06-4.2.3 对数函数的性质与图象(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第二册（人教B版）

该高中数学课件聚焦对数函数的概念、图象与性质，通过回顾指数函数引入对数函数，以题组形式搭建从概念辨析到性质应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于结合多样化题组（如概念判断、图象平移、复合函数单调性分析）和易错警示、规律总结，培养学生数学眼光（抽象函数概念）、数学思维（推理函数性质），例如通过构造函数解决不等式恒成立问题。助力学生夯实基础、提升解题能力，为教师提供丰富教学资源，提高教学效率。

第四章 指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 4.2　对数与对数函数 4.2.3　对数函数的性质与图象 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　对数函数的概念 1.给出下列函数:①y=log5x+1;②y=logax2(a>0且a≠1);③y= x;④y= log3x;⑤y=logx (x>0且x≠1),其 中对数函数的个数为 （　　　　） A.1　　　    B.2　　　    C.3　　　    D.4     A     解析　①中log5x后面加1,所以不是对数函数;②中真数不是自变量x,所以不是对数函数;显然③中函数 是对数函数;④中log3x前的系数不是1,所以不是对数函数;⑤中底数是自变量x,而非常数,所以不是对数 函数.所以对数函数的个数为1. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2024湖北黄梅第一中学期末]已知对数函数f(x)=(a2-3a+3)logax(a>0,且a≠1),则f 的值为_______. 　-1     解析　∵函数f(x)=(a2-3a+3)logax是对数函数, ∴ ∴a=2,∴f(x)=log2x,∴f =log2 =-1. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026广东河源龙川一中期末]已知f(x)为对数函数, f =-2,则f( )=_________. 解析　设f(x)=logax(a>0且a≠1),则loga =-2,所以 = ,所以a= ,所以f(x)= x, 所以f( )=log      =log2( )2=log2 = . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　对数(型)函数的图象 4.[2026辽宁六校协作体期末]若0<b<1<a,则函数y=logb(x+a)的图象不经过 （　　　　） A.第一象限　　　    B.第二象限 C.第三象限　　　    D.第四象限     A     解析　∵0<b<1,∴y=logbx在(0,+∞)上单调递减,且过第一、四象限, 将y=logbx的图象向左平移a(a>1)个单位长度,得到y=logb(x+a)的图象,故函数y=logb(x+a)的图象不经过第 一象限. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026福建厦门双十中学期中]已知a>0且a≠1,则函数y=a-x与函数y=loga(-x)的图象可能是 （　　）  　　　       　　　          D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　当a>1时,y=a-x在R上单调递减,且图象恒过点(0,1),选项B,D符合题意,y=loga(-x)在(-∞,0)上单调递 减且图象恒过点(-1,0),因此B不符合,D符合; 当0<a<1时,y=a-x在R上单调递增且图象恒过点(0,1),选项A,C符合题意,y=loga(-x)在(-∞,0)上单调递增且 图象恒过点(-1,0),因此A,C均不符合. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026山西大同第一中学学情检测]已知函数f(x)=loga(x-b)(a>0且a≠1,a,b为常数)的图象如图,则下列 结论正确的是 （　　　　）   A.a>1,b<-1　　　     B.a>1,-1<b<0 C.0<a<1,b<-1　　　     D.0<a<1,-1<b<0     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　根据题图得函数f(x)=loga(x-b)为减函数,所以0<a<1. 令loga(x-b)=0,得x=1+b,因为函数图象与x轴的交点在正半轴上,所以x=1+b>0,即b>-1, 又因为函数图象与y轴有交点,所以b<0,所以-1<b<0. