第4章 4.3 指数函数与对数函数的关系(Word讲义)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教B版）

　指数函数与对数函数的关系 学业标准 素养目标 1.了解反函数的定义及存在反函数的条件，知道y＝ax与y＝logax互为反函数，会求简单函数的反函数．(难点) 2．掌握互为反函数的定义域、值域、单调性、图象间的关系，并能简单应用．(重点) 1.通过从教材实例中归纳出反函数的定义，培养学生数学抽象等核心素养． 2．通过利用互为反函数间的关系解决问题，提升学生逻辑推理、数学运算等核心素养． 导学1 反函数的定义 　函数y＝x2，定义域为[－1，1]，求函数的值域，并判定x是y的函数吗？若定义域改为[0，1]呢？ [提示]　函数的值域为[0，1]，如y＝1∈[0，1]，则x＝±1∈[－1，1]，故不能构成x是y的函数． 若定义域为[0，1]时，y＝x2是增函数，由函数的定义知x是y的函数． ◎结论形成 1．反函数的定义及表示 (1)定义 如果在函数y＝f(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f(x)的反函数． (2)表示方法 函数y＝f(x)的反函数记作y＝f-1(x)． 2．反函数的求法 对调y＝f(x)中的x与y，然后从x＝f(y)中求出y得到． 点睛　如果y＝f(x)是单调函数，那它的反函数y＝f-1(x)一定存在． 导学2 指数函数与对数函数的比较 名称 指数函数 对数函数 解析式 y＝ax y＝logax 关系 互为反函数 定义域　 R (0，＋∞) 值域 (0，＋∞) R 图象及关系　 图象关于y＝x对称 单调 性　 当a＞1时，y＝ax在(－∞，＋∞)上是增函数； 当0＜a＜1时，y＝ax在(－∞，＋∞)上是减函数 当a＞1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数； 当0＜a＜1时，y＝logax在(0，＋∞)上是减函数 函数值变化情况 当a＞1时， ax 当0＜a＜1时， ax 当a＞1时， logax 当0＜a＜1时， logax 导学3 函数与其反函数的性质的关系 1.定义域、值域：原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域． 2．图象：互为反函数的图象关于直线y＝x对称；图象关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数． 3．单调性：互为反函数的两函数单调性一致． 点睛　f[f-1(x)]＝x，f-1[f(x)]＝x. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝x2的反函数为y＝.(　　) (2)函数y＝10x的反函数为y＝lg x．(　　) (3)函数y＝f(x)的定义域为[0，1)，则其反函数的值域为[0，1).(　　) (4)若f-1(1)＝2，则f(2)＝1.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．在同一坐标系中函数y＝－log2x与y＝2－x的图象(　　) A．关于y轴对称　　　　 B．关于x轴对称 C．关于原点对称 D．关于y＝x对称 解析　y＝－log2x＝logx与y＝2－x＝是互为反函数，图象关于y＝x对称，故选D． 答案　D 3．函数y＝1＋(x＞0)的反函数为 ． 解析　∵x＞0，∴y＝1＋＞1， 由y＝1＋对调其中的x和y得y＝， 即f-1(x)＝(x＞1). 答案　f-1(x)＝(x＞1) 4．函数f(x)＝2x＋b的反函数过点(1，2)，则实数b的值为 ． 解析　依题意函数f(x)＝2x＋b过点(2，1)， 即2×2＋b＝1，∴b＝－3. 