02-第二章 等式与不等式(综合检测卷)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（人教B版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了等式与不等式的核心知识，涵盖集合运算、不等式性质、一元二次不等式解法及实际应用，通过知识框架串联各知识点，构建“概念-性质-应用”的逻辑脉络，帮助学生形成完整知识网络。 其亮点在于以问题驱动培养数学核心素养，如通过作差法比较大小发展推理能力，用符号表示实际问题关系强化模型观念，设计分层练习从基础计算到新定义“根距”问题，满足不同学生需求，助力教师精准复习，提升学生知识应用与创新意识。

第二章 等式与不等式 满分：150分时间：120 分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要 求的) 类合M-x0x≤.s},则3unN(D ) A.{x0<x≤1} B.{x1<x<2} C.{x0<x≤2} D.{x0<x<1} 3x 3x 解析由x-1≤2，得1-2≤0， x+2 即1≤0，解得-2≤1， 所以W={x-2≤x<1}, 所以M∩W={x0<x<I} 2.已知xy满足m=+y+19n=42y-)-1,则mn的大小关系是P) A.m-n B.m<n C.m≤n D.m≥n 解析m-n=x2+y2+19-4(2y-x)+1=(x+2)2+(y-4)0, 当且仅当x=-2,y=4时取得等号，所 以m≥n. 3.已知a,b,c是△ABC的三条边的长，且满足d+bc=b+aC,则△ABC一定是A() A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 解析d+bc=b2+ac,即(a+b)(a-b)-c(a-b)=0,即(a-b)(a+b-c)=0. .a+b-c>0. a-b=0,即a=b “△ABC一定是等腰三角形，无法判断其是不是等边三角形或等腰直角三角形 4.已知α，b为非零实数，且a心b,则下列结论正确的是p ) A名号 11 B.ab'-ab C.a-b ab226> b a 解析对于A,若-1，b=-1,则b=,因此A错误； 对于B,若a=2,b=1,则ab2=2<ab=4,因此B错误； 对于C,若a1,b=-1,则ad=b2,因此C错误； 对于D.因为0，所装高0，所林 。,因此D正确 5.一元二次不等式+bx+c<0(a,b,cER)的解集为{x-1<x<2),则b-牙 的最小值为P) A.-4 B.-2 C.2 D.4 解析由题意得，a>0且-1和2为方程a2+bx+c-0(a,b,cR)的两个根， +2e9 ’「b=-a, 由根与系数的关系得 -1x2=￡. 得c=-2a, a 4 4 4 4 则b-c+a=呀 ×a=4,当且仅当，即-2时取等号， 4 故b-c 的最小值为4. 6.在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：甲、丙同学的阅读量之和与乙、丁同 学的阅读量之和相同，丙、丁同学的阅读量之和大于甲、乙同学的阅读量之和，乙同学的阅读量大于 甲、丁同学的阅读量之和.那么这四名同学中阅读量最大的是(C) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 解析设甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量分别为a,b,c,d,a20,b≥0，c≥0,0， a+c=b+d①， 根据题意得 c+d>a+b②， b>a+d③： ②-①，得b-c<c-b,d-a>a-d, b<c,a<d,由③得b>a,b>d 因此a<d<b<c,即这四名同学的阅读量按从小到大的顺序排列为甲、丁、乙、丙. x2-2x-8>0, 7.已知关于x的不等式组2'+(2k+7)x+7k<0仅有一个整数解，则的取值范围为B) A.(-5,3)U(4,5) B.[-5,3)U(4,5] C.(-5,3]U[4,5) D.[-5,3]U[4,5] 解析解不等式x2-2x-8>0, 得x>4或x<-2 7 解方程2x+(2k+7)x+7-0,得x 「=-k. 7 ①当-k<2,即 。