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2025山东青岛第六中学期中]函数y=ax+1+2(a>0且a≠1)的图象恒过点A(m,n),函数y=logb(x+1)+2(b>0且 b≠1)的图象恒过点B(p,q),则mn+pq= （　　　　） A.-5　　　    B.-3　　　    C.-2　　　    D.-1     B     解析　对于y=ax+1+2,令x+1=0,得x=-1,y=a0+2=3, 所以y=ax+1+2的图象恒过点A(-1,3),即m=-1,n=3; 对于y=logb(x+1)+2,令x+1=1,得x=0,y=logb1+2=2,所以y=logb(x+1)+2的图象恒过点B(0,2),即p=0,q=2. 所以mn+pq=-1×3+0×2=-3. 第1讲　描述运动的基本概念 8.已知函数y=loga 的图象经过第二、三、四象限,则实数a的取值范围为_________. 解析　由题意得 解得 <a<1. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　对数(型)函数的性质及其应用 9.[教材习题改编][2026河北邯郸五校期中联考]函数f(x)= 的定义域为 （　　　　） A.(-1,1)　　　    　　B.[-1,1)　　　     C.(-∞,1)　　　     D.(-1,+∞)     A     解析　要使函数f(x)= 有意义, 则需 解得-1<x<1,故函数f(x)的定义域为(-1,1). 第1讲　描述运动的基本概念 易错警示　求定义域问题时,需列出满足题意的不等式(组),列不等式(组)的依据:一是分式的分母不为 零;二是偶数次方根的被开方数非负;三是对数的真数为正;四是对数的底数大于0且不等于1.解题时防 止因错列、漏列不等式而出错. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2025江苏徐州三中期中]已知a=log94,b=log1510,c= ,则 （　　　　） A.a<b<c　　　    B.a<c<b C.c<a<b　　　    D.c<b<a     B     解析    a=lo 22=log32= log323< log39= =c, b=log1510= log15103> log15225= =c,所以a<c<b. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026河北秦皇岛调研]已知函数f(x)= 则f(x)的值域为 （　　　　） A. 　　　    B. 　　　     C.(log92,ln 2]　　　    D.(log92,log94]     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　易知y=ln x在 上单调递增, 所以y∈ . 易知y=log9x在(2,4]上单调递增, 所以y∈(log92,log94]. 因为ln  <log92<ln 2,log94=log32<ln 2, 所以函数f(x)的值域是 . 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2026海南海口华侨中学期中]已知a>0且a≠1,若函数y=loga(4-ax)在[1,2]上单调递减,则实数a的取值 范围是 （　　　　） A.(0,1)　　　    B.(1,2)　　　    C.(1,2]　　　    D.(1,4)     B     解析　因为a>0且a≠1,所以y=4-ax在[1,2]上单调递减,又y=loga(4-ax)在[1,2]上单调递减,所以a>1,又4- 2a>0,所以a<2,所以1<a<2. 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2025北京房山期中]已知函数f(x)=ln  ,下列说法错误的是（　　　　） A.f(x)的定义域为(-1,1) B.f(x)的图象关于y轴对称 C.f(x)的图象关于原点对称 D.f(x)在(0,1)上单调递增     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　函数f(x)=ln  ,则 >0,即(x+1)(x-1)<0,解得-1<x<1, 所以f(x)的定义域为(-1,1),故A中说法正确. 由A选项知, f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称,又f(-x)=ln  =ln =-ln  =-f(x), 所以f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,故B中说法错误,C中说法正确. 因为f(x)=ln  =ln ,y= 在(0,1)上单调递增,y=ln x在(0,1)上单调递增, 所以f(x)在(0,1)上单调递增,故D中说法正确. 