答案　－3 题型一　求反函数 　求下列函数的反函数． (1)y＝log2x；(2)y＝；(3)y＝x2(x≤0). [解析]　(1)由y＝log2x对调x和y， 解得y＝2x， 所以f-1(x)＝2x. (2)由y＝，y＞0， 对调x和y，解得y＝logx， 所以f-1(x)＝logx(x＞0). (3)y＝x2，x≤0，∴y≥0，并对调x和y， 即x＝y2，此时y≤0， 解出y＝－，所以f-1(x)＝－(x≥0). 求反函数的一般步骤 (1)求原函数值域，即由y＝f(x)求y的范围． (2)由y＝f(x)对调x和y，并解出y(用x表示)，即求出f-1(x). (3)注明反函数的定义域即原函数的值域.　 [触类旁通] 1．求函数y＝0.2x＋1(x≤1)的反函数． 解析　由y＝0.2x＋1得x＝log0.2(y－1)，对换x，y得y＝log0.2(x－1). 因为原函数中x≤1，y≥1.2，所以反函数的定义域为[1.2，＋∞)， 因此y＝0.2x＋1(x≤1)的反函数是y＝log0.2(x－1)，x∈[1.2，＋∞). 题型二　原函数与其反函数性质的应用 (（一题多变） 　已知函数f(x)＝ax＋b的图象过(1，7)，其反函数f-1(x)的图象过点(4，0)，则f(x)的表达式为(　　) A．4x＋3　　　　　　　　 B．3x＋4 C．5x＋2 D．2x＋5 [解析]　∵f(x)的反函数图象过点(4，0)， ∴f(x)的图象过(0，4)， 又f(x)＝ax＋b的图象过(1，7)， 所以有方程组 ∴a＝4且b＝3，故f(x)的表达式为4x＋3.选A． [答案]　A [母题变式] 1．(变结论)在本例的条件下，求f[f-1(11)]的值． 解析　根据反函数的性质得f[f-1(11)]＝11. 2．(变结论)函数y＝4x＋3与函数y＝log4(x－3)(x＞3)的图象之间有什么关系？ 解析　∵y＝4x＋3与y＝log4(x－3)是互为反函数， ∴二者的图象关于y＝x对称． 若点P(m，n)在函数y＝f(x)(或在反函数y＝f-1(x))的图象上，则点P′(n，m)在反函数y＝f-1(x)(或在函数y＝f(x))的图象上，利用这种对称性去解题，常常可以避开求反函数的解析式，从而达到简化运算的目的.　 [触类旁通] 2．若函数y＝f(x)的图象过点(－1，3)，则其反函数y＝f-1(x)的图象一定过点 ． 解析　∵函数y＝f(x)与y＝f-1(x)的图象关于直线y＝x对称，且函数y＝f(x)的图象过点(－1，3)，所以y＝f-1(x)的图象一定过点(3，－1). 答案　(3，－1) 题型三　指数函数与对数函数的综合应用 　已知f(x)＝(a∈R)，f(0)＝0. (1)求a的值，并判断f(x)的奇偶性； (2)求f(x)的反函数； (3)解关于x的不等式f-1(x)>log2(k＞0且为常数). [解析]　(1)由f(0)＝0，得a＝1， 所以f(x)＝， 因为f(x)＋f(－x)＝＋＝＋＝0，所以f(－x)＝－f(x)， 即f(x)为奇函数． (2)因为f(x)＝y＝＝1－， ∵2x＞0，∴0＜＜2，即－1＜y＜1， 由y＝1－对调x和y， 即x＝1－解得y＝log2， 所以f-1(x)＝log2(－1<x<1). (3)因为f-1(x)>log2， 即log2>log2(k＞0)， 所以解得 当0＜k＜2时，原不等式的解集为(1－k，1)； 当k≥2时，原不等式的解集为(－1，1). [素养聚焦]　本题主要考查指数函数与对数函数性质的综合应用，突出考查数学运算、逻辑推理核心素养. 首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识点，明确各知识点的应用思路、化简方向与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路.　 [触类旁通] 3．设函数f(x)＝2x＋p(p为常数且p∈R). (1)若f(3)＝5，求f(x)的解析式； (2)在(1)的条件下，解方程：f-1(x)＝log2(x＋1)＋log2(2x－1). 