07-4.3 指数函数与对数函数的关系(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第二册（人教B版）

该高中数学课件聚焦指数函数、对数函数与幂函数中的反函数知识，通过具体题目串联反函数定义、求法及性质，搭建从指数函数到对数函数的学习支架，帮助学生衔接前后知识点。 其亮点在于精选各地联考真题，题型多样，解析注重逻辑推理（数学思维），通过函数图象对称培养几何直观（数学眼光），引导学生用数学语言表达函数关系。学生能提升反函数应用能力，教师可借助实例丰富教学，提高课堂效率。

第四章 指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 4.3　指数函数与对数函数的关系 第1讲　描述运动的基本概念 题组　反函数 1.[2025广东潮州饶平二中期中]函数f(x)与g(x)=ax(a>0且a≠1)互为反函数,且f(x)的图象过点(10,1), 则f(100)= （　　　　） A.-1　　　    B.2　　　    C. 　　　    D.3     B     解析　设y=g(x)=ax,则x=logay,即g(x)的反函数的表达式为y=logax,即f(x)=logax, 又f(x)的图象过点(10,1),所以loga10=1,解得a=10,所以f(100)=log10100=2. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026湖南邵阳拔尖创新班联考]若函数f(x)与g(x)=ax(a>0且a≠1)互为反函数,且g(x)的图象过点(-2,9), 则f(1)+f(3)= （　　　　） A.-1　　　    B.0　　　    C.1　　　    D.      A     解析　由函数g(x)=ax的图象过点(-2,9),可得a-2=9,解得a= (负值舍去),即g(x)= , 因为函数f(x)与g(x)互为反函数,所以f(x)=lo x, 所以f(1)+f(3)=lo 1+lo 3=0-1=-1. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2024辽宁丹东期末]已知函数f(x)=3x-1,则它的反函数y=f-1(x)的大致图象是 （　　　　） A　　　     B  C　　　     D     C     解析　令y=f(x),则y=3x-1,y>0,∴x-1=log3y,即x=log3y+1,∴f-1(x)=log3x+1, 易知f-1(x)在(0,+∞)上单调递增,且f-1 =log3 +1=0,结合选项知选C. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026河南周口期末质量检测]函数f(x)=log3(3x+9)的反函数y=f-1(x)的定义域为 （　　　　） A.(1,+∞)　　　    B.(3,+∞)　　　    C.(0,+∞)　　　    D.(2,+∞)     D     解析　∵3x>0,∴3x+9>9,∴log3(3x+9)>log39=2,则f(x)的值域为(2,+∞), ∵反函数的定义域为原函数的值域,∴反函数y=f-1(x)的定义域为(2,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2025广东梅州兴宁一中开学考试]已知函数y=ex的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称,则f(2e)=  （　　　　） A.2e2　　　    B.2e　　　    C.1+ln 2　　　    D.lg(2e)     C     解析　因为y=ex的图象与y=f(x)的图象关于直线y=x对称,所以y=ex与y=f(x)互为反函数,故f(x)=ln x, 所以f(2e)=ln(2e)=1+ln 2. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[教材习题改编][多选题][2025安徽六安皖西当代中学月考]已知函数y=ex的图象和y=ln x的图象与直 线y=2-x的交点的横坐标分别为a,b,则 ( ) A.a<b　　　    B.a+b=2　　　    C.ab>1　　　    D.a2+b2>2     ABD     解析　易知函数y=ex和y=ln x互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称, 在同一平面直角坐标系中,作出函数y=ex与y=ln x的图象及直线y=2-x,由直线y=2-x与直线y=x垂直,且交 点为(1,1)得a+b=2,0<a<1<b,所以a2+b2=a2+(2-a)2=2a2-4a+4=2(a-1)2+2>2,ab=a(2-a)=-a2+2a=-(a-1)2+1<1.   