第4章 4.2.3 第2课时 对数函数的性质与图象的应用(Word讲义)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教B版）

第2课时　对数函数的性质与图象的应用 导学 根据对数函数图象判断底数大小问题 　如图所示，曲线是对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象，已知a取，，，，则试探究图中C1，C2，C3，C4相应的a的值． [提示]　作直线y＝1与四条曲线交于四点，由y＝logax＝1，得x＝a(即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以C1，C2，C3，C4对应的a值分别为，，，. ◎结论形成 根据对数函数图象判断底数大小的方法 作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y＝log2x2在[0，＋∞)上为增函数．(　　) (2)若对数函数y＝log2ax是减函数，则0<a<.(　　) (3)ln x＜1的解集为(－∞，e).(　　) (4)对数函数的图象都在y轴右侧．(　　) 解析　(1)函数y＝log2x2的定义域为{x|x≠0}． (2)由对数函数的单调性可知，0<2a<1，所以0<a<. (3)由ln x＜1，解得0＜x＜e. (4)由对数函数的图象知正确． 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．如果logax<logay<0(其中0<a<1)，那么(　　) A．y<x<1　　　　　　B．x<y<1 C．1<x<y D．1<y<x 解析　∵logax<logay<0(0<a<1)， ∴x>y>1.故选D． 答案　D 3．函数y＝log(1－2x)的单调增区间是 ． 解析　函数的定义域为.设t＝1－2x， 则t在是减函数，而y＝logt是减函数，故原函数的单调增区间为. 答案　 4．若a＝log0.20.3，b＝log26，c＝log0.24，则a，b，c的大小关系为 ． 解析　a＝log0.20.3>log0.24＝c， 而a＝log0.20.3<log0.20.2＝1， b＝log26>log22＝1，故b>a>c. 答案　b>a>c 题型一　比较对数值的大小(（一题多解） 　比较下列各组值的大小． (1)log与log；(2)log3与log3； (3)log0.3与log20.8；(4)log与log. [解析]　(1)函数y＝logx在(0，＋∞)上递减， 又＜，∴log＞log. (2)解法一　(中间量法) ∵log23＞log22＝1， 0＜log53＜log55＝1， ∴－log23＜－1，－log53＞－1， ∴－log23＜－log53， 即log3＜log3. 解法二　(数形结合法) 借助y＝logx及y＝logx的图象，如图所示． 在(1，＋∞)上，前者在后者的下方， ∴log3＜log3. (3)由对数函数性质知， log0.3＞0，log20.8＜0， ∴log0.3＞log20.8. (4)设m＝log，n＝log，则＝，＝，∴4m＝，5n＝.由于＞，∴4m＞5n，两边取常用对数得m·lg 4＞n·lg 5.∵lg 4＞0，∴m＞n·＞n，即log＞log. 比较对数值大小的常用方法 (1)同底的利用对数函数的单调性． (2)同真的利用对数函数的图象或用换底公式转化． (3)底数和真数都不同，找中间量． (4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.　 [触类旁通] 1．(1)已知a＝log23，b＝log46，c＝log49，则(　　) A．a＝b<c　　　　　　 B．a<b<c C．a＝c>b D．a>c>b (2)已知a＝log46，b＝log56，c＝0.21.2，则下列判断正确的是(　　) A．a>b>c B．c>b>a C．b>a>c D．b>c>a 解析　(1)因为a＝log23＝＝log49＝c， 又因为y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，又6<9，所以log46<log49， 所以a＝c>b. (2)因为x>0时，y＝log4x的图象永远在y＝log5x图象的上方， 所以log46>log56，即a>b，又b＝log56>log55＝1，c＝0.21.2<0.20＝1，所以b>c， 所以a>b>c，故选A． 