解析　(1)由题设可得23＋p＝5⇒p＝－3， 所以f(x)＝2x－3. (2)由(1)可得f-1(x)＝log2(x＋3)(x＞－3)， 于是方程log2(x＋3)＝log2(x＋1)＋log2(2x－1)，即x＋3＝(x＋1)(2x－1)， 解得x1＝，x2＝－(舍去)，所以方程的根为x＝. 知识落实 技法强化 1.反函数的定义． 2.反函数的性质． 原函数的定义域是反函数的值域，值域是反函数的定义域，在求值的过程中，可以利用这一关系，转化已知函数来求值，不必求出反函数或原函数． [必备知识·基础巩固] 1．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)等于(　　) A．log2x　　　　　　　 B． C．logx D．2x-2 解析　依题意y＝ax过点(1，2)， ∴a＝2，即f(x)＝log2x，故选A． 答案　A 2．当a＞1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝－loga x的图象是图中的(　　) 解析　∵y＝的反函数为y＝logx＝－logax. 又a＞1，故它们的图象关于y＝x对称且都是减函数， 故选D． 答案　D 3．若函数y＝f(x)的反函数为f-1(x)＝ln ＋1，则f(2)的值等于(　　) A．1 B．e C．1＋ln D．e2 解析　∵f -1(e2)＝ln ＋1＝2，∴f(2)＝e2，故选D． 答案　D 4．(多选题)已知函数f(x)在其定义域内单调递增，且f(1)＝－1，若f(x)的反函数为f-1(x)，则(　　) A．f-1(－1)＝1 B．f-1(x)在定义域内单调递增 C．f-1(1)＝1 D．f-1(x)在定义域内单调递减 解析　由反函数的性质可知，f-1(－1)＝1，且f-1(x)在定义域内单调递增． 答案　AB 5．已知函数f(x)的反函数为g(x)＝1＋2lg x(x＞0)，则f(1)＋g(1)＝ ． 解析　∵y＝g(x)＝1＋2lg x(x＞0)， ∴lg x＝(y－1)，x＝， ∴y＝g(x)的反函数为y＝f(x)＝， ∴f(1)＋g(1)＝100＋(1＋2lg 1)＝2. 答案　2 6．函数f(x)＝的反函数是 ． 解析　函数的值域为[0，＋∞)，令y＝， 将其中的x，y对调得x＝，解得y＝4－x2， 所以反函数f-1(x)＝4－x2(x≥0). 答案　f-1(x)＝4－x2(x≥0) 7．已知函数y＝ax＋2与函数y＝3x＋b的图象关于直线y＝x对称，则a的值为 ，b的值为 ． 解析　由y＝ax＋2对调x和y，解得y＝x－，依题意得即 答案　　－6 8．已知函数f(x)＝loga(2－x)(a＞1). (1)求函数f(x)的定义域、值域； (2)求函数f(x)的反函数f-1(x)； (3)判断f-1(x)的单调性． 解析　(1)要使函数f(x)有意义，需满足2－x＞0， 即x＜2，故原函数的定义域为(－∞，2)，值域为R. (2)由y＝loga(2－x)对调x和y得，2－y＝ax， 即y＝2－ax. ∴f-1(x)＝2－ax(x∈R). (3)f-1(x)在R上是减函数． 证明如下：任取x1，x2∈R且x1＜x2， 则f-1(x2)－f-1(x1)＝2－ax2－2＋ax1＝ax1－ax2. ∵a＞1，x1＜x2，∴ax1＜ax2，即ax1－ax2＜0， ∴f-1(x2)＜f-1(x1)， ∴y＝f-1(x)在R上是减函数． [关键能力·综合提升] 9．(多选题)函数y＝f(x)是y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，则下列结论正确的是(　　) A．f(x2)＝2f(|x|) B．f(2x)＝f(x)＋f(2) C．f＝f(x)－f(2) D．f(2x)＝2f(x) 解析　因为函数y＝f(x)是y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，所以f(x)＝logax， 所以f(2x)＝loga2x＝loga2＋logax＝f(x)＋f(2)≠2f(x)，B正确D错误；f(x2)＝logax2＝2loga|x|＝2f(|x|)，A正确；f＝loga＝logax－loga2＝f(x)－f(2)，C正确． 