第1讲　描述运动的基本概念 14.[2026湖北荆州中学期中]已知a>0且a≠1,函数f(x)= 满足当x1≠x2时,恒有  >0成立,那么实数a的取值范围为 （　　　　） A.(1,2)　　　    B.  C.(1,+∞)　　　    D.      D     解析　由题可知函数f(x)在R上为增函数, 则 解得 ≤a<2. 第1讲　描述运动的基本概念 15.[2026湖南长沙长郡中学月考]已知正数a,b满足2a-4b=log2 ,则 （　　　　） A.a≥2b　　　    B.a≤2b　　　    C.a>2b　　　    D.a<2b     D     解析　因为正数a,b满足2a-4b=log2 =log2b-log2a,所以2a+log2a=22b+log2b, 所以2a+log2a=22b+log2(2b)-1<22b+log2(2b).(通过放缩将两边化为相同的结构) 令f(x)=2x+log2x,则f(a)<f(2b),易知f(x)在(0,+∞)上单调递增,(构造函数,利用单调性解决问题)所以a<2b. 第1讲　描述运动的基本概念 16.[2026黑龙江牡丹江三中期中]若函数f(x)= (a>0且a≠1)的值域是[4,+∞),则实数a 的取值范围为 （　　　　） A.(1,2]　　　    B.(1,2)　　　    C.[2,+∞)　　　    D.(2,+∞)     A     解析　当x≤2时, f(x)=2x2-12x+20=2(x-3)2+2,所以f(x)∈[4,+∞), 因此要使函数f(x)的值域是[4,+∞), 则需当x>2时, f(x)=3+logax的值域为[4,+∞)的子集, 所以 解得1<a≤2. 第1讲　描述运动的基本概念 17.[2025河北唐山期中]函数f(x)=lo (-2x2+3x+5)的单调递增区间为______________________. 解析　由-2x2+3x+5>0得2x2-3x-5=(x+1)(2x-5)<0,解得-1<x< ,所以f(x)的定义域是 .易知函数y=-2x2 +3x+5的图象开口向下,对称轴为直线x= ,故函数y=-2x2+3x+5在 上单调递增,在 上单调递 减, 函数y=lo x在(0,+∞)上单调递减, 根据复合函数的单调性可知,f(x)的单调递增区间是 . 第1讲　描述运动的基本概念 18.[教材习题改编][2025上海闵行中学期中]设0<a<1,若loga(x2+1)>loga(3x+5),则实数x的取值范围是 ______________. (-1,4)     解析　因为0<a<1,所以函数y=logax为减函数, 又loga(x2+1)>loga(3x+5), 所以 解得-1<x<4. 第1讲　描述运动的基本概念 19.[2025吉林延边二中期中]已知函数f(x)=ln(2-x)+ln(2+x). (1)求函数f(x)的定义域; (2)判断f(x)的奇偶性,并证明; (3)若f(2m+1)<ln 3,求实数m的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意得,2-x>0且2+x>0,解得-2<x<2,所以f(x)的定义域为(-2,2). (2)f(x)为偶函数,证明如下: 因为f(x)的定义域为(-2,2),关于原点对称,且f(-x)=ln(2+x)+ln(2-x)=f(x),所以f(x)为偶函数. (3)f(2m+1)=ln(1-2m)+ln(2m+3)=ln[(1-2m)·(2m+3)]<ln 3, 则 解得- <m<-1或0<m< . 故实数m的取值范围为 ∪ . 第1讲　描述运动的基本概念 20.[2026福建永春第二中学期中]已知函数f(x)=(log2x-4) . (1)当x∈[1,4]时,求函数f(x)的值域; (2)若f(x)>mlog2x对任意x∈[1,4]恒成立,求实数m的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    f(x)=(log2x-4) = (log2x-4)·(log2x-1), ∵x∈[1,4],∴log2x∈[0,2], 令t=log2x,则t∈[0,2], (log2x-4)(log2x-1)= (t-4)(t-1)= t2- t+2. (1)令g(t)= t2- t+2,t∈[0,2],易知g(t)在[0,2]上单调递减,∴函数g(t)的值域为[-1,2].故f(x)的值域为[-1,2]. (2)由题意可得 (t-4)(t-1)>mt对t∈[0,2]恒成立, 当t=0时,2>0恒成立,此时m∈R; 当t∈(0,2]时, (t-4)(t-1)>mt对t∈(0,2]恒成立等价于m< 对t∈(0,2]恒成立, 因为 = =  ≥ × =- ,当且仅当t=2时取等号,所以m<- . 综上,实数m的取值范围为 . 