤x≤4,m>0). (1)若m=2,求经过多少分钟,该物质的温度为5摄氏度;(5分) (2)如果该物质温度总不低于2摄氏度,求m的取值范围.(7分) 答案精析 1．D　2.D　3.C　4.B 5．D　[因为F(1)≈0.221, 所以≈0.779,≈-ln 0.779,2k≈4,得k≈2, 所以F(4)=1-≈1-e-4≈0.982.] 6．BC　[设经过n次过滤，产品达到市场要求，则 ×n≤， 即n≤，由nlg ≤－lg 20， 即n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)， 得n≥≈7.4.] 7．②　8.t＝－ln 9．解　(1)依题意，得一年后这种鸟类的个数为 1 000＋1 000×8%＝1 080(只)， 两年后这种鸟类的个数为 1 080＋1 080×8%≈1 166(只)． (2)由题意可知珍稀鸟类的现有个数约1 000只，并以平均每年8%的速度增加， 则所求的函数关系式为 y＝1 000×1.08x，x∈N. (3)令1 000×1.08x≥3×1 000，得1.08x≥3，两边取常用对数得 lg 1.08x≥lg 3，即xlg 1.08≥lg 3， 因为lg 1.08>0，所以x≥， 所以x≥＝， 因为lg 108＝lg(33×22)＝3lg 3＋2lg 2， 所以x≥ ≈ ≈14.3， 故约经过15年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上． 10．解　(1)由所提供的数据可知，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常函数，若用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝alogbt中的任意一个来反映时都应有a≠0，且上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述，将表格所提供的三组数据分别代入函数Q＝at2＋bt＋c， 可得 解得a＝，b＝－，c＝. 所以刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为 Q＝t2－t＋. (2)由(1)可得，函数Q为图象开口向上，对称轴为 t＝－＝150的抛物线， 所以当t＝150天时，芦荟种植成本最低为Q＝×1502－×150＋＝100(元/10 kg)． 11．D　[由已知W0=20,m=50,W(50)=14,代入W(m)=-W0ln(Km), 则14=-20ln(50K),解得K=, 则W(m)=-20ln, 因为用药量m=50时,在规定时间后测得白细胞计数W=14,白细胞计数值偏高, 所以令W(m)=-20ln≤10, 即ln≥-, 解得m≥50≈50×1.221=61.05. 所以要使白细胞计数达到正常值,则需将用药量至少提高到62.] 12．C　[由题意可知，当x＝0时，y＝192；当x＝22时，y＝48， ∴解得 则当x＝33时， y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb ＝3×192＝24.] 13．D　[根据题设，得p0＝p0e－k， ∴e－k＝，所以p(t)＝p0t； 由p(t)＝p0t≤p0，得t≤10－4，两边分别取以10为底的对数， 并整理得t(1－3lg 2)≥4， ∴t≥≈41.2， 因此，至少还需过滤42小时．] 14．7 解析　设至少需要x块玻璃板， 由题意知x<， 即x<， 两边取对数lgx<lg ， 即x·(lg 9－lg 10)<－lg 2， 即x·(1－2lg 3)>lg 2， x>≈6.57， ∴x＝7. 15．A　[根据函数的图象,可得函数的图象过点(10,1), 代入函数的解析式,可得=1,解得a=1,所以y= 令y≤0.25,可得0.1t≤0.25或≤0.25, 解得0<t≤2.5或t≥30, 所以如果商场规定9:30顾客可以进入商场,那么开始喷洒药物的时间最迟是9:00.] 16．解　(1)由题意，得m＝2， 令y＝2·2x＋21－x＝2·2x＋＝5， 解得x＝1(负值舍去)， 因此，经过1分钟，该物质的温度为5摄氏度． (2)由题意得m·2x＋21－x≥2对一切0≤x≤4恒成立， 则由m·2x＋21－x≥2，得m≥－， 令t＝2－x，则≤t≤1， 且m≥2t－2t2， 构造函数f(t)＝2t－2t2 ＝－22＋， 所以当t＝时，函数y＝f(t)取得最大值， 则m≥.因此，实数m的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$