时.不等式2x+2+7+7k0的解集为 ,此时不等式组的解集类 要使不等式组的解集中仅有一个整数，则-5≤-<-4， 解得4<k≤5； 7 ②当-心了，即时，不等式2+2+7+7k<0的解集为 ，要使不等式组的解集中仅有一个整 数， 则-3<-k冬5，解得-5≤<3 2 2 绿单祆k取值范不等式的解集为。，不满足题意 8.已知>0，>0，若不等式A ≤a(x+y)恒成立，则实数a的最小值为() √2-1 A.2 B2-1ē+1 V2+1 . y x+V罗 解析心00，不等式四a+y可化为y,即作2 t 令1(c1),则a+t-) t t 1√2+1 "P1,1+(t-1P-21+2 1+2 2W2-2 2, 当且仅当，即2 时取"=” √2+1、、 2+1 故1+0-D的最大值为2，a≥ 2 V2+1 实数a的最小值为2 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选 对的缉命贪正对的得分分，有选错的得0分) A.若c<0<b<a,则b+c<ad B.若c<0<8则6> a+m a CVa>b>0,当m≥0时6+m b-m b D.3>b>0,当m>g时，a< 解析对于A,由c<0<b<a,得b3<d,c<0,因此可得b+c<d,故A正确； 对于片，由4，得近，所脉后0，又0锈以坛 >,故B正确； a+m a m(b-a) 对于Cb+mbb+m) 由b0m0,得0斜 卿分、，故C错误 a+m a 对厅D若3m=1最若号身-财 即u心60.当wU时%合故D正确 10.已知x,x,是方程mx-1)(x+2)-1=-0的两个实数根，其中x<x,不等式m(x-1)(x+2)-1>0的解集是（化，），则 下 ABC 列结论中正确的是 ( ) A.x+x+1=0 B.-2<x<x2<1 C.xx2+2>0 D.x-xz>3 解析因为不等式m(x-1)(+2)-1>0的解集是x,x),其中x<x2,所以m<0, 又x,x是方程mx+mx-2m-1=0的两个实数根， -2m-11 所以+x=-l,xm=-2-m>-2, 所以x++1=0,xx,+2>0,故A,C正确； 长小了--=3政D诺误 因为方程m(x-1)x+2)=0的两个根是1和-2，且不等式m(x-1)+2)-1>0的解集为x,x), 所以-2<x<x,<1,故B正确 11.己知a>0,b>0,ab+2(+b)=14,则下列说法正确的是 (BC ) A.ab的最大值为11-62 3 3 Ba+2+6+2的最小值为2 C.(+1)b的最大值为8 D.2a+b的最大值为6 解析对于A,因为a>0,b>0,所以ab+2(a+b)≥ab+2×yab=ab+Yab,当且仅当a=b时等号成立， 又ab+2(a+b)=14, 所以ab+Wab≤14， 即(Nab)3+4Wab-14≤0， 所以0s√ab≤-2+3W2, 所以0<ab≤(-2+3V2)2=22-12W2, 当且仅当=b=-2+3W2时等号成立，故A错误； 对于B,因为ab+2(a+b)=14, 所以ab+4+2(a+b)=(a+2)b+2)=18, 丽以，方o+2 ≥君对a+2a+2号s互 当且仅当a+2=b+2,即a=b=-2+g2时等号成立，故B正确： 1b+2a+2 对于D,14=b+2a+b7b2a+2)+b+2a°2 +b+2a,当且仅当b=2a+2时等号成立， 整理得(b+2a)+12(b+2a)-108≥0， 即(b+2a+18)b+2a-6)≥0， 所以b+2a≥6， 当且仅当b=2什2，即a=1,b=4时等号成立，故D错误， 对于C,14=ab+2(a+b)=ab+b+2a+b=b(a+1)+2a+b: 由D选项的分析可知，b(a+1)=14-(2+b)≤14-6=8，故C正确 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） x2+x+4 12.若×1，则+1的最大值为5 解析<-1，∴.x+1<0, :s215当日仅当时号立. x2+x+4 4 x2+x+4 ∴. x+1 的最大值为-5. 13.某辆汽车以xkm/h的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120）时，每 小时的油耗（所需要的汽油量)为-+1） L,其中k为常数.