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 4.2　对数与对数函数 4.2.3　对数函数的性质与图象 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　对数(型)函数的图象 1.[2026山东滕州第一中学月考]已知log2a+log2b=0(a>0且a≠1,b>0且b≠1),则函数f(x)= 与g(x)=logbx 的图象可能是 （　　　　）     B     　A  B  C  D 第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为log2a+log2b=0,所以log2(ab)=0,所以ab=1,则a>1,0<b<1或b>1,0<a<1. 当a>1,0<b<1时,函数f(x)= 与g(x)=logbx均为减函数,四个选项均不满足; 当b>1,0<a<1时,函数f(x)= 与g(x)=logbx均为增函数,结合选项可知两函数在同一坐标系中的图象可 能是B. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026湖北宜昌起点考试]已知函数f(x)的图象如图所示,那么该函数的解析式可能为 （　　　　）   A.f(x)=  B.f(x)=  C.f(x)=  D.f(x)=      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题图可知,函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),图象关于原点对称,函数f(x)是奇函数,当x>1时, f(x)>0. f(x)= 的定义域为(0,+∞),故排除A; 若 f(x)= 则当x>1时, f(x)<0,故排除B; 若f(x)= 则当x趋向于0+时, f(x)= 趋向于-1,当x趋向于0-时, f(x)=(x+1)·ex趋向于1,故排除 D.故C满足题意. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　对数(型)函数的性质及其应用 3.[2026福建厦门一中期中]已知函数f(x)=log3(9x+1)-x,设a=f(log32),b=f(log53),c=f ,则a,b,c的大小 关系为 （　　　　） A.a<b<c　　　    B.a<c<b　　　    C.c<a<b　　　    D.b<a<c     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　易知9x+1>1恒成立,因此f(x)的定义域为R, 由f(x)=log3(9x+1)-x=log3(9x+1)-log33x=log3 =log3(3x+3-x),可得f(-x)=log3(3-x+3x)=f(x), 故f(x)为偶函数, 则c=f =f =f , 因为log32= log323= log38< log39= ,log53= log533= log527> log525= , 所以0<log32< <log53<1, 令t=3x,x∈(0,1],则t∈(1,3], 由对勾函数的性质可得函数y=t+ 在(1,3]上单调递增, 所以f(x)=log3(3x+3-x)在(0,1]上单调递增,因此a<c<b. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[多选题][2025浙江宁波期中]已知函数f(x)=lg( -x+1),则下列说法正确的是 (　　　　　) A.f(x)的值域为R B.f(x+1)的图象关于原点对称 C.f(x)在(1,+∞)上单调递增 D.若f(x)在x∈[1-m,1+m]上的最大值、最小值分别为M、N,则M+N=0     ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,x2-2x+2-(x-1)2=1>0, 所以x2-2x+2>(x-1)2≥0,则 >x-1, 即 -x+1>0恒成立,所以f(x)的定义域为R, 当x趋向于正无穷时,y= -x+1趋向于0, 当x趋向于负无穷时,y= -x+1= 趋向于无穷大,所以f(x)的值域为R,故A正确; 对于B,f(x+1)=lg[ -(x+1)+1]=lg( -x), 令k(x)=lg( -x),则f(x+1)=k(x), 易知k(x)的定义域为R,关于原点对称, 且k(-x)+k(x)=lg( +x)+lg( -x)=lg 1=0,即k(-x)=-k(x),所以k(x)为奇函数,其图象关于原点对称, 即f(x+1)的图象关于原点对称,故B正确; 第1讲　描述运动的基本概念 对于C,易知k(x)=lg( -x)=lg 在(0,+∞)上单调递减,而将k(x)的图象向右平移一个单位长度 可得f(x)的图象,所以f(x)在(1,+∞)上单调递减,故C错误; 对于D,因为k(x)在(0,+∞)上单调递减, 且k(x)为奇函数,k(0)=0, 所以k(x)=lg( -x)在(-∞,+∞)上为减函数, 而将k(x)的图象向右平移一个单位长度可得f(x)的图象, 所以f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,即f(x)在[1-m,1+m]上单调递减, 则M+N=f(1-m)+f(1+m)=k(-m)+k(m)=0,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2025黑龙江大庆石油高级中学期末]若函数f(x)=log (-x2+4x+5)在区间(3m-2,m+2)内单调递增,则实数 m的取值范围为_________. 