05-4.2.2 对数运算法则(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第二册（人教B版）

该高中数学课件聚焦“对数运算法则”，系统涵盖基本运算法则、换底公式及应用，通过衔接指数函数知识导入，以题组形式搭建从基础到提升的学习支架，帮助学生逐步掌握对数运算逻辑。 其亮点在于精选名校期中期末试题，通过多选题、实际应用题等多样题型，培养数学思维（运算能力、推理意识）和数学眼光（现实问题转化），如沙漏计时、三角形形状判断等实例。学生能提升解题能力，教师可直接用于课堂练习与拓展教学。

第四章 指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 4.2　对数与对数函数 4.2.2　对数运算法则 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　对数的运算法则 1.[2026黑龙江哈尔滨三十二中期中]log26-2log43= ( ) A.-log23　　　    B.0 C.1　　　   　  D.log23     C     解析    log26-2log43=log26-2× log23=log26-log23=log22=1. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2025河北衡水冀州中学期中]若lg a,lg b是方程2x2+6x-1=0的两个根,则下列等式正确的是          （　　　　） A.lg a+lg b=-3　　　    B.lg a·lg b=-3 C.lg(ab)=- 　　　     D. =11     AD     解析　由根与系数的关系,得lg a+lg b=-3,lg a·lg b=- ,则lg(ab)=lg a+lg b=-3,  =(lg a-lg b)2=(lg a+lg b)2-4lg a·lg b=9-4× =11. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026江苏南京师大附中期中]已知a= ,b=1+log42,c=20.4,则 ( ) A.b<a<c　　　    B.a<c<b C.a<b<c　　　    D.c<a<b     D     解析　因为a= = = ,b=1+log42=1+ log22= , 所以c=20.4<20.5= =a<b= . 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026福建厦门双十中学期中]计算: +2log32-log3 - =_________. 解析　∵ = = , 2log32-log3 =log34-log3 =log3 =log39=log332=2, =3, ∴ +2log32-log3 - = +2-3= . 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2025江苏南京期中]log4 log216-log2 +log26 =_________. 解析    log4 =log4 log2 16÷ ×6  =log4(log2162)=log48=lo 23= . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　换底公式 6.[2026湖南长沙一中期中]设lg 2=a,lg 3=b,则log56= ( ) A. 　　　    B.  C. 　　　    D.      B     解析    log56= = = . 第1讲　描述运动的基本概念 7.1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数;1637年笛卡儿开始使用指数运算;17 70年,欧拉发现了指数与对数间的互逆关系,指出:对数源于指数,对数的发明先于指数.若2x= ,lg 2≈0.3 01 0,则x的值约为 ( ) A.1.322　　　    B.1.410　　　    C.1.507　　　    D.1.669     A     解析　∵2x= ,∴x=log2 = = ≈ ≈1.322. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026天津南开期末]计算:loga2+loga0.5-log225×log34×log59=_______. 　-8     解析　原式=loga(2×0.5)-log252×log322×log532 =loga1-8log25×log32×log53=-8× × × =-8. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2025天津五区县重点校期中联考]设log34×log48×log8m=lo 7,那么m=_________. 解析　由题意及换底公式可得 × × = , ∴ = ,即lg m=-lg 7=lg  ,∴m= . 第1讲　描述运动的基本概念 10.[教材习题改编][2025安徽示范高中培优联盟月考]已知2a=25,3b=4,5c=9,则abc=_________.     8     解析　易得a=log225,b=log34,c=log59, 所以abc=log225·log34·log59= · · = · · =8. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　对数运算的简单应用 11.