4.3指数函数与对数函数的关系课件-2022-2023学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第二册

4.3　指数函数与对数函数的关系 -1- 学习目标： 1．理解指数函数与对数函数性质与图像的关系，知道它们互为反函数.(重点) 2.了解反函数的概念，能判定一个函数是否存在反函数，并能求出简单函数的反函数.(重点) 3.掌握互为反函数的函数图像间的关系及其性质.(难点) 对数函数y=log a x (a>0, a≠1) 指数函数y=ax (a>0,a≠1) (4) a>1时, 在R上是增函数； 0<a<1时,在R上是减函数 (4) a>1时,在(0,+∞)是增函数； 0<a<1时,在(0,+∞)是减函数 (3)过点(0,1), 即x=0 时, y=1 (3)过点(1,0), 即x=1 时, y=0 (2)值域：(0,+∞) (1)定义域：R (1)定义域： (0,+∞) (2)值域：R y=ax (a>1) y=ax (0<a<1) x y o 1 y=logax (a>1) y=logax (0<a<1) x y o 1 图 象 性 质 指数函数与对数函数的图像与性质 1.定义域、值域互换 2.定点横纵坐标互换 3.单调性一致 激趣诱思 知识点拨 课前篇自主预习 X Y O 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 7 Y=log2x Y=X Y=2x -1 -1 -2 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 激趣诱思 知识点拨 课前篇自主预习 (1,0) (0,1) O x y y=log2x y=2x y=x P(a,b) Q(a,b) 结论：同底的指数函 数与对数函数图像关 于直线y=x对称。 同底数的指数函数与对数函数的图像的关系 激趣诱思 知识点拨 课前篇自主预习 指数函数与对数函数的内在关系 y=ax 互化x=logay x,y互换y=logax 先解后换 知识点拨 激趣诱思 思考: 第一步变换有没有引起图像的变化？为什么？ 第二步变换有没有引起图像的变化？为什么？ 这两步变换顺序能否交换？ 指数式、对数式互化图像不变，x,y互换引起图像关于直线y=x对称。 课前篇自主预习 0 x y ｙ＝2ｘ ｙ＝ｘ 想一想：函数 的图象和函数 是否也具有上述关系？ 激趣诱思 知识点拨 结论：指数函数与对数函数之间的这种关系并不是它们所特有的，有大量的函数之间具有这种关系，我们称它们互为反函数。 课前篇自主预习 激趣诱思 知识点拨 反函数的概念 1.一般地,如果在函数y=f(x)中,给定值域中任意一个y的值,只有 唯一的x与之对应,那么x是y的函数,这个函数称为y=f(x)的反函数.此时,称y=f(x)存在反函数.而且,如果函数的自变量仍用x表示,因变量仍用y表示,则函数y=f(x)的反函数的表达式,可以通过对调y=f(x)中的x与y,然后从x=f(y)中求出y得到. 2.反函数的记法 一般地,函数y=f(x)的反函数记作y=f-1(x). 课前篇自主预习 激趣诱思 知识点拨 初试身手 (1)若函数y=( )x与y=logax互为反函数,则a=　　　　.  (2)函数y=f(x)的反函数存在,若点(2,1)在y=f(x)的图像上,则其反函数的图像一定过点　　　　.  (3)函数y=ln(2x)的反函数是　　　　.  解析:(1)由题意知,a= . (2)由互为反函数的图像关于直线y=x对称, ∴(2,1)关于y=x的对称点(1,2)一定在其反函数的图像上. 课前篇自主预习 激趣诱思 知识点拨 （4）若函数y=log3x+1的反函数的定义域为(3,+∞),则此函数的定义域为　　　　　.  解析:函数y=log3x+1的反函数的定义域为(3,+∞),也即这个函数的值域为(3,+∞),所以log3x+1>3,即log3x>2,所以x>9.所以此函数的定义域为(9,+∞). 答案:(9,+∞) 课前篇自主预习 例1.（多选）下列函数中存在反函数的是（ ） A. x 1 2 3 4 5 f(x) -1 0 1 -2 5 B. x 1 2 3 4 5 f(x) 0 0 1 3 5 C. D. AD 规律方法：判定函数存在反函数的方法——一一对应 1.逐一考查值域中函数值对应的自变量的取值，如果都是唯一的，则函数的反函数存在； 3.确定函数在定义域上的单调性，如果是单调函数，则函数的反函数存在. 2.利用函数解析式，解出x，如果x是唯一的，则函数的反函数存在； 若函数f(x)存在反函数，则f(x)一定单调吗？ 探究一 课堂篇探究学习 例2.求下列函数的反函数: 规律方法;求函数的反函数的主要步骤 (1)从y=f(x)中解出x=φ(y); (2)对调其中的x和y,得y=φ(x); (