解析　根据对数函数的概念得-x2+4x+5>0,解得-1<x<5. 易知二次函数y=-x2+4x+5的图象开口向下,对称轴为直线x=- =2, 由复合函数的单调性得函数f(x)=log (-x2+4x+5)的单调递增区间为(2,5). 要使函数f(x)=log (-x2+4x+5)在区间(3m-2,m+2)内单调递增,只需 解得 ≤m<2, 故实数m的取值范围是 . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026天津第二南开学校月考]已知函数f(x)=2 025x+log2 025( +x)-2 025-x+2,则不等式f(3x+1)+f(x)>4 的解集为_________. 解析　令g(x)=f(x)-2=2 025x+log2 025( +x)-2 025-x, 由 +x>0,可得x∈R,即函数g(x)的定义域为R, 又g(-x)=2 025-x+log2 025( -x)-2 025x=2 025-x-log2 025( +x)-2 025x=-g(x),所以函数g(x)是奇函数. 因为函数y= +x在R上单调递增且为正数,函数y=log2 025x在(0,+∞)上单调递增, 所以函数y=log2 025( +x)在R上单调递增, 又y=2 025x与y=-2 025-x均单调递增, 所以函数g(x)=2 025x+log2 025( +x)-2 025-x在R上单调递增, 不等式f(3x+1)+f(x)>4等价于g(3x+1)+g(x)>0,即g(3x+1)>-g(x)=g(-x),可得3x+1>-x,解得x>- . 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2025浙江杭州学军中学期中]已知非常数函数f(x)=lo  是定义域为(-2,2)的奇函数. (1)求实数a,b的值; (2)判断并证明函数f(x)的单调性; (3)已知g(x)=m·4x-2x+2+3,且∀x1∈(1,2),∃x2∈[-1,1],使得f(x1)-g(x2)>- 成立,求实数m的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)函数f(x)为(-2,2)上的奇函数,则f(-x)+f(x)=0,且f(0)=0, 即lo  +lo  =0,且lo  =0,解得a=2,b=±1. 当a=2,b=-1时, = =1,此时函数f(x)为常数函数,不符合题意; 当a=2,b=1时,f(x)=lo  =log9 ,其定义域为(-2,2),且为奇函数,符合题意. 综上,a=2,b=1. (2)函数f(x)在(-2,2)上单调递增,证明如下: 由(1)知,f(x)=log9 =log9 , 任取x3,x4∈(-2,2),且x3<x4,则4>2-x3>2-x4>0,则1< < ,则0< -1< -1, 又函数y=log9u在(0,+∞)上单调递增, 第1讲　描述运动的基本概念 所以log9 <log9 ,即f(x3)<f(x4), 所以函数f(x)在(-2,2)上单调递增. (3)由(2)知,函数f(x)在(1,2)上单调递增,则∀x∈(1,2),f(x)>f(1)= , 由∀x1∈(1,2),∃x2∈[-1,1],使得f(x1)-g(x2)>- 成立,得 ≥g(x2)- 成立, 所以∃x∈[-1,1],使得g(x)≤1成立,即m·4x-2x+2+3≤1成立,即m≤ , 当x∈[-1,1]时, ≤2x≤2,则 ≤ ≤2,则 - =-2 +2≤2,当且仅当x=0时取等号,所以m≤2. 故实数m的取值范围是(-∞,2]. 第1讲　描述运动的基本概念 规律总结　双变量恒(能)成立问题,可按如下规则转化: 一般地,已知函数y=f(x),x∈[a,b],y=g(x),x∈[c,d], ①若∀x1∈[a,b],∀x2∈[c,d],总有f(x1)>g(x2)成立,则f(x)min>g(x)max; ②若∀x1∈[a,b],∃x2∈[c,d],有f(x1)>g(x2)成立,则f(x)min>g(x)min; ③若∃x1∈[a,b],∃x2∈[c,d],有f(x1)>g(x2)成立,则f(x)max>g(x)min; ④若∃x1∈[a,b],∀x2∈[c,d],有f(x1)>g(x2),则f(x)max>g(x)max . 第1讲　描述运动的基本概念 $