已知a,b,c是△ABC的三边,且关于x的一元二次方程x2-2x+lg(c2-b2)-2lg a+1=0有两个相等的实数根,则 △ABC的形状是 ( ) A.锐角三角形　　　    B.直角三角形 C.等边三角形　　　    D.钝角三角形     B     解析　由题意知Δ=0,即(-2)2-4[lg(c2-b2)-2lg a+1]=0,化简得2lg a-lg(c2-b2)=0,所以lg  =0,所以 = 1,所以a2+b2=c2,故△ABC是直角三角形. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2026江苏扬州大学附属中学期中]国际象棋棋盘有8×8=64个格子,每局约80步,每步平均有35种走 法,故称其理论状态空间的上限M约为3580,而井字棋棋盘中有3×3=9个位置,每个位置可能有X,O或空缺, 共3种状态,所以其状态空间的上限N约为39=19 683≈104,则下列各数中与 最接近的是(参考数据:lg 3 5≈1.54)    ( ) A.31　　　    B.119　　　    C.1031　　　    D.10119     D     解析　由已知得 ≈ ,则lg  =lg  =80lg 35-4≈119.2, 所以 ≈10119.2,即 最接近10119. 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2025北京通州期中]沙漏也叫作沙钟,是一种测量时间的装置.现有一个沙漏(如图)上方装有a cm3的 细沙,细沙从中间小孔慢慢漏下,经过t min后,上方剩余的细沙量为y cm3,且y=ae-bt(b为常数),经过8 min 后,上方还剩下一半细沙,要使上方细沙是开始时的 ,需经过的时间为 ( )   A.8 min　　　    B.16 min C.24 min　　　    D.26 min     C     解析    依题意有ae-8b= a,即e-8b= ,两边取对数得-8b=ln =-ln 2,所以b= ,所以y=a ,若沙漏上方的 细沙只有开始时的 ,则a = a,即 = ,两边取对数得- t=ln  =-3ln 2,所以t=24. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 4.2　对数与对数函数 4.2.2　对数运算法则 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　对数运算法则的应用 1.[2025湖南邵阳武冈期中]已知a>0且a≠1,b>0且b≠1,ab≠1,m>0,logam=2,logbm=5,则log(ab)m= ( ) A. 　　　    B. 　　　    C. 　　　    D.      D     解析　由logam=2,logbm=5,得m=a2=b5,则a= ,b= ,ab= ,所以log(ab)m= = = . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026北京第八中学月考]设a=lg 6,b=lg 20,则log43= ( ) A. 　　　    B. 　　　    C. 　　　    D.      C     解析　易得a=lg 6=lg 2+lg 3,b=lg 20=lg 10+lg 2=1+lg 2, 联立 解得 所以log43= = = . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026山东聊城期中]若a,b,c满足ax=by=cz(a>1,b>1,c>1),且 + - =0(x,y,z∈R,xyz≠0),则有序实数组(a, b,c)可能是 ( ) A.(2,3,4)　　　    B.(3,2,4)　　　    C.(3,2,12)　　　    D.(2,3,12)     C     解析　令ax=by=cz=k,k>0,且k≠1, (方法技巧:将指数式化为对数式,利用对数的运算性质化简目标等式,进而得出结论) 则x= ,y= ,z= , 所以 + - = + - = =0,则 =1⇔ab2=c, 结合各选项知(2,3,4)、(3,2,4)、(2,3,12)不符合,(3,2,12)符合. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2025江苏泰州兴化期中]已知lg a=lg(a+b+3)-lg b(a>0,b>0),则a+2b的最小值为 ( ) A.5　　　    B.3+2 　　　    C.3+4 　　　    D.9     C     解析　由lg a=lg(a+b+3)-lg b,得lg a+lg b=lg(a+b+3),即lg(ab)=lg(a+b+3),即ab=a+b+3,整理得(a-1)(b-1)= 4, 若a-1<0,b-1<0,则0<a<1,0<b<1,(a-1)(b-1)≠4,故a-1>0,b-1>0, 则a+2b=(a-1)+2(b-1)+3≥2 +3=4 +3,当且仅当a-1=2(b-1),即a=1+2 ,b=1+ 时,等号 成立,故a+2b的最小值为4 +3. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026河南安阳第一中学期中]若logab+logba= ,ab=ba,则ab= ( ) A.6　　　    B.8　　　    C.9　　　    D.10     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题知,a>0,b>0,a≠1,b≠1,a≠b, 因为logab+logba= , 所以logab+logba= +  = = = , 可得 =logba= 或2,所以b=a2或b= . 