答案　(1)C　(2)A 题型二　对数型函数的值域与最值问题(（一题多变） 　(1)已知函数f(x)＝2＋log3x的定义域为[1，9]，则函数f(x)的值域是 ． (2)若函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为 ． (3)求函数f(x)＝log2(－x2－4x＋12)的值域． [解析]　(1)∵1≤x≤9， ∴log31≤log3x≤log39，即0≤log3x≤2， 即2≤f(x)≤4，值域为[2，4]. (2)当a>1时，函数f(x)为增函数， f(x)max＝f(1)＝a＋loga2，f(x)min＝f(0)＝1， 故a＋loga2＋1＝a，即loga2＝－1， 解得a＝，与a>1矛盾； 当0<a<1时，函数f(x)为减函数， f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(1)＝a＋loga2， 故a＋loga2＋1＝a，即loga2＝－1， 解得a＝. (3)因为－x2－4x＋12>0， 又因为－x2－4x＋12＝－(x＋2)2＋16≤16， 所以0<－x2－4x＋12≤16， 故log2(－x2－4x＋12)≤log216＝4， 函数的值域为(－∞，4]. [答案]　(1)[2，4]　(2)　(3)(－∞，4] [母题变式] (变结论)将本例(1)中的结论变为求y＝[f(x)]2＋f(x2)的值域，条件不变，如何求？ 解析　y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋log3x)2＋log3x2＋2＝(log3x)2＋6log3x＋6＝(log3x＋3)2－3. ∵f(x)的定义域为[1，9]， ∴y＝[f(x)]2＋f(x2)中， x必须满足 ∴1≤x≤3，∴0≤log3x≤1，∴6≤y≤13. ∴值域为[6，13]. 1．求对数型函数的值域时，一般需要根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解．一定要注意定义域对它的影响，当函数较为复杂时，可对对数函数进行换元，把复杂问题简单化． 2．求最值的三种方法：(1)形如f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)的函数，利用对数函数的单调性求解；(2)关于logax的二次函数，可利用换元法转化；(3)形如f(x)＝logag(x)的函数，求解时确定a的取值范围之后，可将其转化为求g(x)的值域与最值.　 [触类旁通] 2．(1)已知函数f(x)＝2logx的值域为[－1，1]，则函数f(x)的定义域为 ； (2)已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)，其中0＜a＜1. ①求f(x)的定义域； ②当a＝时，求f(x)的最小值． 解析　(1)由－1≤2logx≤1，得－≤logx≤， 即log≤logx≤log， 解得≤x≤. (2)①欲使函数有意义，则有解得－3＜x＜1，则函数的定义域为(－3，1). ②因为f(x)＝log[(1－x)(x＋3)]， 所以f(x)＝log(－x2－2x＋3)， 配方得到f(x)＝log[－(x＋1)2＋4]. 因为－3＜x＜1，故0＜－(x＋1)2＋4≤4， 所以log[－(x＋1)2＋4]≥log4＝－2(当x＝－1时取等号)，即f(x)的最小值为－2. 答案　(1)　(2)略 题型三　对数函数性质的综合应用 　已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)(a>0，且a≠1). (1)求f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性并予以证明； (3)当a>1时，求使f(x)>0的x的取值范围． [解析]　(1)f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)， 则解得－1<x<1， 故所求定义域为(－1，1). (2)f(x)为奇函数．证明如下： 由(1)知f(x)的定义域为(－1，1)， 且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x) ＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－f(x)， 故f(x)为奇函数． (3)因为当a>1时，f(x)在定义域(－1，1)上是增函数，所以由f(x)>0，得loga(x＋1)－loga(1－x)>0， 即loga(x＋1)>loga(1－x)， 即x＋1>1－x，解得0<x<1. 所以使f(x)>0的x的取值范围是(0，1). [素养聚焦]　　通过对数函数性质的综合应用，把数学运算、直观想象等核心素养体现在解题过程中． 