08-专题强化练2 指数(型)函数与对数(型)函数(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第二册（人教B版）

该高中数学课件聚焦指数（型）、对数（型）函数与幂函数，通过梳理函数奇偶性、单调性等基本性质，结合各地期中月考真题构建从基础到综合的学习支架，帮助学生衔接知识点，逐步掌握函数图像变换与方程求解等应用。 其特色在于以真题为载体，通过换元法、图像分析等数学思维方法解析问题，如新定义“⊕”运算题培养创新意识，函数性质综合题强化逻辑推理。学生能提升解题能力与数学表达，教师可直接用于专题教学，提高课堂效率。

第四章 指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 专题强化练2 指数（型）函数与对数（型）函数 第1讲　描述运动的基本概念 1.[2026河南信阳期中]已知f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意的正数a,b(a≠b), >0恒成立, f(3)=0,则不等式f(log2x)>0的解集为( ) A. 　　　     B.(8,+∞) C. ∪(8,+∞)　　　    D. ∪(8,+∞)     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得f(x)在(0,+∞)上单调递增, 因为f(x)是奇函数, 所以f(x)在(-∞,0)上单调递增, f(-3)=-f(3)=0, 所以f(log2x)>0即log2x>3或-3<log2x<0,解得x>8或 <x<1,故原不等式的解集是 ∪(8,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2026黑龙江哈尔滨一中月考]函数f(x)=|ax-a|(a>0,且a≠1)的图象可能为 （　　　　）  　　　     　　　     　　　          BC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　函数f(x)=|ax-a|(a>0且a≠1)的图象是由y=ax(a>0且a≠1)的图象经过如下变换得到的: y=ax的图象 y=ax-a的图象 f(x)=|ax-a|的图象. 对于A,由题图知0<a<1,渐近线y=1是由直线y=-1关于x轴对称上去的,所以y=ax的图象的渐近线由x轴下 移了1个单位长度,即a=1,与0<a<1矛盾,因此A错误; 对于B,由题图知0<a<1,渐近线方程为y=a,由题图知符合题意,因此B正确; 对于C,由题图知a>1,渐近线y=2是由直线y=-2关于x轴对称上去的,所以y=ax图象的渐近线由x轴下移了2 个单位长度,即a=2,符合a>1,当x=0时,y=|20-2|=1符合题意,因此C正确; 对于D,由题图知a>1,渐近线y=2是由直线y=-2关于x轴对称上去的,所以y=ax的图象的渐近线由x轴下移 了2个单位长度,即a=2,则f(x)=|2x-2|,当x=0时, f(0)=1与题图不符,因此D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026河北衡水调研]已知x,y∈R,x+22x-1=1,4y+log2y=0,则 x+y= ( ) A. 　　　    B.1　　　     C. 　　　    D.2     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由x+22x-1=1可得22x=2-2x, 由4y+log2y=0可得log24y=2-4y. (点拨:将方程两边化为运算结构相同的形式,利用换元构造函数解决问题) 易知函数y=2x与y=log2x互为反函数,所以它们的图象关于直线y=x对称, 在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x,y=log2x,y=2-x,y=x的图象,如图:   由图可得,方程2x=2-x的根为xA,即交点A的横坐标, 第1讲　描述运动的基本概念 方程log2x=2-x的根为xB,即交点B的横坐标, 联立 得 易知点A,B关于直线y=x对称,故xA+xB=2, (关键点拨:xA=2x,xB=4y,利用换元解决问题) 因此方程22x=2-2x和log24y=2-4y的根满足2x+4y=2,所以 x+y= . 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2025四川绵阳检测]已知(x1,y1),(x2,y2)是函数y=log2x图象上两个不同的点,则下列4个式子中正确的是  ( ) ① < ;② > ;③log2 <- ;④log2 >- . A.①③　　　    B.②③ C.①④　　　    D.②④     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图所示,设A(x1,y1),B(x2,y2),x1<x2,AB的中点为M,   则M , 设点N在函数y=log2x的图象上,且MN∥x轴,则N , 由图知点N在点M的左侧,即 > ,故①错误,②正确; 则log2 >log2 = ,即-log2 > , 即log2 <- ,故③正确,④错误. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2025福建三明一中期中]已知函数f(x)= 的值域为R,则实数a的取值范围是 ( ) A.(-4,4)　　　     B.[-4,4) C.(-∞,-4)　　　    D.{-4}     B     解析　当x≥1时,f(x)=log3x单调递增,又f(1)=0,故f(x)在[1,+∞)上的值域为[0,+∞), 又f(x)在R上的值域为R,所以(-∞,0)是f(x)在(-∞,1)上的值域的子集. 当x<1时,f(x)=(4-a)x+2a, 当a=4时,f(x)=8,显然不符合题意; 当a>4时,f(x)在(-∞,1)上单调递减,故f(x)在(-∞,1)上的值域为(a+4,+∞),不符合题意; 当a<4时,f(x)在(-∞,1)上单调递增,故f(x)在(-∞,1)上的值域为(-∞,a+4), 若满足题意,则a+4≥0,即a≥-4. 综上所述,实数a的取值范围为[-4,4). 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2024山东聊城期末]已知函数f(x)=lo (x2-2ax+2),下列说法错误的是 ( ) A.∃a∈R,使得f(x)为偶函数 B.若f(x)的定义域为R,则a∈(- , ) C.若f(x)在区间(-∞,1)上单调递增,则a∈[1,+∞) D.若f(x)的值域是(-∞,2],则a∈      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,令a=0,则f(x)=lo (x2+2),此时函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=lo (x2+2)=f(x), 故f(x)=lo (x2+2)为偶函数,故A中说法正确; 对于B,因为f(x)的定义域为R,所以x2-2ax+2>0恒成立,所以Δ=(-2a)2-4×2<0,解得- <a< ,故B中说法正 确; 对于C,令g(x)=x2-2ax+2,因为y=lo x在定义域上单调递减,所以要使函数f(x)在区间(-∞,1)上单调递增, 则g(x)=x2-2ax+2在(-∞,1)上单调递减且恒大于0,所以 即 解得1≤a≤ ,故C中说法 错误; 对于D,因为函数f(x)的值域是(-∞,2],所以f(x)max=2=lo  ,所以g(x)min= ,即g(a)=-a2+2= ,解得a=± ,即a ∈ ,故D中说法正确. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2025浙江杭州期中]已知函数f(x)=ln(e2x+e2)-x,若f(x1)>f(x2),则下列说法正确的是 ( ) A.若x1>x2,则x1+x2-2>0 B.若x1>x2,则x1+x2-2<0 C.若x1>x2,则x1+x2-4>0 D.若x1>x2,则x1+x2-4<0     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　函数f(x)的定义域为R, f(x)=ln(e2x+e2)-x=ln(e2x+e2)-ln ex=ln  =ln(ex+e2-x), 易得f(2-x)=ln(e2-x+ex)=f(x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称. 令t=ex,则t>0,令u=t+ (t>0), 函数u=t+ 在t∈(0,e)上单调递减,在t∈(e,+∞)上单调递增,故u≥2e,当且仅当t=e时等号成立,此时x=1. 又y=ln u在u∈(0,+∞)上单调递增, 所以f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. 又因为f(x1)>f(x2),所以|x1-1|>|x2-1|, 两边平方得 -2x1+1> -2x2+1,即(x1-x2)(x1+x2-2)>0,若x1>x2,则x1+x2-2>0. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026重庆质量检测]已知x,y,z均为正数,且3x=4y=5z,则3x,4y,5z的大小关系为________________.     3x<4y<5z     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设3x=4y=5z=k,因为x,y,z均为正数,所以k>1, 所以x=log3k= , 所以3x= = = . 同理,得4y= = = , 5z= = = , 所以只需要比较 , , 的大小即可.  = , = ,因为 > ,所以 > .  = , = ,因为 > ,所以 > >50=1, 第1讲　描述运动的基本概念 又k>1,所以logk >logk >logk >0, 所以 < < ,即3x<4y<5z. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026湖南长沙长郡中学期中]方程xln 5+xln 12=xln 13的正实数解为__________.     