4.2.3对数函数的性质与图像（3）导学案-2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

学科 数学 年级 高一 时间 年 月 日 课题 4.2.3对数函数的性质与图像（共3课时） 课型 新授课 课时 第3课时 主备教师 学习目标 1．进一步加深理解对数函数的概念． 2．掌握对数函数的性质及其应用． 1、 知识填空 知识点一　对数函数的概念 一般地，函数 称为对数函数，其中a是常数，a＞0且a≠1. 特别地：以10为底的对数函数 叫做常用对数函数； 以e为底的对数函数 叫做自然对数函数。 知识点二　对数函数的图像与性质 a>1 0<a<1 图像 性 质 定义域 定义域为 ，图像在 的右边 值域 值域为 过定点 过定点 ，即x＝1时，y＝0 函数值的变化 当0<x<1时，y<0， 当x>1时， 当0<x<1时， ， 当x>1时， 单调性 函数 函数 对称性 的图像关于 轴对称 类型一　利用单调性比较对数值的大小 【例】　比较下列各组中两个值的大小： (1)log31.9，log32； (2)log23，log0.32； (3)logaπ，loga3.14(a>0，且a≠1)； (4)log50.4，log60.4. 【跟踪训练】　比较大小： (1)loga5.1，loga5.9(a>0，且a≠1)； (2)log3π，log2，log3. 方法总结：比较对数值大小时常用的四种方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性． (2)同真数的利用对数函数的图像或用换底公式转化． (3)底数和真数都不同，找中间量． (4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论. 类型二　利用单调性解对数不等式 【例】　解下列关于x的不等式： (1) (2)loga(2x－5)>loga(x－1)； (3)logx>1. 【跟踪训练】　(1)求满足不等式log3x<1的x的取值集合； (2)已知log0.7(2x)<log0.7(x－1)，求x的取值范围． 方法总结：对数不等式的三种考查类型及解法 (1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论． (2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解． (3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图像求解. 类型三　对数型复合函数的单调性 角度一　求单调区间 【例1】　求函数y＝的单调区间． 【跟踪训练1】　求函数f(x)＝log2(1－2x)的单调区间． 方法总结：求形如y＝logaf(x)的函数的单调区间的步骤 (1)求出函数的定义域； (2)研究函数t＝f(x)和函数y＝logat在定义域上的单调性； (3)判断出函数的增减性，从而求出单调区间. 角度二　已知复合函数的单调性求参数范围 【例2】　若函数y＝上是减函数，则实数a的取值范围是 ． 【跟踪训练2】　若函数f(x)＝loga(6－ax)在[0,2]上为减函数，则a的取值范围是(　 　) A．(0,1) B．(1,3)C．(1,3] 　　 D．[3，＋∞) 类型四　对数型复合函数的奇偶性 【典例】　已知f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)，a＞0，且a≠1. (1)求函数y＝f(x)－g(x)的定义域； (2)判断函数y＝f(x)－g(x)的奇偶性． 【针对训练】　判断函数f(x)＝lg(－x)的奇偶性． 方法总结：对数型复合函数奇偶性的判断方法 对数函数本身没有奇偶性，但有些函数与对数函数复合后，就具有奇偶性了，如y＝log2|x|就是偶函数．证明这类函数具有奇偶性的方法是利用函数奇偶性的定义，并结合对数的运算法则． 为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数解析式进行化简或应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)∓f(x)＝0⇔＝±1(f(x)≠0)，其中f(－x)＋f(x)＝0，f(－x)－f(x)＝0多用于对数型函数奇偶性的证明，＝±1多用于指数型函数奇偶性的证明. 奥班拓展：1．当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，则a的取值范围是(　) A． (0