对数型函数的综合问题，常以对数函数为依托，着重考查对数的运算、对数函数的图象与性质、函数的单调性、奇偶性、值域与最值等，熟悉对数函数的图象与性质及求解函数问题的一般规律和方法是解答这类问题的前提.　 [触类旁通] 3．已知f(x)＝log4(4x－1). (1)求f(x)的定义域； (2)讨论f(x)的单调性； (3)求f(x)在区间上的值域． 解析　(1)由4x－1＞0，解得x＞0，因此f(x)的定义域为(0，＋∞). (2)设任意0＜x1＜x2，则0＜4x1－1＜4x2－1，因此log4(4x1－1)＜log4(4x2－1)， 即f(x1)＜f(x2)，故f(x)在(0，＋∞)上递增． (3)由(2)知f(x)在区间上递增， 又f＝0，f(2)＝log415， 因此f(x)在上的值域为[0，log415]. 知识落实 技法强化 1.利用对数函数的性质与图象比较对数值的大小． 2.探究形如函数y＝logaf(x)，y＝f(logax)的性质(定义域、值域、单调性等). 1.研究形如函数y＝logaf(x)的性质注意换元法的运用：设t＝f(x). 2.解不等式logaf(x)＞logag(x)时，不仅要注意底数与1的大小，而且还要注意f(x)＞0，g(x)＞0. [必备知识·基础巩固] 1．函数f(x)＝|logx|的单调递增区间是(　　) A．　　　　　　　　 B．(0，1] C．(0，＋∞) D．[1，＋∞) 解析　f(x)的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞). 答案　D 2．已知函数f(x)＝log2(3x－1)，则使得2f(x)＞f(x＋2)成立的x的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析　不等式2f(x)＞f(x＋2)等价于2log2(3x－1)＞log2(3x＋5)，等价于log2(3x－1)2＞log2(3x＋5)，因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以解得x＞. 答案　B 3．(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则a＝(　　) A．－1 B．0 C． D．1 解析　∵f(x)为偶函数，则f(1)＝f(－1)，∴(1＋a)ln ＝(－1＋a)ln 3，解得a＝0， 当a＝0时，f(x)＝x ln ，(2x－1)(2x＋1)>0，解得x>或x<－， 则其定义域为，关于原点对称． f(－x)＝(－x)ln ＝(－x)ln ＝(－x)ln -1＝x ln ＝f(x)， 故此时f(x)为偶函数．故选B． 答案　B 4．(多选题)关于函数f(x)＝lg (x≠0)，有下列结论，其中正确的是(　　) A．其图象关于y轴对称 B．f(x)的最小值是lg 2 C．当x＞0时，f(x)是增函数；当x＜0时，f(x)是减函数 D．f(x)的增区间是(－1，0)，(1，＋∞) 解析　函数f(x)＝lg (x≠0)，是偶函数， 所以A正确； 函数f(x)＝lg ＝lg ≥lg ＝lg 2， 当且仅当|x|＝，即x＝±1时，取得最小值，所以B正确； 函数的单调增区间为(－1，0)，(1，＋∞). 所以C不正确，D正确． 答案　ABD 5．不等式log2(2x＋3)>log2(5x－6)的解集为 ． 解析　原不等式等价于 解得<x<3，所以原不等式的解集为. 答案　 6．已知函数f(x)＝则f(0)＝ ，f(x)的值域为 ． 解析　f(0)＝20＝1. 当x＜1时，f(x)＝2x∈(0，2)； 当x≥1时，f(x)＝－log2x≤0，所以f(x)的值域为(－∞，2). 答案　1　(－∞，2) 7．若0＜loga2＜1(a＞0，且a≠1)，则a的取值范围是 . 解析　由loga2＞0知a＞1， 故函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数． 所以由loga2＜1＝logaa知a＞2， 故a的取值范围是(2，＋∞). 答案　(2，＋∞) 8．已知函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)，且f(3)－f(2)＝1. (1)若f(3m－2)<f(2m＋5)，求实数m的取值范围； (2)求使f＝log成立的x的值． 解析　因为f(3)－f(2)＝1， 所以a＝，所以f(x)＝logx. (1)因为>1，所以由f(3m－2)<f(2m＋5)得 所以<m<7. (2)由f＝log， 即log＝log， 所以x－＝.所以x＝－或x＝4. [关键能力·综合提升] 9．已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是(　　) A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c 解析　a＝log52＜log5＝＝log82＜log83＝b，即a＜c＜b. 