e2     第1讲　描述运动的基本概念 解析　令t= ,两边同时取以b为底的对数得logbt=logb =logbc·logba=logba·logbc=logb , 所以t= ,因此 = , (关键点拨:指数幂的指数中含有对数,常用此恒等式进行变形,对底数与真数进行转化便于解题) 所以xln 5+xln 12=xln 13即为5ln x+12ln x=13ln x,所以 + =1. (方法技巧:解指数方程时,可用勾股数观察出方程的特殊解,再用单调性证明实数解是唯一的,达到解方 程的目的) 易知函数y= ,y= 在(0,+∞)上单调递减, 又y=ln x在(0,+∞)上单调递增, 所以函数y= + 在(0,+∞)上单调递减, 又 + =1,所以ln x=2,解得x=e2. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2025山东日照期中]定义max{a,b}为a,b中的最大者,函数f(x)=max{2x-1,-x}的最小值为c,函数g(x)=  如果函数h(x)=g(x)-k有三个零点,则实数k的取值范围为_______________.     (-4,-3]     解析　在同一平面直角坐标系内画出y=2x-1,y=-x的图象,如图所示,   由图可知,f(x)= 所以c=f(0)=0,则g(x)=  由函数h(x)=g(x)-k有三个零点得方程g(x)=k有三个不同的解,即函数y=g(x)的图象和直线y=k有三个不同 的交点,如图所示, 第1讲　描述运动的基本概念   当x≤0时,g(x)=x2+2x-3在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,0]上单调递增, 所以当x≤0时,g(x)min=g(-1)=-4,且g(0)=-3, 当x>0时,g(x)=-2+ln x在(0,+∞)上单调递增, 因此满足题意的实数k的取值范围为(-4,-3]. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026四川南充高级中学月考]已知函数f(x)=lg( -x+1),g(x)= ,F(x)=f(x)+g(x). 给出下列说法: ①f(x)是奇函数; ②g(x)的图象关于点(1,2)对称; ③若函数F(x)在x∈[1-n,1+n]上的最大值、最小值分别为M,N,则M+N=4; ④若F(a)+F(-2a+1)>4,则实数a的取值范围是(-1,+∞). 其中正确的有________(填序号). 　②③④     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于①, f(x)=lg( -x+1)=lg[ -(x-1)]. 因为 -(x-1)>|x-1|-(x-1)≥0恒成立, 所以函数f(x)的定义域为R,又f(0)=lg( +1)≠0,所以f(x)不是奇函数,故①错误. 对于②,g(x)+g(2-x)= + = + =4,所以g(x)的图象关于点(1,2)对称,故②正确. 对于③,将函数f(x)的图象向左平移一个单位长度,得到f(x+1)=lg( -x)的图象. 设m(x)=lg( -x),则其定义域为R,又m(-x)+m(x)=lg( +x)+lg( -x)=lg 1=0,即m(-x)=-m(x),所 以函数m(x)为奇函数,所以f(x)的图象关于点(1,0)对称.因为m(x)=lg( -x)=lg  ,所以根据复 合函数的单调性知其在R上单调递减,即f(x)在R上单调递减. 设h(x)=g(x)-2= -2,由②知h(x)的图象关于点(1,0)对称.由h(x)= -2= -1,结合复合函数的单 调性知其在R上单调递减. 第1讲　描述运动的基本概念 设G(x)=F(x)-2=f(x)+g(x)-2,则G(x)的图象关于点(1,0)对称,且G(x)在R上单调递减. 所以G(x)在x=1+n处取得最小值,在x=1-n处取得最大值,且G(x)max+G(x)min=0,所以F(x)max+F(x)min=4,即M+N =4,故③正确. 对于④,由F(a)+F(-2a+1)>4,得G(a)+G(-2a+1)>0,所以G(-2a+1)>-G(a)=G(2-a),又G(x)为R上的减函数,所 以-2a+1<2-a,解得a>-1,故④正确. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2025山东青岛期中]已知函数f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,当0<x<1时, f(x)=ex+ln(x+1). (1)求函数f(x)的解析式; (2)求不等式f(4x-1)+f(3-3·2x)≤0的解集. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为函数f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,所以f(0)=0, f(-x)=-f(x), 当-1<x<0时,0<-x<1,则f(-x)=e-x+ln(-x+1), 所以当-1<x<0时, f(x)=-e-x-ln(-x+1), 所以f(x)=  (2)由y=ex,y=ln(x+1)在(0,1)上单调递增,得当x∈(0,1)时, f(x)=ex+ln(x+1)单调递增,且f(x)>0, 由函数f(x)为奇函数,得当x∈(-1,0)时, f(x)=-e-x-ln(-x+1)单调递增,且f(x)<0, 又f(0)=0,所以f(x)在(-1,1)上单调递增. f(4x-1)+f(3-3·2x)≤0可化为f(4x-1)≤f(3·2x-3), 第1讲　描述运动的基本概念 故有 解得  所以0≤x<log2 . 