当汽车以120kmh的速度行驶时，每 小 [60,100] 时的油耗为11.5L,欲使每小时的油耗不超过9L,则x的取值范围为 解析因为汽车以120kmh的速度行驶时，每小时的油耗为151.所敢20-女，40） 1 120 =11.5,解得 =1 00,1i汽东0： kh的速度在高速公路上匀速行驶时，每小时的油耗为 L 令 x+ -20≤9， 解得45≤x≤100 因为60≤x≤120，所以60≤x≤100， 所以欲使每小时的油耗不超过9L,则x的取值范围为[60,100] 5 14.已知实数a0,b>-2,且满足2a+b-1,姆+1.2 a b+2 的最小值是 2a2+1b2-21b2-4+2 解析 a b+2-2aab+2 1 2 =2a+a+(b-2)万+2 121212 =2a+b-2+a方+2=l-2右+2 =-日b+五 :2a+b=1,2a+(b+2)=3. b+24a b+24a 3 又b20.a2a士62±22元a2产42a28当E仅当h2豆a即编 ,b=- 12 8 125 时取等号，+2手+b+13≥ 2a2+1b2-2 故06+7 的最小值为 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 1 15.(13分)己知y=4 ·(c>0) (1)求1-y的最大值，并求当1-y取得最大值时x的值， 11 2)若方程=a(>0)的两根为xx+x),惑+ 的取值范围 解 行①因为0.所以y安女 =4,2分) 当且仅当，即时，等号成立，6分) 所以y的最小值为4，(4分) 所以1y的最大值为1-4=-3，此时.(6分) (2)由y=4x卡=a,得4x2-ac+1=0, 则=d-16>0,又a>0,所以a>4.(9分) 由一元二次方程根与系数的关系，得xxx+，(11分) ,11为+ 所以玉， =a>4, 11 故书克 的取值范围为(4，+∞).(13分) 16.(15分)已知a,b,cER,关于x的一元二次不等式x2-4x+c<0的解集为{xb<x<3} (1)求不等式-x+4x-c<0的解集； (2)解关于x的不等式ax2-(ac+b)x+bc<0. 解析(1)因为关于x的一元二次不等式x2-4x+c<0的解集为{xb<x<3},所以b和3是关于x的一元二次7 程 x-4xf=(B的两个根多=2分) 3b=c, c=3, 所以 解得 (4分) 所以不等式-x+4x-c<0即-x+4x-3<0,其解集为{x<1或>3}.(6分) (2)由(1)得不等式ac2-(ac+b)x+bc<0即ax2-(3a+1)x+3<0,限即(ax-1)x-3)<0.(8分) ①当a0时.原不等式内进0，解得e3,所以原不等式的解集为8+9分) ②当a<0时，原不等式为 (c-3)>0, 解得3或，(x 所以原不等式的解集为 U(3,+∞)；(10分) ③当3时，原不等式为 (x-3)2<0,无解；(11分) ④当0u5时，原不等式为) (-3)<0, 解得3<a 所以原不等式的解集为3：12分) ⑤当时，原不等式为3)0，解得 <×3,所以原不等式的解集为·(13分) 综上，当0时，不等式的解集为(3，+∞)； 当0时不等式的解集打×月U6-∞ 当a3时，不等式无解： 当0<a时，不等式的解集为 当a> 时.不等式的解集为) (15分) 17.(15分)如果方程x+px+q=0的两个根是x,x,那么xtx,=-p,xx=q,反过来，如果x+x,=-p,xx,=q,那么以 X1,X2 为两根的一元二次方程是x+px+q=0.请根据以上结论，解决下列问题 (1)已知关于x的方程x+x+n-0(n≠0)，求个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数； b a (2)已知a,b满足d-15a-5=0,b-15b-5=0,求+的值； (3)已知a,b,c均为实数，且a+b+c=0,abc=16,求正数c的最小值 解析(1)设方程x2+mx+n=0(n≠0)的两个根分别是x1,x, 则x+x=-m,xx=n,(1分) 11+龙m1111 所以毛西西疗=，3分) 所以所求一元二次方程是x+nx万=0，即x+m+1=0.