答案　C 10．(多选题)已知函数f(x)＝－log2x，下列四个说法正确的是(　　) A．函数f(|x|)为偶函数 B．若f(a)＝|f(b)|，其中a＞0，b＞0，a＜1＜b，则ab＝1 C．函数f(－x2＋2x)在(1，3)上为单调递增函数 D．若0＜a＜1，则|f(1＋a)|＜|f(1－a)| 解析　函数f(x)＝－log2x，对于A，f(|x|)＝－log2|x|，f(|－x|)＝－log2|－x|＝－log2|x|＝f(|x|)，所以函数f(|x|)为偶函数，故A正确； 对于B，若f(a)＝|f(b)|，其中a＞0，b＞0，a＜1＜b，所以f(a)＝|f(b)|＝－f(b)，－log2a＝log2b，即log2a＋log2b＝log2ab＝0，得到ab＝1，故B正确； 对于C，函数f(－x2＋2x)＝－log2(－x2＋2x)，由－x2＋2x＞0，解得0＜x＜2，所以函数f(－x2＋2x)的定义域为(0，2)，因此在(1，3)上不具有单调性，故C错误； 对于D，因为0＜a＜1，所以1＋a＞1＞1－a＞0，0＜1－a2＜1，所以log2(1＋a)＞0＞log2(1－a)， 故|f(1＋a)|－|f(1－a)|＝|－log2(1＋a)|－|－log2(1－a)|＝log2(1＋a)＋log2(1－a)＝log2(1－a2)＜0，故D正确． 答案　ABD 11．设a＝log2，b＝log23，c＝，则a，b，c从小到大的顺序是 ． 解析　因为a＝log2＜log1＝0， b＝log23＞log22＝1，0＜c＝＜＝1， 所以a＜c＜b. 答案　a＜c＜b 12．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f＝0，则不等式f(logx)＞0的解集为 ． 解析　∵f(x)是R上的偶函数， ∴它的图象关于y轴对称． ∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数， ∴f(x)在(－∞，0]上为减函数，做出函数图象如图所示． 由f＝0，得f＝0. ∴f(logx)＞0⇒logx＜－或logx＞⇒x＞2或0＜x＜，∴x∈∪(2，＋∞). 答案　∪(2，＋∞) 13．已知f(x)＝loga(a－ax)(a>1). (1)求f(x)的定义域和值域； (2)判断并证明f(x)的单调性． 解析　(1)由a>1，a－ax>0，即a>ax，得x<1. 故f(x)的定义域为(－∞，1). 由0<a－ax<a，可知loga(a－ax)<logaa＝1. 故函数f(x)的值域为(－∞，1). (2)f(x)在(－∞，1)上为减函数，证明如下： 任取1>x1>x2，又a>1， 即f(x1)<f(x2)， 故f(x)在(－∞，1)上为减函数． [核心价值·探索创新] 14．当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是(　　) A． B． C．(1，) D．(，2) 解析　解法一　构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，要使0＜x≤时，4x＜logax，只需f(x)在上的图象在g(x)的图象下方即可．当a＞1时不满足条件；当0＜a＜1时，画出两个函数在上的图象，可知只需f＜g，即2＜loga，则a＞，所以a的取值范围为. 解法二　因为0＜x≤，所以1＜4x≤2，所以logax＞4x＞1，所以0＜a＜1，排除C、D；取a＝，x＝，则4＝2，log＝1，显然4x＜logax不成立，排除A，故选B． 答案　B 15．已知函数f(x)＝ax-1(a＞0且a≠1). (1)若函数y＝f(x)的图象经过点P(3，4)，求a的值； (2)若f(lg a)＝100，求a的值； (3)比较f与f(－2.1)的大小，并写出比较过程． 解析　(1)因为函数y＝f(x)的图象经过P(3，4)， 所以a3-1＝4，即a2＝4. 又a＞0，所以a＝2. (2)由f(lg a)＝100知，alg a-1＝100. ∴lg alg a-1＝2(或lg a－1＝loga 100). ∴(lg a－1)·lg a＝2. ∴(lg a)2－lg a－2＝0， ∴lg a＝－1或lg a＝2， ∴a＝或a＝100. (3)∵f＝f(－2)＝a-3，f(－2.1)＝a-3.1， 当a＞1时，y＝ax在(－∞，＋∞)上为增函数， ∵－3＞－3.1，∴a-3＞a-3.1， 即f＞f(－2.1)； 当0＜a＜1时，y＝ax在(－∞，＋∞)上为减函数， ∵－3＞－3.1，∴a-3＜a-3.1， 即f＜f(－2.1). 学科网（北京）股份有限公司 $