02 子集个数问题(突破疑难)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（人教B版）

该高中数学课件聚焦集合中的子集个数问题，从子集、真子集概念出发，通过知识辨析问题导入，结合综合知识中的公式结论，以典型例题为应用载体，构建从概念理解到公式推导再到解题实践的学习支架。 其亮点在于通过问题驱动培养数学眼光，如“3个元素的子集个数”引导学生观察规律，总结通法发展数学思维，如“固定元素后剩余元素自由选择”的转化方法，例题解析用符号语言精确表达集合关系强化数学语言。学生能掌握子集个数计算通法，教师可借助结构化内容提升教学效率。

第一章 集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 02 子集个数问题 疑难点 第1讲　描述运动的基本概念 1.子集的概念 一般地,如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素,那么集合A称为集合B的子集,记作A⊆B(或B⊇A), 读作“A包含于B”(或“B包含A”). 2.真子集的概念 一般地,如果集合A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A称为集合B的真子集, 记作A⫋B(或B⫌A),读作“A真包含于B”(或“B真包含A”). 3.集合相等 一般地,由集合相等以及子集的定义可知: 第1讲　描述运动的基本概念 (1)如果A⊆B且B⊆A,则A=B; (2)如果A=B,则A⊆B且B⊆A. 4.常用结论 (1)任何一个集合是它本身的子集,即A⊆A. (2)传递性:如果A⊆B,且B⊆C,那么A⊆C;如果A⫋B,且B⫋C,那么A⫋C. (3)空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.即对于任意的集合A,都有⌀⊆A;当A≠⌀时,⌀⫋ A. 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析     1.若集合A中有3个元素,则集合A的子集有多少个? 2.已知集合B⊆A,则由a∉A能否得到a∉B? 答案    1.8.    2.能得到. 提示    1.按照集合为⌀,集合中含1个元素,2个元素,3个元素一一列举,计数得8. 2.可根据集合关系画出维恩图观察分析. 第1讲　描述运动的基本概念 1.假设集合A中含有n(n∈N*)个元素,则: (1)A的子集的个数是2n; (2)A的非空子集的个数是2n-1; (3)A的真子集的个数是2n-1; (4)A的非空真子集的个数是2n-2. 2.含有限制条件的子集问题,可根据条件列出所有适合题意的子集,采用列举法解决,元素较多时一般先 固定或排除某些元素,剩余元素根据条件选择,转化为求子集个数(或限制条件的子集个数)问题.特别 地,设有限集合A,B中分别含有m,n个元素(m,n∈N*,m<n): 当A⊆C⊆B时,符合条件的有限集C的个数为2n-m; 当A⫋C⊆B时,符合条件的有限集C的个数为2n-m-1; 第1讲　描述运动的基本概念 当A⊆C⫋B时,符合条件的有限集C的个数为2n-m-1; 当A⫋C⫋B时,符合条件的有限集C的个数为2n-m-2. 第1讲　描述运动的基本概念 勘破疑难 特殊条件子集问题的通法: 若集合中元素个数为n(n∈N*),其中固定或排除的元素个数为m(m∈N*,m<n),则当剩余(n-m)个元素自由 选择时,问题转化为求含有(n-m)个元素的集合的子集个数,为2n-m,非自由选择时,根据条件取舍. 第1讲　描述运动的基本概念 典例    (1)已知集合A={1,2},B={x|-1<x<6,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为________;满足条 件A ⫋C ⫋B的集合C的个数为__________. (2)设集合I={0,1,2,3,4},选择I的两个非空子集A和B,要使B中最小的数大于A中最大的数,则不同的选择 方法共有__________种.     49         14         16     思路点拨    (1)先确定集合B,再研究集合C中必含、可含的元素个数,转化为相应集合的子集或真子集. (2)先由题意得到0∉B,接着分集合B中最小的元素为1,2,3,4,结合子集个数的结论进行求解. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意知A={1,2},B={x|-1<x<6,x∈N}={0,1,2,3,4,5}, 当A⊆C⊆B时,C中元素必有1,2,其余元素可从0,3,4,5中选取,可以选取0个,也可以选取1~4个,故C的个数 等于集合{0,3,4,5}的子集的个数,为24=16. 当A⫋C⫋B时,C中元素必有1,2,其余元素可从0,3,4,5中选取,且最少选取1个(若选取0个,则A=C,不符合), 最多选取3个(若选取4个,则C=B,不符合),故C的个数等于集合{0,3,4,5}的非空真子集的个数,为24-2=14. (2)由已知得0∉B. ①当集合B中最小的元素为1时,A={0}, 此时集合B的个数等于集合{2,3,4}的子集的个数,为23=8,所以此时不同的选择方法数为1×8=8; ②当集合B中最小的元素为2时,集合A中最大的元素为0或1, 此时集合B的个数等于集合{3,4}的子集的个数,为22=4,集合A的个数等于集合{0,1}的非空子集的个数, 为22-1=3, 第1讲　描述运动的基本概念 所以此时不同的选择方法数为4×3=12(点拨:任意1个B都对应3个A,而符合条件的B有4个); ③当集合B中最小的元素为3时,集合A中最大的元素为0或1或2, 此时集合B的个数等于集合{4}的子集的个数,为21=2,集合A的个数等于集合{0,1,2}的非空子集的个数, 为23-1=7, 所以此时不同的选择方法数为2×7=14; ④当集合B中最小的元素为4时,集合A中最大的元素为0或1或2或3, 此时集合B={4},集合A的个数等于集合{0,1,2,3}的非空子集的个数,为24-1=15, 所以此时不同的选择方法数为1×15=15. 综上所述,不同的选择方法共有8+12+14+15=49种. 名师点睛　子集个数问题的本质是“集合中元素的确定性”与“子集组合规律”的转化,核心是“定 元素、套规律、避漏判”. 第1讲　描述运动的基本概念 $