所以不等式f(4x-1)+f(3-3·2x)≤0的解集为 . 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2026重庆南开中学月考]已知f(x)=a2x+ax-1(a>0,且a≠1). (1)解关于x的不等式: f(x)>1; (2)若a= ,且∀m∈[0,2], f(3m2+2)<f(2m2+3mn)恒成立,求实数n的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)不等式f(x)=a2x+ax-1>1可化为a2x+ax-2>0,即(ax-1)(ax+2)>0, 因为ax+2>0恒成立,所以ax>1. 当0<a<1时,不等式的解集为{x|x<0}, 当a>1时,不等式的解集为{x|x>0}. (2)当a= 时, f(x)= + -1.因为y= ,y= 均是R上的减函数, 所以f(x)是R上的减函数,因为f(3m2+2)<f(2m2+3mn)对任意m∈[0,2]恒成立, 所以3m2+2>2m2+3mn,即m2+2>3mn对任意m∈[0,2]恒成立.当m=0时,不等式恒成立,n∈R; 当m∈(0,2]时,不等式两边同除以m得m+ >3n, (方法技巧:变量分离,利用基本不等式求最小值,解决不等式恒成立问题) 因为m+ ≥2 ,当且仅当m= 时等号成立,所以n< . 综上,实数n的取值范围是 . 第1讲　描述运动的基本概念 14.[2025江西景德镇一中期中]设a∈R,已知函数y=f(x)的表达式为f(x)=log2 . (1)当a=3时,求不等式f(x)>1的解集; (2)设a>0,若存在t∈ ,使得函数y=f(x)在区间[t,t+2]上的最大值与最小值的差不超过1,求实数a的取 值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)当a=3时,f(x)=log2 ,则不等式f(x)>1即log2 >1,所以 +3>2,即 >0,  >0等价于x(x+1)>0,解得x<-1或x>0. 所以不等式f(x)>1的解集为(-∞,-1)∪(0,+∞). (2)当a>0,t∈ 时,函数y= +a在x∈[t,t+2]上单调递减, 所以函数f(x)=log2 在区间[t,t+2]上单调递减, 又函数y=f(x)在区间[t,t+2]上的最大值和最小值的差不超过1,所以f(t)-f(t+2)≤1, 即log2 -log2 ≤1,即log2 ≤1+log2 =log2 , 所以 +a≤2 ,所以a≥ - , 第1讲　描述运动的基本概念 若存在t∈ ,使得a≥ - 成立,则a≥ . y= - = ,t∈ , 令r=2-t,则r∈ , 则y= = ,r∈ , 设g(r)=r+ ,r∈ , 任取r1,r2∈ ,且r1<r2,则g(r2)-g(r1)=r2+ -r1- =(r2-r1)· , 因为r1<r2,所以r2-r1>0,因为r1,r2∈ ,所以r2r1-8<0, 第1讲　描述运动的基本概念 所以g(r2)<g(r1),所以函数g(r)在 上单调递减, 所以y=r+ -6在r∈ 上单调递减,所以r+ -6∈ ,所以 ∈ ,即 - ∈ ,所以a≥  ,所以实数a的取值范围为 . 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　以新定义为载体考查对数运算与对数函数的性质 15.[2026江苏南京一中段考]定义一种新运算“⨁”:对于任意实数x,y,都有x⨁y=loga(ax+ay)(a>0且 a≠1). (1)当a=2时,计算4⨁4; (2)证明:∀x,y,z∈R,都有(x⨁y)⨁z=x⨁(y⨁z); (3)设m=loga(x2-3ax+2a2),若f(x)=m⨁m-loga2在区间[s,t](0<s<t<a)上的值域为[logat,logas],求实数a的取值 范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)当a=2时,4⨁4=log2(24+24)=log232=5. (2)证明:因为(x⨁y)⨁z=[loga(ax+ay)]⨁z= +az]=loga(ax+ay+az), x⨁(y⨁z)=x⨁[loga(ay+az)]=loga[ax+ ]= +ay+az),所以(x⨁y)⨁z=x⨁(y⨁z). (3)由题意得, f(x)=m⨁m-loga2=loga(am+am)-loga2=m+loga2-loga2=m=loga(x2-3ax+2a2). 令g(x)=x2-3ax+2a2,则g(x)在(0,a)上单调递减. 由于f(x)在[s,t]上的值域为[logat,logas], 所以logat<logas(s<t),所以0<a<1, 所以f(x)在[s,t]上单调递增, 所以 即  整理,得s2-t2-3a(s-t)=-(s-t),所以s+t-3a=-1,即t=3a-s-1,代入s2-3as+2a2=t,得s2-(3a-1)s+2a2-3a+1=0.同理,得t2- 第1讲　描述运动的基本概念 (3a-1)t+2a2-3a+1=0. 所以s,t是关于x的方程x2-(3a-1)x+2a2-3a+1=0在(0,a)上的两个不同的根, 所以  解得 所以2 -3<a< , 故实数a的取值范围为 . 第1讲　描述运动的基本概念 $