第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026山东滕州一中月考]已知函数f(x)=ex+x,g(x)=ln x+x,若f(a)=g(b)=2,则下列各式正确的是 （　 ） A.ab≥1　　　     B.a3+b3>2　　　     C.ea+ln b<2　　　    D.ea+eb≥2e2     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题可得 即  在同一平面直角坐标系中分别作出函数y=ex,y=-x+2,y=ln x的图象,   由ea=-a+2,可知A(a,ea), 由ln b=-b+2,可得B(b,ln b), 易知函数y=ex与y=ln x互为反函数,所以由反函数的性质知A,B关于直线y=x对称, 联立 解得  第1讲　描述运动的基本概念 则a+b=2,ea+ln b=2,且a>0,b>0,a≠b,因此C错误. 对于A,ab< =1,因此A错误. 对于B,由a+b=2,ab<1,得a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=2[(a+b)2-3ab]=2(4-3ab)>2,因此B正确. 对于D,ea+eb>2 =2 =2 =2e,因此D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2025辽宁抚顺检测]已知函数f(x)=ax-k(a>0且a≠1)的图象过点(1,3),其反函数的图象过点(2,0),则f(x) 的表达式是_________________.     f(x)=2x+1     解析　因为函数f(x)=ax-k(a>0且a≠1)的图象与其反函数的图象关于直线y=x对称,且其反函数的图象过 点(2,0),所以函数f(x)=ax-k的图象过点(0,2), 则f(0)=a0-k=1-k=2,解得k=-1. 又函数f(x)=ax-k的图象过点(1,3), 所以f(1)=a-k=a+1=3,解得a=2. 故f(x)=2x+1. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2024上海复旦附中期末]函数y=x2-2x+3(x≤0)的反函数为__________________.     y=1-  (x≥3)     解析　由题意可得y=x2-2x+3=(x-1)2+2在(-∞,0]上单调递减,故y≥3,则x-1=- ,即x=1- (y≥3), 故函数y=x2-2x+3(x≤0)的反函数为y=1- (x≥3). 第1讲　描述运动的基本概念 10.已知函数y=f(x)(x<0)的反函数为y=f -1(x),且函数g(x)= 是奇函数,则不等式f -1(x)≥-2的解 集为__________________.     [-log23,0)     解析　令h(x)=log2(x+1),x≥0. 当x<0时,-x>0,则h(-x)=log2(1-x)=-h(x), 所以y=f(x)=h(x)=-log2(1-x),x<0. 令x=-log2(1-y),y<0,得y=1-2-x. 由1-2-x<0,得x<0. 所以f-1(x)=1-2-x,x<0. 不等式f-1(x)≥-2可化为1-2-x≥-2, 解得x≥-log23,又x<0,所以-log23≤x<0. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026黑龙江牡丹江一中期中]已知函数f(x)=ax-a+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点(2,2). (1)求实数a; (2)将函数f(x)的图象向下平移1个单位长度,再向左平移a个单位长度后得到函数g(x)的图象,设函数g(x) 的反函数为h(x),求h(x)的解析式; (3)在(2)的条件下,φ(x)=h(x)·h ,x∈[1,8],求函数φ(x)的值域. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)依题意得f(2)=a2-a+1=2,则a2-a=1,由a≠1,得2-a=0,故a=2. (2)由(1)知f(x)=2x-2+1,将函数f(x)的图象向下平移1个单位长度得到y=2x-2的图象,再向左平移a=2个单位长 度得到g(x)=2x的图象, 指数函数g(x)=2x的反函数是对数函数y=log2x,即h(x)=log2x. (3)由(2)得φ(x)=log2x·log2 =log2x·(log2x-2)= -2log2x,x∈[1,8], 令t=log2x,x∈[1,8],则t∈[0,3],则φ(x)可转化为F(t)=t2-2t,t∈[0,3], 易知函数F(t)=t2-2t=(t-1)2-1的图象开口向上,对称轴为直线t=1,因此F(t)min=F(1)=-1,F(t)max=φ(3)=3, 故函数φ(x)的值域为[-1,3]. 第1讲　描述运动的基本概念 $