若b=a2,则由ab=ba,得 = =a2a,所以a2=2a, 则a=2或a=0(舍去),故b=22=4,ab=8; 若b= ,则由ab=ba,得 = = ,所以 = , 则a=4或a=0(舍去),所以b= =2,ab=8.综上所述,ab=8. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[多选题][2026江苏南通海安质检]设正数a,b满足aln b=2,aln a·bln b=9,则 (　　　　) A.ln a·ln b=ln 2　　　    B.bln a=2　　　     C.ln a+ln b=ln 6　　　    D.(ab)ln(ab)=36     ABD     解析　对aln b=2两边同时取自然对数可得ln aln b=ln 2,根据对数的运算法则可得ln a·ln b=ln 2,故A正确; 由ln a·ln b=ln 2,结合对数的运算法则可得ln bln a=ln 2,所以bln a=2,故B正确; 对aln a·bln b=9两边同时取自然对数可得ln(aln a·bln b)=ln 9,根据对数的运算法则可得ln aln a+ln bln b=ln 9, 即ln a·ln a+ln b·ln b=ln 9, 所以(ln a+ln b)2=ln a·ln a+ln b·ln b+2ln a·ln b=ln 9+2ln 2=ln 36,所以ln a+ln b=± ,故C错误; 由(ln a+ln b)2=ln 36可得[ln(ab)]2=ln 36,即ln(ab)·ln(ab)=ln 36,根据对数的运算法则可得ln(ab)ln(ab)=ln 36, 即(ab)ln(ab)=36,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2024重庆一中期末]设p>0,q>0,满足log2p=log4q=log8(2p+q),则 =_________. 解析　由log2p=log4q可知log2p= = log2q=log2 ,即p= , 由log2p=log8(2p+q)可知log2p= = log2(2p+q)=log2 ,即p= , 消去q得p2-p-2=0,解得p=2或p=-1(舍去), 当p=2时,q=4,所以 = . 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026辽宁鞍山期末] (1)计算 × 的值; (2)已知x,y,z为正数,若3x=4y=6z,求 - 的值. 解析    (1)原式= × = × = . (2)令3x=4y=6z=a,则a>0, 所以x=log3a,y=log4a,z=log6a, 所以 - = - = × - × = - = = . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　对数运算的综合应用 9.[2025山东聊城期中]我国火力发电厂大气污染物排放标准规定:排放废气中二氧化硫的最高允许浓 度为20 mg/m3.已知我国某火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为100 mg/m3,现通过某种工艺 对排放废气进行过滤处理,处理后废气中剩余二氧化硫的浓度y(单位:mg/m3)与处理时间t(单位:分钟)满 足关系式:y=N0· (N0为二氧化硫初始浓度),那么从现在起至少经过__________分钟才能达到排放标准. (附:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1,结果取整数)     16     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得100 ≤20,即 ≤ , 即tlg ≤lg ,即t(2lg 3-1)≤-lg 5, 故t≥ = ≈ ≈15.3, 故从现在起至少经过16分钟才能达到排放标准. 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　通过指、对运算发展数学运算的素养 10.[2026江苏无锡期中]我们知道,任何一个正实数x都可以表示成x=a×10n(1≤a<10,n∈Z)的形式.当n≥ 0时,记x的整数部分的位数为f(a×10n),例如f(1.02×10)=2;当n<0时,记x的非有效数字的位数为f(a×10n),例 如f(1.02×10-2)=2. (1)求f(1.02×102), f(1.02×10-1),并写出f(a×10n)的表达式(不必写出过程); (2)若x=2100,求n,a以及f(a×10n)(取lg 2=0.301). 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)f(1.02×102)=3, f(1.02×10-1)=1. 由题意知,当n≥0,n∈Z时,a×10n的整数部分的位数为n+1; 当n<0,n∈Z时,a×10n的非有效数字的位数为-n, 所以f(a×10n)= n∈Z. (2)因为x=2100,所以lg x=100lg 2=30+0.1, 所以x=1030+0.1=100.1×1030, 所以a=100.1,n=30, f(100.1×1030)=31. 第1讲　描述运动的基本概念 $