(6分) (2)分两种情况讨论 ①当a≠b时，：a,b满足d-15a-5=0,b2-15b-5=0, ∴.a,b是x2-15x-5=0的两个根， ∴a+b=15,ab=-5, a,ba2+b2(a+b)2-2ab152-2×(- i bta=ab ab -5 2=47.(7分) a b ②当b时a+ =2.(9分) 综上6无 a b 的值为-47或2.(10分) (3)'a+b+c=0,abc=16, atb--c.ab= 16 c> 16 “a,b是方程x+cx+。-0的两个根，(12分) 4c2-4 1 c≥0， 43 即c。≥0， c是正数， .c3-43=(c-4)(c2+4c+16)≥0， 又c2+4c+16=(c+2)2+12>0, ∴c≥4，正数c的最小值是4.(15分) 18.(17分)如图，设矩形ABCD(AB>AD)的周长为40cm,把△ABC沿AC向△ADC翻折成△AEC,AE交DC 于 点P,设Ab=xcm 3 (1)若DP> AB,求x的取值范围； E ,求S的最大值及相应的x的值 D C P B 解析(1)由短形周长为40cm,可知AD=(20-x)cm, 由AB>AD>0得10<x<20, 设DP=acm,则PC=(x-a)cm,易得△ADP≡△CEP,AP=PC=(x-am)cm.(3分) 在Rt△ADP中，AD+DP=AP2,®即(20-x)2+a1=(x-O, 200 得-20x,(5分) 2001 由题意得20x了， 即x2-60x+600<0,(6分) 解得30-103<x<30+10N5, 又10<x<20, 30-10V3<20,(8分) x的取值范围是x30-10V3<<20?.(9分) 2由D得1-20xmD20-0四) cm,10<x<20, 故40pn吃24-四）-0r20）,102n12分) 200 ">0,x+ 2空2%0514分) 200 当仅当0即=5时取等号，9）.5， 200 S=300-200V2此时=10V2.(17分) 19.(17分)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c-0(a≠0)有两个实根，6，则称d=kx,为两根之间的距离， 简 称"根距”.当dE[n,n+1),nEN时，称该一元二次方程有n级"根距”.例如d=2.68E2,3),则称该一元二 次方程有2级"根距' (I)试用a,b,c表示"根距”d, (2)设关于x的方程(k-1)x+(2-3k+1)x+化-2+3=0有两个不等实根，求该方程的"根距”d的级数； (3)若a≠b,a,bE{ml2m3-3m2+1=0},当x,<时，xE(x,x),ax2+bx+c>0,求a,b的值，并确定当方程ax2+bx+c=0 的"根距”d的级数n的最小值为多少时，c至少可以取到两个整数值. -b±Vb2-4ac 解析(1)当b-4ac≥0时，方程+bx+c-0的根为 2a ,(2分) -b-b2-4ac -b+b2-4ac b-4ac 不妨设x 2a ,X2三 2a 则cd=x-6,=a .(4分) 11 (2)由题意得k-1≠0,4=(22-3+1)2-4k-1)-2+3)=k-1)-(4k-11)>0,可得，(6分) V(k-1)2(4k-11)√4k-11 所以d比-x= (k-1)2 =k-1, 皮不正划网以六 t2+11 4t 4 4 手 当且仅当月，即 时等号成立， 因为号量，所以e】、9分) 2 因为7∈[0,1)，所以此方程的"根距”"d是0级 .(10分) 1 1 (3)由2m-3m+1=0,得(m-1)(2m+1)=0,所以m=1或=-，则 因为当x<x时，E(,x),a+bx+c>0,所以a<0, 因为a丰b,所以a亏，b=1,(12分) V1+2c 厅所以关于x的方程ax+bx+c=0的”根距”d=x-x=1 +2c 2 [n2-4(n+1)2-4 由2W1+2c∈n,n+l,得c∈8， 8 (14分)》 当t-1g≤1即heN时r至多有1个数间 若m4则号)仅有1个整数值2 若=5则是c仅有1个数值 若6，则4)c有2个整数值4和5 综上，当关于x的方程a+bx+c=0的"根距”d的级数n的最小值为6时，c至少可以取到两个整数值 (17 分)