答案　ABC 10．(多选题)设函数f(x)的定义域为D，若对任意x∈D，存在y∈D，使得f(y)＝－f(x)成立，则称函数f(x)为“美丽函数”，下列所给出的函数，其中是“美丽函数”的是(　　) A．y＝x2 B．y＝ C．f(x)＝ln (2x＋3) D．y＝2x＋3 解析　因为若对任意x∈D，存在y∈D，使得f(y)＝－f(x)成立，所以只需f(x)的值域关于原点对称． A中函数y＝x2的值域为[0，＋∞)，不关于原点对称，不符合； B中函数y＝的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，符合； C中函数f(x)＝ln (2x＋3)的值域为R，关于原点对称，符合； D中函数y＝2x＋3的值域为R，关于原点对称，符合． 答案　BCD 11．若函数f(x)＝log2x＋2的反函数的定义域为(3，＋∞)，则f(x)的定义域为 ，f -1(4)＝ ． 解析　因为反函数的定义域为(3，＋∞)，所以f(x)＝log2x＋2的值域为(3，＋∞)，所以log2x＋2＞3，所以x＞2，所以f(x)的定义域为(2，＋∞)，又x＝log2y＋2，所以y＝f-1(x)＝2x-2(x∈(3，＋∞))，所以f-1(4)＝24-2＝4. 答案　(2，＋∞)　4 12．已知函数f(x)＝的图象与函数g(x)的图象关于直线y＝x对称，令h(x)＝g(1－|x|)，则关于h(x)有下列命题： ①h(x)的图象关于原点对称； ②h(x)为偶函数； ③h(x)的最小值为0. 其中正确命题的序号为 ．(将你认为正确的命题的序号都填上) 解析　g(x)＝logx， ∴h(x)＝log(1－|x|)(－1＜x＜1)， ∴h(x)是偶函数，②正确，①错误． ∵0＜1－|x|≤1，∴h(x)min≥0， 故③正确． 答案　②③ 13．设f(x)＝lg ，如果当x∈(－∞，1]时，f(x)有意义，求实数a的取值范围． 解析　解法一　由题意知当x∈(－∞，1]时， f(x)＝lg 有意义， 说明在x∈(－∞，1]时，1＋2x＋4xa＞0恒成立， 即＋＋a的最小值大于0. 设t＝，则t≥. 又设g(t)＝t2＋t＋a，其图象的对称轴为直线t＝－， 所以g(t)＝t2＋t＋a在上的最小值在t＝处取得，即g＝＋＋a＞0， 解得a＞－. 所以a的取值范围为. 解法二　(分离参数法) 由题意，知a·4x＋2x＋1＞0， 即a＞－＝－－. 当x∈(－∞，1]时，a·4x＋2x＋1＞0恒成立， 所以需要a大于－－的最大值， 令u(x)＝－－， 因为u(x)＝－－为增函数， 所以a＞u(1)＝－－＝－成立． 故a的取值范围为. [核心价值·探索创新] 14．将函数y＝2x的图象向左平移一个单位，得到图象C1，再将C1向上平移一个单位得到图象C2，作出C2关于直线y＝x的对称图象C3，则C3的解析式为 ． 解析　将函数y＝2x的图象向左平移一个单位，得到函数y＝2x+1的图象，再将y＝2x+1的图象向上平移一个单位得到图象对应的解析式为y＝2x+1＋1，作出y＝2x+1＋1关于直线y＝x对称的图象，它是y＝2x+1＋1的反函数的图象，由反函数的定义知，C3的解析式为y＝log2(x－1)－1. 答案　y＝log2(x－1)－1 15．设方程2x＋x－3＝0的根为a，方程log2x＋x－3＝0的根为b，求a＋b的值． 解析　将方程整理得2x＝－x＋3，log2x＝－x＋3. 如图可知，a是指数函数y＝2x的图象与直线y＝－x＋3交点A的横坐标， b是对数函数y＝log2x的图象与直线y＝－x＋3交点B的横坐标． 由于函数y＝2x与y＝log2x互为反函数， 所以它们的图象关于直线y＝x对称， 由题意可得出A，B两点也关于直线y＝x对称， 于是A，B两点的坐标为A(a，b)，B(b，a). 而A，B都在直线y＝－x＋3上， 所以b＝－a＋3(A点坐标代入)，或a＝－b＋3(B点坐标代入)，故a＋b＝3. 学科网（北京）股份有限公司 $